动态规划理论基础

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

例如：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。动态规划中dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的，然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。但如果是贪心呢，每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了，和上一个状态没有关系。所以贪心解决不了动态规划的问题。

动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

确定递推公式

dp数组如何初始化

确定遍历顺序

举例推导dp数组

在代码中找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

509.斐波那契数

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递归解法：

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n == 0 or n == 1:return nelse:return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)

动态规划：

1.确定dp数组及其下标的含义：dp[i]的含义为第i个数的斐波那契数值是dp[i]；

2.确定递推公式：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3.dp数组如何初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 1;

4.确定遍历顺序：从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的；

5.举例推导dp数组：按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，当n为10的时候，dp数组应该是：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55。

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n <= 1:return ndp = [0] * (n + 1)  # 创建dp数组dp[0], dp[1] = 0, 1  # dp数组初始化for i in range(2, n + 1):  # 从前向后遍历dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]return dp[n]

70.爬楼梯

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动规五部曲：

1.确定dp数组以及下标的含义：dp[i]爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法；

2.确定递推公式：从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶就是dp[i]。还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶就是dp[i]。那么dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

3.dp数组如何初始化：dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法。所以dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推；

4.确定遍历顺序：从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

5.举例推导dp数组：举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是1 2 3 5 8.

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:  # 与斐波那契数基本一致if n <= 2:return ndp = [0] * (n + 1)dp[0], dp[1], dp[2] = 0, 1, 2for i in range(3, n + 1):dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]return dp[n]

746.使用最小花费爬楼梯

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动归五部曲：

1.确定dp数组及其下标含义：dp[i]表示的是爬到第i级台阶所需费用的最小值；

2.确定递推公式：dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。因为要取最小值，所以公式为 dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3.dp数组如何初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 0；

4.确定遍历顺序：因为dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组；

5.举例推导dp数组：例2对应的dp数组为[0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6]。

class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:dp = [0] * (len(cost) + 1)  # 创建dp数组并初始化for i in range(2, len(cost) + 1):  # 从前向后遍历dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])  # 递推公式return dp[-1]  # 最后一项为爬到楼顶的消耗