正如老子所述，“道生一，一生二，二生三，三生万物”，数学作为人类认知自然法则的语言，其数系的不断发展象征着对世界理解的深化。从自然数经由分数、无理数至复数，复数虽看似反直觉，却在解决诸如旋转等问题上扮演了至关重要的角色。

复数与旋转的纽带

在实数域中，加减对应于数轴上的左右移动，乘除则反映了数轴上的缩放和平移变换。然而，数学不仅仅是对物理实在的抽象，还涵盖了对旋转运动的描述。而在复数出现之前，处理旋转问题确实棘手。

首先来看复数的定义：$i=\sqrt{-1}$，换种形式：$i^2=1\times i\times i=-1$。这就是虚数最基本的定义。拆解一下：乘法可以看成连续的操作，$1$ 经过2次完全一样的操作，变成 $-1$ 。那什么样的操作能得到这个效果呢？聪明的你可能已经想到了：旋转啊，先旋转90°，再旋转90°就可以了啊。

虚数单位 $i$ 实际上代表了数学意义上的 90°逆时针旋转 。

所以，$i$ 就代表旋转。

自然指数 $e$ 与复数的交融

众所周知，自然指数 $e$ 能够刻画物质的连续变化¹，并以极限形式定义为：
$$e^x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$$
当我们将变量 $x$ 替换为 $ix$ 时，得到：
$$e^{ix}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{ix}{n}\right)}^n$$
这一表达式揭示了一个深刻的几何图像，可通过数值计算工具如 MATLAB 得到具体的可视化结果：

• $n=20$ 时：
  
• $n=50$ 时：
  
• $n=500$ 时：
  
• $n=5000$ 时：
  

可见，当 $n$ 足够大的时候，$e^{ix}$ 其实就是一个单位圆。并且很容易看出：$e^{ix}$ 代表一族矢量，矢量的角度为 $x$ ，矢量的幅值为 $1$ 。于是，可以得到下面的图形：

欧拉恒等式的奇妙结构

由此引申出的欧拉恒等式是数学中的瑰宝：
$$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$$
这一公式直观地揭示了自然指数函数与三角函数在复数领域的统一性，相较于从泰勒级数推导的传统方法，从几何角度出发更能体现其直观美感。

欧拉恒等式的美丽特例

特别值得一提的是，当 $x$ 等于 $\pi$ 时，欧拉恒等式给出：
$$e^{i\pi }+1=0$$
这个等式被认为是最美丽的数学公式之一，因为它凝聚了五个基本数学元素——自然常数 $e$、圆周率 $\pi$、虚数单位 $i$、整数 $1$ 和 $0$，并通过加法和等号将其精巧地串联起来。若从几何意义解读，这意味着自然数 $1$ 绕原点逆时针旋转180度后，其在复数平面的位置恰与 $-1$ 相同，即回到了原点所在直线的另一侧。

所以，欧拉恒等式不仅仅是一个优美的数学定理，更是连接数学多个分支、解决实际问题的核心工具，它充分展示了数学的深远智慧和无比魅力。

---

参考：被众人膜拜的欧拉恒等式是个什么东东？

---

1. 自然常数“e”：工程中的自然数“1” ↩︎