波动理论、传输线和S参数网络

传输线

求解传输线方程

对于传输线模型，我们通常用 $RLGC$ 来表示：

其中 $R$ 可以表示导体损耗，由于电子流经非理想导体而产生的能量损耗。 $G$ 表示介质损耗，由于非理想电介质的存在，电介质可能存在微小的泄漏电荷或者由于介质电导和介质极化的滞后效应，在其内部引起的能量损耗。

而 $L$ 和 $C$ 参数才是能量交换的响应元件。若 $R=0,G=0$ 那么称为理想传输线，理想传输线不实际消耗能量，只传递能，下文无特殊情况我们仅讨论理想传输线模型，但大多数计算也同样适用于一般传输线模型。

需要注意的是 $RLGC$ 都是在微分方程条件下定义的，分别为单位长度下的量值，例如 $R$ 的单位为 $\text{Ohm/m}$ ，而不是 $\text{Ohm}$ 。

通过求解微分方程，我们可以得到传输线上电压和电流的一般方程，为了方便说明结论，这里省去计算过程。

$$V(d)=V^{+}{e}^{-kd}+V^{-}{e}^{+kd}$$

$$I(d)=I^{+}{e}^{-kd}+I^{-}{e}^{+kd}$$

其中 $V^{+}$ $V^{-}$ $I^{+}$ $I^{-}$ 分别为四个复常数，与微分方程的初始条件有关。

$k$ 为复传播系数：

$$k=\sqrt{(R+jwL)(G+jwC)}$$

而 $d$ 表示沿传输线方向上的距离，$d$ 的正方向和电流的方向一致。

波动电压电流理论

观察某一个位置 $d$ 上的电压电流，我们发现，电压电流分别有两项组成。例如对于电压，其中 $V^{+}{e}^{-kd}$ 我们习惯上称为正向电压波，因为假设 $k$ 是个正实数，那么当 $d$ 沿着 $d=0$ 到 $d=+\infty$ 移动的时候， $V^{+}{e}^{-kd}$ 项呈现衰减的变化趋势，这也符合直观的感受。

例如上图，假设我们在 $d=0$ 处发射一个波形，由于传输损耗的存在，则波形沿着 $d$ 的正方向呈现衰减趋势。

相同的， $V^{-}{e}^{+kd}$ 称为反向电压波，波形沿着 $d$ 的反方向呈现衰减趋势，电流也有相同的结论。需要注意的是，和电流方向和电压正负这些相同，这些都是人为的相对定义，而不是绝对定义。

那么对于传输线某一个位置 $d$ 上的总的电压电流，可以分解成正向波和反向波两个分量的叠加：

注意图中的电流电压方向，虽然它们一个叫正向波，另一个叫反向波，为了表达方便，定义上它们的正方向都是一样的。

特征阻抗

$V^{+}$ $V^{-}$ $I^{+}$ $I^{-}$ 并不是无关参数，通过微分方程，我们可以得到如下的关系：

$$Z_0=\frac{V^{+}}{I^{+}}=-\frac{V^{-}}{I^{-}}$$

这里常数 $Z_0$ 称为传输线的特征阻抗，具有阻抗的量纲：

$$Z_0=\sqrt{\frac{R+jwL}{G+jwC}}$$

到这里特征阻抗阻抗的定义就很明显了，它表示某点总电压分量中，正向电压波看到的阻抗为 $Z_0$ ，而反向电压波看到的阻抗为 $-Z_0$ 。

$$\frac{V^{+}{e}^{-kd}}{I^{+}{e}^{-kd}}=\frac{V^{+}}{I^{+}}=Z_0$$

$$\frac{V^{-}{e}^{+kd}}{I^{-}{e}^{+kd}}=\frac{V^{-}}{I^{-}}=-Z_0$$

有时候，更加有用的是总阻抗，总阻抗才是我们常见意义下的阻抗定义，即假设端口有一个测试电压源，这个测试电压源看到的阻抗，表示某点总电压和总电流看到的阻抗：

$$Z(d)=\frac{V(d)}{I(d)}=\frac{V^{+}{e}^{-kd}+V^{-}{e}^{+kd}}{I^{+}{e}^{-kd}+I^{-}{e}^{+kd}}=Z_0\frac{I^{+}{e}^{-kd}-I^{-}{e}^{+kd}}{I^{+}{e}^{-kd}+I^{-}{e}^{+kd}}$$

