线性二次型调节器（LQR）

线性二次型调节器（LQR）是一种用于最优控制的问题，其中目标是通过最小化某个代价函数来找到最优控制策略。LQR特别适用于线性系统。为了在人形机器人上应用LQR进行建模，主要步骤包括建立系统模型、定义代价函数以及求解最优控制律。以下是详细步骤：

1. 系统建模

首先，建立人形机器人的线性状态空间模型。一般形式如下：

其中，x(t) 是状态向量，u(t) 是控制向量，A 是系统矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接传输矩阵。

2. 定义代价函数

LQR的目标是最小化以下二次型代价函数：

3. 求解Riccati方程

为了找到最优控制律，需要求解Riccati方程：

通过求解此方程可以得到矩阵 P。

4. 最优控制律

最优控制律为：