文章目录
- 电机控制专题(三)——Sensorless之有功磁链Active Flux电压模型
- 前言
- 理论推导
- 仿真验证
- 总结
- 参考文献
电机控制专题(三)——Sensorless之有功磁链Active Flux电压模型
前言
总结下电机控制中的有功磁链Active Flux(AF)模型。
纯小白，如有不当，轻喷，还请指出。
在得出AF之前，有必要先从一个不具有凸机效应的表贴式永磁同步电机Suface Mounted Permanet Machine(SPM)的模型入手。
SPM在两相静止坐标系下的电压方程和磁链方程可表示为
[ u α u β ] = [ R 0 0 R ] [ i α i β ] + p [ ψ α ψ β ] \begin{bmatrix}u_{\alpha}\\u_{\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&0\\0&R\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{\alpha}\\i_{\beta}\end{bmatrix}+p\begin{bmatrix}\psi_\alpha \\\psi_\beta\end{bmatrix} [uαuβ]=[R00R][iαiβ]+p[ψαψβ]（1）
[ ψ α ψ β ] = [ L 0 0 L ] [ i α i β ] + ψ f [ cos θ r sin θ r ] \begin{bmatrix}\psi_{\alpha}\\\psi_{\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L&0\\0&L\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{\alpha}\\i_{\beta}\end{bmatrix}+\psi_{f}\begin{bmatrix}\cos\theta_{r}\\\sin\theta_{r}\end{bmatrix} [ψαψβ]=[L00L][iαiβ]+ψf[cosθrsinθr]（2）
其中 v α β v_{\alpha\beta} vαβ为 α β \alpha\beta αβ轴电压分量， i α β i_{\alpha\beta} iαβ为 α β \alpha\beta αβ轴电流分量， ψ α β \psi_{\alpha\beta} ψαβ为 α β \alpha\beta αβ轴磁链分量 R , L , θ r , ψ f R,L,\theta_{r},\psi_f R,L,θr,ψf分别为电机的电阻、电感、电角度和永磁体基波磁链幅值， p p p是微分算子。式(2)等式右边的第一项称为定子磁链，第二项称为转子磁链。
式(1)说明，通过测量 v α β v_{\alpha\beta} vαβ， i α β i_{\alpha\beta} iαβ，即可算出 α β \alpha\beta αβ轴的总磁链，再由式(2)计算出电机的转子磁链。而转子磁链含有转子位置信息，因此可以通过反正切或者锁相环PLL等算法提取得到电机的电角度和转速，从而实现无位置传感器Sensorless控制。
上述的SPM的基于磁链的无感控制算法看上去还挺简单的对吧，但当电机是一个具有凸极效应的内置式永磁电机Interior Permanent Machine(IPM)的时候，情况又是怎样的呢？
IPM在两相静止坐标系下的数学模型如下：
[ u α u β ] = [ R 0 0 R ] [ i α i β ] + p [ ψ α ψ β ] \begin{bmatrix}u_{\alpha}\\u_{\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&0\\0&R\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{\alpha}\\i_{\beta}\end{bmatrix}+p\begin{bmatrix}\psi_\alpha \\\psi_\beta\end{bmatrix} [uαuβ]=[R00R][iαiβ]+p[ψαψβ]（3）
[ ψ α ψ β ] = [ L α L α β L α β L β ] [ i α i β ] + ψ f [ cos θ r sin θ r ] \begin{bmatrix}\psi_{\alpha}\\\psi_{\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L_\alpha&L_{\alpha\beta}\\L_{\alpha\beta}&L_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{\alpha}\\i_{\beta}\end{bmatrix}+\psi_{f}\begin{bmatrix}\cos\theta_{r}\\\sin\theta_{r}\end{bmatrix} [ψαψβ]=[LαLαβLαβLβ][iαiβ]+ψf[cosθrsinθr]（4）
L α = L 0 + L 1 cos 2 θ r L β = L 0 − L 1 cos 2 θ r L α β = L 1 sin 2 θ r L 0 = ( L d + L q ) 2 L 1 = ( L d − L q ) 2 . \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{aligned} L_{\alpha}=& L_0+L_1\cos2\theta_{r} \\ L_{\beta}=& L_0-L_1\cos2\theta_{r} \\ L_{\alpha\beta}=& L_1\sin2\theta_{r} \\ L_0=& \begin{aligned}\frac{(L_d+L_q)}{2}\end{aligned} \\ L_{1}=& \begin{aligned}\frac{(L_d-L_q)}{2}.\end{aligned} \end{aligned} Lα=Lβ=Lαβ=L0=L1=L0+L1cos2θrL0−L1cos2θrL1sin2θr2(Ld+Lq)2(Ld−Lq).
