位运算算法篇：进入位运算的世界

本篇文章是我们位运算算法篇的第一章，那么在我们是算法世界中，有那么多重要以及有趣的算法，比如深度优先搜索算法以及BFS以及动态规划算法等等，那么我们位运算在这些算法面前相比，位运算就显得十分的低调，但是它仍然是一个十分重要的算法，所以我将用三到四篇文章来介绍我们的位运算，帮你领略我们位运算的神奇与各种骚操作，那么废话不多说，我们进入我们位运算的学习

1.二进制

那么在了解我们各种位运算之前，我们得先知道我们为什么要学习我们的位运算，对于我们的计算机来说，我们计算机的底层硬件只能识别由0和1组成的二进制语言，那么意味着任何数据在底层都是以二进制的形式存储的，其中就包括我们的各种数据类型比如我们的整形以及字符类型等等，那么既然这些数据统一都是以二进制形式存取，那么我们的位运算就是以二进制序列为基础展开的运算，所以可想而知位运算的重要性。

那么我们刚才也说了，各种的整形底层也都是以二进制的形式存在，那么对于我们的整形来说，我们可以将一个整形分为无符号整形以及有符号整形，那么所谓无符号整形我们很好理解，那么该整形的二进制位全部都用来作为数值位，那么也就意味着我们的无符号整形只有非负数，那么以32位的int类型为例，那么它的32个二进制位都可以作数值位，那么每一个二进制位要么是0要么是1，那么也就意味着我们的int类型的范围是0到2的32次方减一。

而对于有符号整形，我们知道在我们现实生活中，我们用正负号来区分我们的数的正负，而在我们计算机世界中，我们的数据只有0和1组成，任何数据都只能表示为0与1组成的二进制序列，那么要表达正负数，我们将一个数的最高位设置为符号位，其中0表示为正数，那么1表示为负数，其余则是作为数值位

那么对于正数来说，除了最最高位为0，其余都是数值位，那么我们按照每个数值位所对应的权值来得到一个十进制数，但是对于负数，我们采取了一个特殊的设计

那么我们的整形分为了原码以及反码和补码，那么我们计算机中存取的都是补码，那么我们正数的原码以及反码和补码都是一样的，而对于我们的负数来说，我们得到一个负数的补码，那么首先我们得将负数的补码除最改为符号位其余按位取反，然后再加1就得到我们的负数的原码，那么我们该原码的数值位就是我们该负数的绝对值，那么我们得到负数的绝对值，前面加一个符号即可。所以我们看到一个整形的二进制序列，先看符号位，如果是0，代表正数，1则是负数，然后将其转换为原码来解读出它对应的10进制数

假设以4个比特位为例： 1110

1.最高位是1，那么负数

2.按位取反（~） 1001

3.取反后再加1 1010

4.解读数值位得到 -2

那么相信通过我刚才的介绍你一定能够熟练的掌握有符号整形的识别与转化，那么想必你一定有一个疑问，那么也就是我们对于负数为什么要这么设计呢？

那么我们知道我们的CPU的计算机只有我们的加法器，那么我们关于我们整形的乘法以及出发运算都要通过我们的加法运算来实现，那么对于加法运算来说，我们的正数加正数那么就正常的按照我们二进制的计算规则逢2进1计算即可，但是对于正数加负数，那么我们知道我们正数加负数，我们现实世界中计算，那么我们首先得判断两个数的绝对值，然后让绝对值大的减去绝对值小的，那么我们要做到，必然就要涉及到条件判断，那么条件判断肯定会影响效率，所以能不能采取统一的规则，不关心该数是正还是负，都能用统一的方式来计算，那么这就是补码出现的意义：

那么它做到了让我们计算一个二进制序列不要关心正负，按照正数加正数的那套逻辑得到值，如果是负数的话，我们按照上文所说的，将其转换为原码就能得到该数的具体数值是什么了，你下来可以动手实践一下，结果肯定都是一定满足的。

比如5+（-3）假设以4个比特位为例

那么5的二进制序列0101

3的补码：1101

计算过程 0101

1101

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0010

那么0010对应的10进制数就是我们的2

2.位运算

那么刚才引入了二进制的相关知识，那么我们再来介绍我们几个常见的位运算，

那么我们的位运算可以分为两大类，分别是算术运算以及逻辑运算，那么我们首先先讲解一下我们的算术运算：

或运算(|)：

那么我们的或运算的运算规则则是对应的二进制位只要为1，那么结果一定为1，如果对应的二进制位全部是0，那么计算的结果才是0，或运算同时可以引入到逻辑运算中，只有运算的条件全部为false，结果才为false