可见，不同位置处看向传输线的阻抗是不一样的，但总是 $Z_0$ 的乘以一个和位置相关的系数。

反射系数

有时候用四个 $V^{+}$ $V^{-}$ $I^{+}$ $I^{-}$ 常数参量表示并不是很方便，我们引入反射系数 ${\Gamma }_0$ 它表示入射波电压常量与反射波电压常量之比，其值也是一个常量：

$${\Gamma }_0=\frac{V^{-}}{V^{+}}$$

这样电压波方程可以方便的表示成：

$$V(d)=V^{+}(e^{-kd}+{\Gamma }_0{e}^{+kd})=V^{+}{e}^{-kd}(1+{\Gamma }_0{e}^{+2kd})$$

若我们定义 $\Gamma (d)={\Gamma }_0{e}^{+2kd}$ 为某一位置上的反射系数，那么电压波动方程可以为：

$$V(d)=V^{+}{e}^{-kd}(1+\Gamma (d))$$

令 $A(d)=V^{+}{e}^{-kd}$ 那么进一步：

$$V(d)=A(d)(1+\Gamma (d))$$

对于电流波：

$$I(d)=\frac{A(d)}{Z_0}(1-\Gamma (d))$$

那么 $Z$ 可以表示为：

$$Z(d)=\frac{V(d)}{I(d)}=Z_0\frac{1+\Gamma (d)}{1-\Gamma (d)}$$

如此定义，给予了波动方程一种非常简洁的表示。

终端条件

现在，我们讨论传输线不同的终端条件所带来的影响，以终端负载为 $Z_L$ 为例，但是首先我们先考虑无损传输线，无损传输线中：

$$k=jw\sqrt{LC}=j\beta =j\frac{w}{v_p}$$

在工程中，我们常用 $\alpha$ 表示 $k$ 的实部，用 $\beta$ 表示 $k$ 的虚部，此时 $\alpha =0$ 而 $\beta =w\sqrt{LC}=\frac{w}{v_p}$ 。 $v_p$ 为相速。在这里仅给出结论，因为我不想描述对理解传输线无用的太多的物理细节。

另外，波长的关系为：

$$v_p=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

$$\lambda =\frac{v_p}{f}$$

那么：

$$\Gamma (d)={\Gamma }_0{e}^{+j2\beta d}$$

$$A(d)=V^{+}{e}^{-j\beta d}$$

有时候 $\beta d$ 又称为角长度，它将实际的长度映射为角度。

其次我们规定求解的坐标原点和坐标方向：

在 $d=0$ 处设为传输线终端，终端开路，$d$ 的正方向沿着终端到源端方向，传输线长为 $l$ ，特征阻抗为 $Z_0$ 。

首先我们可以根据终端条件求解 ${\Gamma }_0$ ：

$${\Gamma }_0=\frac{Z(0)-Z_0}{Z(0)+Z_0}$$

$Z(0)$ 是终端总阻抗，由于终端开路， $Z(0)=Z_L$ ，因此：

$${\Gamma }_0=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$$

那么：

$$\Gamma (d)={\Gamma }_0{e}^{-j2\beta d}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}{e}^{-j2\beta d}$$

$$Z(d)=Z_0\frac{1+\Gamma (d)}{1-\Gamma (d)}$$

$$Z_{in}=Z(l)=Z_0\frac{1+\Gamma (l)}{1-\Gamma (l)}$$

通过 $Z_{in}$ 我们总是可以将传输线视为一个集总参数的阻抗，这一点十分有用，特别是求解多元件方程。

特别的，当 $Z_L=Z_0$ 的时候， ${\Gamma }_0=0$ 那么 $\Gamma (d)=0$ 且 $Z(d)=Z_0$ ， 这说明每一点看过去的阻抗都是 $Z_0$ 并且 $V(d)=V^{+}{e}^{+j\beta d}$ 和 $I(d)=I^{+}{e}^{+j\beta d}$ 波只有入射波没有反射波。这种条件称为传输线的终端匹配。