其中 L d , L q L_d,L_q Ld,Lq为dq轴电感， θ r \theta_{r} θr是电角度。
式(2)说明，当电机是一个IPM时，转子位置信息不仅位于转子磁链中，还耦合在定子磁链中。
到这里读者应该可以发现了，同样都出于计算电机转子磁链来实现无感控制的目的，但却只适用于SPM，那未免也太鸡肋了。所以AF概念的提出就是为了将SPM和IPM的基于磁链无感算法统一起来，在这个AF模型下，对SPM和IPM都适用，是一个通用的交流电机无感控制算法。
理论推导
IPM在dq坐标系下的数学模型为
[ u d u q ] = [ R + p L d − ω r e L q ω r e L d R + p L q ] [ i d i q ] + [ 0 ω r e ψ f ] \begin{bmatrix}u_d\\u_q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R+pL_d&-\omega_{re}L_q\\\omega_{re}L_d&R+pL_q\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_d\\i_q\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\\omega_{re}\psi_f\end{bmatrix} [uduq]=[R+pLdωreLd−ωreLqR+pLq][idiq]+[0ωreψf]（5）
重写式(3)中的电感矩阵和旋转反电势项，得到
[ u d u q ] = [ R + p L q − ω r e L q ω r e L q R + p L q ] [ i d i q ] + [ p ψ d a ω r e ψ d a ] \begin{bmatrix}u_d\\u_q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R+pL_q&-\omega_{re}L_q\\\omega_{re}L_q&R+pL_q\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_d\\i_q\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}p\psi_d^a\\\omega_{re}\psi_d^a\end{bmatrix} [uduq]=[R+pLqωreLq−ωreLqR+pLq][idiq]+[pψdaωreψda]（6）
其中 ψ d a = ψ f + ( L d − L q ) i d \psi_d^a=\psi_f+(L_d-L_q)i_d ψda=ψf+(Ld−Lq)id
对式(6)进行反Park变化，得到两相静止坐标系下的数学模型
[ u α u β ] = [ R 0 0 R ] [ i α i β ] + p [ ψ α ψ β ] \begin{bmatrix}u_{\alpha}\\u_{\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&0\\0&R\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{\alpha}\\i_{\beta}\end{bmatrix}+p\begin{bmatrix}\psi_\alpha \\\psi_\beta\end{bmatrix} [uαuβ]=[R00R][iαiβ]+p[ψαψβ]（7）
[ ψ α ψ β ] = [ L p 0 0 L p ] [ i α i β ] + ψ d a [ cos θ r sin θ r ] \begin{bmatrix}\psi_{\alpha}\\\psi_{\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L_p&0\\0&L_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{\alpha}\\i_{\beta}\end{bmatrix}+\psi_{d}^a\begin{bmatrix}\cos\theta_{r}\\\sin\theta_{r}\end{bmatrix} [ψαψβ]=[Lp00Lp][iαiβ]+ψda[cosθrsinθr]（8）
可以看出，当 L d = L q L_d=L_q Ld=Lq，AF即永磁体幅值，因此AF是交流电机磁链的统一的表达式。
式(8)表明，经过等价变化以后，定子磁链不在再含有转子位置信息，转子位置只包含在AF中。电机的模型得到了大大的简化。
因此通过式(7)(8)计算得到AF，并设计合理的观测器PLL，即可估算电机的转速和角度。
仿真验证
基于上述的AF模型，对一台IPM电机进行无感控制，相应的仿真参数设置如下
| 参数 | 值 |
|---|---|
| L d L_d Ld | 3.5mH |
| L q L_q Lq | 8.5mH |
| ψ f \psi_f ψf | 0.17Wb |
| U d c U_{dc} Udc | 311V |
由于反电动势与转速成正比，低转速情况下的反电动势，计算得到的反电动势误差较大，因此需要将电机开环拖动至较高转速，至转速及角度收敛以后再切入转速闭环。
设置电机空载启动0.09s后，切入闭环控制，控制转速为2500rpm，0.2s加载至5N·m，0.3s加速至3000rpm，仿真总时长0.4s。相应的仿真结果如下图所示。
总结
AF是IPM，以及SPM的磁链的统一模型。不论是IPM还是SPM，都可以计算出含转子位置信息的AF，从而结合观测器提取转子转速以及转子角，实现无位置控制。
参考文献
[1] Boldea I, Paicu M C, Andreescu G D, et al. “active flux” DTFC-SVM sensorless control of IPMSM[J/OL]. IEEE Transactions on Energy Conversion, 2009, 24(2): 314-322.
[2] Boldea I, Paicu M C, Andreescu G D. Active flux concept for motion-sensorless unified AC drives[J/OL]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2008, 23(5): 2612-2618.
