Q26: 推导拉格朗日乘子法  的 KKT 条件

拉格朗日乘子法与 KKT 条件是啥？

拉格朗日乘子法是解决约束优化问题的利器。比如，想最小化函数 ，同时满足约束 ，就构造拉格朗日函数 （ 是乘子）。KKT 条件是解这类问题的核心规则，包含以下几点：

1. 梯度为零：，即 ，表示在最优解处，目标函数梯度与约束函数梯度成比例。
2. 原始可行性：，确保解在约束范围内。
3. 对偶可行性：，乘子非负。
4. 互补松弛：，意味着要么 （约束不起作用），要么 （约束刚好满足）。

在 LLM 中的使用

在 LLM 的模型压缩中，既要最小化模型大小 ，又要保证精度 （如精度下降不超过阈值）。通过 KKT 条件找到最优压缩参数，确保在精度约束下模型最小。例如，剪枝时确定保留哪些连接，使模型变小同时精度达标。

代码示例（简单约束优化）：

import numpy as np  
# 目标函数 f(x) = x²  
# 约束 g(x) = x - 1 ≤ 0  
def lagrangian(x, lam):  return x**2 + lam * (x - 1)  
# 假设λ=0，检查x=0是否满足  
x = 0  
g = x -1  
lam = 0  
print(f"x={x}, g(x)={g}, λg(x)={lam*g}")  
if lam * g ==0 and g <=0:  print("满足KKT条件")  

解释：代码中，若 ，满足 ，且 ，符合互补松弛。这说明无约束解  也满足约束，是最优解。LLM 中类似逻辑用于约束下的参数优化。

---

Q27: 分析投影梯度下降（Projected Gradient Descent）的可行性保持条件

投影梯度下降是啥？

投影梯度下降处理约束优化，先梯度下降更新参数，再将参数投影回可行域。可行性保持条件确保每次迭代后参数仍在可行域内。例如，可行域是 ，更新  后，投影  使 。

可行性保持条件

• 可行域需是凸集（如球体、矩形），保证投影唯一。
• 投影操作 满足  可行域。例如，若可行域 ，投影为 。

在 LLM 中的使用

LLM 训练中，对参数范数约束（如 ）防止过拟合。每次参数更新后，投影到范数球内。例如，训练 BERT 时，限制权重矩阵范数，投影确保权重在可行域，提升模型稳定性。

代码示例（简单投影梯度下降）：

import torch  
# 可行域 x ≥0  
x = torch.tensor([-1.0], requires_grad=True)  
eta = 0.1  
f = x**2  
f.backward()  
with torch.no_grad():  x -= eta * x.grad  x_proj = torch.max(torch.zeros(1), x)  # 投影  
print(f"更新后x: {x.item()}, 投影后x_proj: {x_proj.item()}")  

解释：代码中 x 初始为 - 1，梯度下降更新后，投影  确保 ，保持可行性。LLM 中类似投影操作，确保参数在约束范围内，优化更稳定。