广义波动分解

若我们允许定义长度为 $0$ 的传输线，那么我们可以将任何的电压电流都可以分解为入射波和反射波。

假设某一位置处的电压电流为 $V$ 和 $I$ 。那么在该点处建立长度为 $0$ 的传输线且特征阻抗为 $Z_0$ 的方程：

$$V=V^{+}+V^{-}$$

$$I=I^{+}+I^{-}=\frac{V^{+}}{Z_0}-\frac{V^{-}}{Z_0}$$

求解得到：

$$I^{+}=\frac{V+Z_{0}I}{2Z_0}$$

$$I^{-}=\frac{Z_{0}I-V}{2Z_0}$$

$$V^{+}=\frac{V+Z_{0}I}{2}$$

$$V^{-}=\frac{V-Z_{0}I}{2}$$

例如，假设单个电阻上的电压为 $5V$ ，通过该电阻的电流为 $1A$ 假设假想 $Z_0=50Ohm$ 根据以上分解：

$$I^{+}=0.55,I^{-}=0.45,V^{+}=27.5,V^{-}=-22.5$$

理论上，单个集总参数的电阻并不会产生波动现象，但是通过级联一个假想的长度为 $0$ 的传输线，也可以将其分解为波动项。

S参数网络

对于端口网络， $Z$ 矩阵等都是建立在端口总电压和总电流的关系上。有时候建立在端口入射波和反射波的关系上反而更加有用，根据广义波动分解，端口总电压和总电流都可以分解为端口的入射波和反射波，这启发我们一个黑盒网络可以建立端口入射波和反射波的关系矩阵，这称为S参数网络。

我们定义端口 $n$ 的归一化入射功率：

$$a_n=\frac{V_n+Z_0{I}_n}{2\sqrt{Z_0}}=\sqrt{Z_0}{I}_n^{+}=\frac{V_n^{+}}{\sqrt{Z_0}}$$

其中 $I_n^{+}$ 是端口电流 $I_n$ 的正向波分量，而 $V_n^{+}$ 是端口电压 $V_n$ 的正向波分量。可以看到 $a_n$ 和 $I_n^{+}$ 和 $V_n^{+}$ 只差一个常数关系。因此可以将 $a_n$ 和 $I_n^{+}$ 和 $V_n^{+}$ 视为同一个量。

同理，定义端口 $n$ 的归一化反射功率：

$$b_n=\frac{V_n-Z_0{I}_n}{2\sqrt{Z_0}}=-\sqrt{Z_0}{I}_n^{-}=\frac{V_n^{-}}{\sqrt{Z_0}}$$

那么一个 S 网络可以表示为：

我们定义 $a_n$ 的方向永远是朝向端口内的方向而 $b_n$ 的方向永远是朝向端口外的方向。

这样，我们就可以定义 S 矩阵：

$$\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{S}_{11}& S_{12}\\ S_{21}& S_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right]$$

$\mathbf{B}=\mathbf{CA}$ 表明若已知所有端口的入射波，那么可以通过 C 矩阵求解端口的反射波。 S 网络就像镜子一样，将入射波线性反射回去。

需要注意的是 $Z_0$ 是我们假想的常量，与 S 网络内部无关。

求解S参数网络

首先若想求解 $S_{11}$ 那么必须让 $a_2=0$ 此时：

$$S_{11}={\frac{b_1}{a_1}|}_{a_2=0}$$

如果考虑在端口2接入一个阻值等于 $Z_0$ 的电阻：

对于端口 2 的电压电流有 $I_2=-\frac{V_2}{Z_0}$ 的关系，注意电流是正向是流向端口内，并且电压和电流同向，对其进行波动分解：

$$V_2^{+}=\frac{V_2+Z_0{I}_2}{2}=0$$

$$V_2^{-}=\frac{V_2-Z_0{I}_2}{2}=V_2$$

因此 $a_2=\frac{V_2^{+}}{\sqrt{Z_0}}=0$ 此条件下：

$$S_{11}=\frac{V_1^{-}}{V_1^{+}}={\Gamma }_0=\frac{Z_{in}-Z_0}{Z_{in}+Z_0}$$

其中 $Z_{in}$ 是在此测量条件下，从端口 1 看过去的输入阻抗。这说明 $S_{11}$ 等于此测量条件下的端口处的反射系数。

若想求解 $S_{21}$ 那么依然必须让 $a_2=0$ 此时：

$$S_{21}={\frac{b_2}{a_1}|}_{a_2=0}$$

若在端口 1 放置一个内置为 $Z_0$ 的测试电压源：

有：

$$a_1=\frac{V_1+Z_0{I}_1}{2\sqrt{Z_0}}=\frac{(V_s-Z_0{I}_1)+Z_0{I}_1}{2\sqrt{Z_0}}=\frac{V_s}{2\sqrt{Z_0}}$$

$$b_2=\frac{V_2^{-}}{\sqrt{Z_0}}=\frac{V_2}{\sqrt{Z_0}}$$

那么：

$$S_{21}={\frac{b_2}{a_1}|}_{a_2=0}=2\frac{V_2}{V_s}$$

等于该测量条件下 2 倍的总的正向电压增益。

同理交换 1 端口和 2 端口的测量方法，可以得到 $S_{22}$ 和 $S_{12}$ 。