代码随想录算法训练营第三十五天|01背包问题二维和一维（卡码网第46题）、416分割等和子集

day35 动态规划part03

1. 01背包问题二维卡码网第46题

01 背包：有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动规五部曲分析：具体可看代码随想录完整讲解

（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

（2）确定递推公式

不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

（3）dp数组如何初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

其次，状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {//其他部分不需要初始化，因为一开始已经都置为0了
dp[0][j] = value[0];
}

（4）确定遍历顺序

先遍历物品还是先遍历背包重量呢？

都可以！！但是先遍历物品更好理解。

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}
}

（5）举例推导dp数组

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间cin >> n >> bagweight;vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值for(int i = 0; i < n; ++i) {cin >> weight[i];}for(int j = 0; j < n; ++j) {cin >> value[j];}// dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));// 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值// j < weight[0]已在上方被初始化为0// j >= weight[0]的值就初始化为value[0]for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];}for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值else {dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}}cout << dp[n - 1][bagweight] << endl;return 0;
}

2. 01背包问题一维

（1）确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

（2）一维dp数组的递推公式

二维dp数组的递推公式为： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

一维dp数组，其实就上一层 dp[i-1] 这一层拷贝的到 dp[i]来。

所以在上面递推公式的基础上，去掉i这个维度就好。

递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

以下为分析：

dp[j]为容量为j的背包所背的最大价值。

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量为 [j - 物品i重量] 的背包加上物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

所以递归公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

（3）一维dp数组如何初始化

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标都初始为0就可以了。

（4）一维dp数组遍历顺序

代码如下：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

为什么呢？

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

那为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢？

因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

（5）举例推导dp数组

// 一维dp数组实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main() {// 读取 M 和 Nint M, N;cin >> M >> N;vector<int> costs(M);vector<int> values(M);for (int i = 0; i < M; i++) {cin >> costs[i];}for (int j = 0; j < M; j++) {cin >> values[j];}// 创建一个动态规划数组dp，初始值为0vector<int> dp(N + 1, 0);// 外层循环遍历每个类型的研究材料for (int i = 0; i < M; ++i) {// 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {// 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);}}// 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值cout << dp[N] << endl;return 0;
}

3. 416分割等和子集

思路分析

（1）问题转化：

要将数组分成两个和相等的子集，首先需要计算数组的总和。
如果数组总和为奇数，那么就不可能分成两个和相等的子集，因为两个相等的子集的和必须是偶数。
如果数组总和为偶数，我们可以将目标问题转化为：能否在数组中找到一个子集，其和为总和的一半。

（2）动态规划：

设定目标值为 target = sum(nums) / 2。
然后，我们要判断是否存在一个子集，其和为 target。这实际上就是经典的 背包问题。
使用动态规划来判断能否通过选择数组中的元素来达到和为 target。

动规五部曲：

1、确定 dp 数组以及下标的含义

dp[i]：表示是否存在一个子集，其和为 i。

2、确定递推公式

递推公式基于是否选择当前元素来更新 dp 数组。

不选择当前元素
- dp[j] 仍然保持原值，表示没有选当前元素的情况。
选择当前元素
- 如果当前背包容量 j 大于等于当前元素 nums[i]，那么可以通过选择当前元素来更新 dp[j]。具体而言，dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]]，即：如果 dp[j - nums[i]] 为 true，说明我们可以通过之前的子集加上当前元素nums[i]，得到背包容量为 j。

3、dp 数组如何初始化

- 初始时，dp[0] = true，表示和为 0 是一定可以的（即不选任何元素的情况）。
- 其他所有 dp[j] = false，表示尚未确定是否能组成 j。

4、确定遍历顺序

为了避免重复使用元素，需要倒序遍历背包容量 j。（类似上述一维的思路一样）

外层遍历物品：对于每个元素 nums[i]，我们都尝试更新 dp 数组。
内层遍历背包容量：背包容量从大到小进行遍历，确保当前物品 nums[i] 只被使用一次。

遍历顺序：外层遍历物品（nums[i]），内层遍历背包容量 j（从大到小）。

倒序遍历背包容量 j 是为了保证每个物品只被使用一次。

5、举例推导dp数组

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);// 如果总和是奇数，直接返回falseif (sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;// 初始化dp数组，dp[i]表示是否可以用数组中的一些元素组成和为ivector<bool> dp(target + 1, false);dp[0] = true; // 和为0是可以通过空子集得到的// 遍历所有的物品for (int num : nums) {// 从后往前遍历dp数组，防止重复使用同一个元素for (int j = target; j >= num; --j) {dp[j] = dp[j] || dp[j - num];}}// 返回dp[target]，表示是否可以凑成和为target的子集return dp[target];}
};