机器学习——一元线性回归(算法实现与评估)

一元线性回归是统计学中最基础的回归分析方法，用于建立两个变量之间的线性关系模型。

1. 模型表达式

一元线性回归的数学模型为：

$\hat{y}=kx+b$

$\hat{y}$ ：因变量（预测值）
$x$ ：自变量（输入变量）
$k$ ：回归系数（斜率），表示xx每增加1单位时 $\hat{y}$ 的变化量
$b$ ：截距项，表示当x=0时 $\hat{y}$ 的取值

2. 参数估计：最小二乘法

通过最小化预测值与实际值的**残差平方和（RSS）**求解kk和bb：
目标函数：

$min\sum_{i=1}^{n}\left ( y_{i} -\hat{y}_{i}\right )_{}^{2}=min\sum_{i=1}^{n}\left ( y_{i} -kx_{i}-b\right )_{}^{2}$

参数计算公式：

斜率k：

$k=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i} -\hat{x}\right )\left ( y_{i} -\hat{y} \right )}{\left ( x_{i} -\hat{x}\right )_{}^{2}}$

截距b：
$b=\hat{y}-k\hat{x}$
其中， $\hat{x}$ 和 $\hat{y}$ 分别表示x和y的样本均值。

3、线性回归模型的评价

(1) MAE（平均绝对误差）

定义：所有样本预测值与真实值之差的绝对值的平均值。
公式：
$MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left | y_{i} -\hat{y}\right |$
特点：
- 单位与因变量一致，便于直观理解（如房价预测中的“万元”）。
- 对异常值不敏感，适用于需避免大误差惩罚的场景（如稳健预测）。
- 无法反映误差方向，仅衡量平均偏差大小

(2) MSE（均方误差）

定义：预测值与真实值之差的平方和的均值。
公式：
$MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( y_{i}-\hat{y} \right )_{}^{2}$
特点：
- 单位是原变量的平方（如“万元²”），解释性较差，但数学性质优良（连续可导）。
- 对异常值敏感，大误差会被放大，适用于需强调大误差的场景（如金融风险预测）。

(3) RMSE（均方根误差）

定义：MSE的平方根，将误差单位还原为原变量单位。
公式：

$RMSE=\sqrt{MSE}$

特点：
- 结合了MSE和MAE的优点：单位直观且对大误差敏感56。
- 常用于实际业务中（如房价预测误差表示为“5万美元”）

(4) R²（决定系数）

定义：模型解释因变量方差的比例，衡量拟合优度。
公式：
$^{R_{}^{2}}=1-\frac{\left (y_{i} -\hat{y_{i}} \right )_{}^{2}}{\left (y_{i} -\bar{y} \right )_{}^{2}}$
特点：
- 取值范围[0,1]：越接近1，模型解释力越强；0表示模型不优于均值预测。
- 无量纲性：不受数据量纲影响，适合跨数据集比较模型性能。
- 局限性：样本量小时可能高估拟合效果，且不直接反映误差大小。

4、代码实现

（1）、手动实现线性回归

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt###准备数据集#加载boston(波士顿房价)数据集
data_url = "http://lib.stat.cmu.edu/datasets/boston"
raw_df = pd.read_csv(data_url, sep="\s+", skiprows=22, header=None)
data = np.hstack([raw_df.values[::2, :], raw_df.values[1::2, :2]])
target = raw_df.values[1::2, 2]x = data[:,5]
y = targetx = x[y<50]
y = y[y<50]#显示
plt.scatter(x,y)
plt.show()#划分数据集
from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size = 0.3, random_state = 0)plt.scatter(x_train, y_train)
plt.show()###一元线性回归
def fit(x, y):a_up = np.sum((x-np.mean(x))*(y - np.mean(y)))a_bottom = np.sum((x-np.mean(x))**2)a = a_up / a_bottomb = np.mean(y) - a * np.mean(x)return a, b
a, b = fit(x_train, y_train)
print(a,b) #结果：(8.056822140369603, -28.49306872447786)#训练回归线
plt.scatter(x_train, y_train)
plt.plot(x_train, a*x_train+ b, c='r')
plt.show()#测试回归线
plt.scatter(x_test, y_test)
plt.plot(x_test, a*x_test+ b, c='r')
plt.show()

