方波的基波和谐波详细推导，以及matlab验证[电路原理---2]

最近要滤波，从1KHZ 方波中获得正弦波，这让我们要对方波的频谱有具体的了解。虽然楼主一年前刚学过傅里叶。但也是忘的干干净净查阅资料后终于是整理出来。用漂亮的latex打出来了，为自己留存一份记录，也分享给大家学习。

方波的基波和谐波

复指数形式的傅里叶级数公式 - 对于周期为(T)的周期函数(f(t))，其复指数形式的傅里叶级数展开式为
$f(t)=\sum_{n = -\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\omega_{0}t}$
_其中
$\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}$
_系数
$F_{n}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt$

对于1kHz方波的分析 - 已知方波周期(T = 10^{-3}s)，
$\omega_{0}=2\pi\times10^{3}rad/s\$
设方波函数(f(t))在一个周期内为

$f(t)=\left\{\begin{matrix}A, &0\leq t\leq\frac{T}{2}\\ -A, &\frac{T}{2}\lt t\leq T\end{matrix}\right.$

计算系数(F_{n})：
$F_{n}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt=\frac{1}{T}\left(\int_{0}^{T/2}Ae^{-jn\omega_{0}t}dt+\int_{T/2}^{T}(-A)e^{-jn\omega_{0}t}dt\right)$

$\int_{T/2}^{T}(-A)e^{-jn\omega_{0}t}dt=\frac{A}{jn\omega_{0}}\left(e^{-jn2\pi}-e^{-jn\pi}\right)$

$F_{n}=\frac{1}{T}\left[-\frac{A}{jn\omega_{0}}\left(e^{-jn\pi}- 1\right)+\frac{A}{jn\omega_{0}}\left(e^{-jn2\pi}-e^{-jn\pi}\right)\right]$
化简
$F_n= \frac{A}{jn \pi} (1-e^{-jn \pi})$
讨论
$F_{odd}=\frac{A}{jn \pi}(1- (-1)^n)=\frac{A}{jn \pi}(1- (-1)^{odd})=\frac{2A}{jn \pi}$

$F_{even}=\frac{A}{jn \pi}(1- (-1)^n)=\frac{A}{jn \pi}(1- (-1)^{even})=0$

方波的复指数形式傅里叶级数展开式 - 所以(
$f(t)=\sum_{n = -\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\omega_{0}t}=\sum_{n = -\infty,n\ odd}^{\infty}\frac{2A}{jn\pi}e^{jn\omega_{0}t}\$
基波频率
$\omega_{1}=\omega_{0}=2\pi\times10^{3}rad/s$
对应的频率
$f_{1}=1kHz，谐波频率为n\omega_{0}(n = 3,5,7,\cdots)$
在电子信息中，这种复指数形式的傅里叶级数方便分析信号的频谱等特性，，可以了解信号在不同频率成分上的分布情况。例如，幅度
$\vert F_{n}\vert=\frac{2A}{\vert n\vert\pi}(n为奇数)$
表示了各频率成分的强度。

matlab代码验证

% 参数设置
Fs = 100e3;       % 采样频率 (100 kHz)
T = 1/Fs;         % 采样周期
t = 0:T:1-T;      % 时间向量 (1秒)
f1 = 1e3;         % 基波频率 (1 kHz)% 生成 1 kHz 方波信号
square_wave = square(2*pi*f1*t);% 计算 FFT
L = length(square_wave);  % 信号长度
Y = fft(square_wave);     % 计算 FFT
P2 = abs(Y/L);            % 双边频谱
P1 = P2(1:L/2+1);         % 单边频谱% 频率向量
f = Fs*(0:(L/2))/L;       % 频率向量% 绘制频谱图
figure;
plot(f, P1);
title('1 kHz 方波信号的频谱');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('|P1(f)|');
grid on;