0 | 0 =0

1| 0=1

1 | 1=1

与运算(&)：

与运算的规则则是我们对应的二进制位全部为1结果才为1，其余则全是0，对应逻辑运算则是条件全为真，结果才为真。

1 & 1=1

1& 0 =0

异或运算(^)：

异或运算的规则则是相同为0，相异为1

1^0 =1

1^ 1=0

0^ 0=0

右移运算符：

那么我们的右移运算符则分为两种分别是算术右移以及逻辑右移

那么逻辑右移（>>>）则是我们将我们的二进制序列整体往右移动，然后左边补0，但是我们知道对于有符号整形来说，它的最高位为符号位，那么如果采取这种右移方式，那么它的正负会颠倒，对数值会改变，所以我们有第二种方式

算术右移（>>），那么它则是左边不是补0，而是补充符号位，那么对于负数来说，那么它则是会在左边依次补1。

并且我们要注意我们的右移运算符，那么它只是一个动作，也就是说我们对一个整形的变量左移了n位，那么右移后的结果会保存在一个临时变量中，而不是对原变量直接进行右移，同理对于左移，那么我们可以简单的用代码来验证：

#include <stdio.h>int main() {int original = 8; // 二进制：00001000int leftShifted = original << 2; // 左移两位，二进制：00010000，即16int rightShifted = original >> 2; // 右移两位，二进制：00000010，即2printf("Original: %d\n", original);printf("Left Shifted: %d\n", leftShifted);printf("Right Shifted: %d\n", rightShifted);return 0;
}

在这里插入图片描述

左移运算符(<<)：

那么我们的左移运算符就不用像刚才的那样分为逻辑以及算术，那么我们的左移运算符的右边统一用0来补充。

那么对于逻辑右移运算符以及左移运算,我们每次逻辑左移动一位就相当于在原数的基础上除了2，每次右移动一位就相当于在原数的基础上乘以了2

逻辑运算：

逻辑或运算符(||)：

那么我们的逻辑或运算符的运算规则和或运算符一致，只有有一个条件为真，结果为真，但是注意的是，我们逻辑或运算符没有穿透性，也就是说我们逻辑或运算符是从左往右依次进行条件判断，一旦判断到有一个条件表达式为真，那么它就不在执行之后的条件判断，直接返回结果为真，而我们的或运算则是要依次从左到右判断完

那么我们可以写一个代码来验证：

#include<iostream>
using namespace std;
bool returntrue(void)
{cout<<"run this succcessfully ";return true;
}
bool returnfalse(void)
{cout<<"run this successfully";return false;
}
int main()
{cout<<"Test1:"<<endl;bool res=returntrue()||returnfalse();cout<<endl;cout<<"Test2:"<<endl;res=returntrue()|returnfalse();return 0;
}

在这里插入图片描述

逻辑与运算符（&&)：

运算规则也是和与&运算一致，但是注意我们的逻辑与运算也不具有穿透性，它也是从左往右依次判断条件表达式的真值，一旦我们的中间的某个条件表达式为假，那么它就不再往后执行后面的条件判断语句，直接返回false

同样也是与上面一套的代码逻辑稍加修改来验证：

#include<iostream>
using namespace std;
bool returntrue(void)
{cout<<"run this succcessfully ";return true;
}
bool returnfalse(void)
{cout<<"run this successfully";return false;
}
int main()
{cout<<"Test1:"<<endl;bool res=returnfalse()&&returntrue();cout<<endl;cout<<"Test2:"<<endl;res=returntrue()|returnfalse();return 0;
}

在这里插入图片描述

3.实践

那么我们有了上述的知识，那么我们可以根据我们本篇文章所讲的全部内容来自己实现一个打印一个数的二进制序列。

那么具体实现的原理也很简单，那么就是我们的利用我们的位运算，我们对于一个int类型的数，那么它有32个二进制位，那么我们打印它所有的32个二进制位，我们就得从左往右依次打印每一个二进制位，那么我们利用我们的与运算，那么与运算的规则是对应的二进制位只要有1，那么结果为1，全部为0，结果则为0，那么我们知道我们十进制的1，那么对应的二进制序列就是只有最低位的二级制位为1，其余为0，那么我们将他依次左移到最高位，然后进行与运算，然后判断是否为0然后依次打印判断后的结果即可，那么如下则是我们的代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
void Print(int a)
{for(int i=31;i>=0;i--){int ant=(1<<i)&a;if(ant==0){cout<<0;}else{cout<<1;} 	}cout<<endl;
}
int main()
{int a=80;Print(a);return 0;
}

在这里插入图片描述