（2）、sklearn 实现一元线性回归

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt #准备数据集
data_url = "http://lib.stat.cmu.edu/datasets/boston"
raw_df = pd.read_csv(data_url, sep="\s+", skiprows=22, header=None)
data = np.hstack([raw_df.values[::2, :], raw_df.values[1::2, :2]])
target = raw_df.values[1::2, 2]x=data[:,5]
y=target x=x[y<50]
y=y[y<50]#划分数据集
from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size = 0.3, random_state = 0)#实现回归from sklearn.linear_model import LinearRegression
lin_reg = LinearRegression()lin_reg.fit(x_train.reshape(-1,1), y_train)y_predict = lin_reg.predict(x_test.reshape(-1,1))plt.scatter(x_test, y_test)
plt.plot(x_test, y_predict, c='r')
plt.show()

（3）、sklearn 实现多元线性回归（注意多元不用归一化）

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt #准备数据集
data_url = "http://lib.stat.cmu.edu/datasets/boston"
raw_df = pd.read_csv(data_url, sep="\s+", skiprows=22, header=None)
data = np.hstack([raw_df.values[::2, :], raw_df.values[1::2, :2]])
target = raw_df.values[1::2, 2]x=data
y=target x=x[y<50]
y=y[y<50]#划分数据集
from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size = 0.3, random_state = 0)#实现回归from sklearn.linear_model import LinearRegression
lin_reg = LinearRegression()lin_reg.fit(x_train, y_train)lin_reg.score(x_test, y_test) #结果：0.7455942658788952

5、模型评价

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn import datasets
import matplotlib.pyplot as plt###数据准备data_url = "http://lib.stat.cmu.edu/datasets/boston"
raw_df = pd.read_csv(data_url, sep=r"\s+", skiprows=22, header=None)
data = np.hstack([raw_df.values[::2, :], raw_df.values[1::2, :2]])
target = raw_df.values[1::2, 2]x=data[:, -1].reshape(-1, 1) 
y=target.reshape(-1, 1) from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size = 0.3, random_state = 0)###实现一元线性回归from sklearn.linear_model import LinearRegression
linearReg = LinearRegression()
#适配数据
model = linearReg.fit(x_train, y_train)
#得到预测函数
y_predict = model.predict(x_test)
#显示
plt.scatter(x_test, y_test, s = 10)
plt.plot(x_test, y_predict, c = 'r')
plt.show()### MSEy_real = y_test
mse = np.sum((y_real - y_predict) ** 2) / len(y_test)
print(mse )#公式计算 39.81715050474416
from sklearn.metrics import mean_squared_error
mean_squared_error(y_real, y_predict)# sklearn计算 39.81715050474416### RMSE
rmse = np.sqrt(mse) 
print(rmse )#公式计算 6.310083240714354
mean_squared_error(y_real, y_predict)# sklearn计算 6.310083240714354### MAE
mae = np.sum(np.abs(y_real - y_predict)) / len(y_test) 
print(mae ) #公式计算 4.4883446998468415
from sklearn.metrics import mean_absolute_error
mean_absolute_error(y_real, y_predict) # sklearn计算  4.4883446998468415###R方
r2 = 1 - (np.sum((y_real - y_predict) ** 2)) / (np.sum((y_real - np.mean(y_real)) ** 2))
print(r2)  #公式计算 0.5218049526125568 等效：1 - mse / np.var(y_real)
from sklearn.metrics import r2_score
r2_score(y_real, y_predict)# sklearn计算  0.5218049526125568

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