Z变换详细介绍

Z变换是一种强有力的数学工具，用于分析和设计离散时间信号和系统。它是傅里叶变换和拉普拉斯变换在离散时间域的推广，广泛应用于数字信号处理、控制系统等领域。

定义

离散时间信号 $x [n]$ 的Z变换定义为：
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}$
其中， $z$ 是一个复数， $re^{j\omega}$ ， $r$ 是幅度， $\omega$ 是相角。

Z变换的基本性质

线性性：
若 $x_1[n]$ 和 $x_2[n]$ 的Z变换分别为 $X_1(z)$ 和 $X_2(z)$ ，则
$a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n] \rightarrow a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z)$
时间平移：
若 $x [n]$ 的Z变换为 $X (z)$ ，则
$\rightarrow z^{-k} X(z)$
卷积：
若 $x_1[n]$ 和 $x_2[n]$ 的Z变换分别为 $X_1(z)$ 和 $X_2(z)$ ，则卷积
$x_1[n] * x_2[n] \rightarrow Y(z) = X_1(z) \cdot X_2(z)$
初值定理：
$\lim_{z \to \infty} X(z)$
终值定理：
$\lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (z - 1) X(z)$

逆Z变换

逆Z变换用于将频域信号转换回时域信号，定义为：
$\frac{1}{2\pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz$
其中，积分路径 $C$ 是一个包含所有 $X (z)$ 极点的闭合路径。

常用的方法包括：

部分分式展开法：将 $X (z)$ 展开成部分分式，再将每个部分分式逆变换。
幂级数展开法：将 $X (z)$ 展开成幂级数，再根据定义求逆变换。
查表法：利用Z变换对照表进行逆变换。

稳定性和因果性

稳定性：系统的Z变换 $H (z)$ 在单位圆内绝对收敛。
因果性：系统的Z变换 $H (z)$ 具有所有极点在单位圆内。

Z变换的应用

差分方程求解：
通过Z变换，将差分方程转换为代数方程，求解后再通过逆Z变换得到时域解。
系统分析：
分析系统的稳定性、频率响应等。
滤波器设计：
设计数字滤波器，满足特定频率特性。

代码示例

以下是使用Python和scipy库进行Z变换和逆Z变换的示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import residue, freqz# 定义差分方程系数
b = [1, -0.5]  # 分子系数
a = [1, -1.5, 0.7]  # 分母系数# 计算系统的频率响应
w, h = freqz(b, a)# 绘制频率响应
plt.figure()
plt.plot(w, 20 * np.log10(abs(h)))
plt.title('Frequency response')
plt.xlabel('Frequency [rad/sample]')
plt.ylabel('Amplitude [dB]')
plt.grid()
plt.show()# 部分分式展开
r, p, k = residue(b, a)
print("Residues:", r)
print("Poles:", p)
print("Direct term:", k)# 使用逆Z变换求解时域响应（部分分式展开法）
n = np.arange(0, 20)
h = np.zeros_like(n, dtype=np.float64)
for i in range(len(r)):h += r[i] * p[i]**nplt.figure()
plt.stem(n, h, use_line_collection=True)
plt.title('Impulse response')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('h[n]')
plt.grid()
plt.show()