优化问题的背景

给出的优化目标是一个多变量的函数，形式如下：

$$\begin{gathered} \underset{W,b,Y\in Ind,Z}{\min }{\Vert X^{T}W+1b^T-Y\Vert }_F^2+\gamma \Vert W{\Vert }_F^2 \\ +\lambda \mathrm{tr}\left(Z^{T}11^{T}Z\right)+\frac{\mu }{2}{\Vert Y-Z+\frac{1}{\mu }\Lambda \Vert }_F^2 \end{gathered}$$

这里的目标函数包括多项：

1. 第一项 $\Vert X^{T}W+1b^T-Y{\Vert }_F^2$

   • 描述的是 $Y$ 和 $X^{T}W+1b^T$ 的差异（平方 Frobenius 范数）。
   • $W$ 和 $b$ 是待优化的线性模型参数，$Y$ 是一个表示分类结果的离散矩阵。

2. 第二项 $\gamma \Vert W{\Vert }_F^2$

   • 是 $W$ 的正则化项，用于控制模型复杂度，防止过拟合。

3. 第三项 $\lambda \mathrm{tr}\left(Z^{T}11^{T}Z\right)$

   • 控制 $Z$ 的某种稀疏性（或行一致性），其中 $1$ 是全 1 的列向量，$\mathrm{tr}$ 表示迹运算。

4. 第四项 $\frac{\mu }{2}{\Vert Y-Z+\frac{1}{\mu }\Lambda \Vert }_F^2$

   • 表示 $Y$ 和 $Z$ 的一致性约束，$\Lambda$ 是拉格朗日乘子，$\mu$ 是一个惩罚参数。
   • 这种形式通常出现在交替方向乘子法（ADMM）中，用于逼近等式约束 $Y\approx Z$。

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固定 $W$, $b$, $Z$ 的优化问题

重写优化问题

在固定 $W$, $b$, $Z$ 的情况下，优化问题只需针对 $Y$ 来求解。将目标函数中与 $Y$ 相关的部分提取出来：

$$\underset{Y\in Ind}{\min }\Vert X^{T}W+1b^T-Y{\Vert }_F^2+\frac{\mu }{2}\Vert Y-Z+\frac{1}{\mu }\Lambda {\Vert }_F^2$$

展开平方项：

$$\Vert X^{T}W+1b^T-Y{\Vert }_F^2=\Vert X^{T}W+1b^T{\Vert }_F^2-2⟨X^{T}W+1b^T,Y⟩+\Vert Y{\Vert }_F^2$$

$$\Vert Y-Z+\frac{1}{\mu }\Lambda {\Vert }_F^2=\Vert Y{\Vert }_F^2-2⟨Y,Z-\frac{1}{\mu }\Lambda ⟩+\Vert Z-\frac{1}{\mu }\Lambda {\Vert }_F^2$$

将它们代入优化目标并合并常数项，最终可以化简为：

$$\underset{Y\in Ind}{\min }\Vert Y-V{\Vert }_F^2+\text{const.}$$

其中，常数部分与 $Y$ 无关，$V$ 是定义为：

$$V=\frac{2}{2+\mu }\left(X^{T}W+1b^T\right)+\frac{1}{2+\mu }(\mu Z-\Lambda )$$

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进一步的离散约束

矩阵 $Y\in Ind$ 表示一个类别分配矩阵：

1. 每个元素 y i k ∈ { 0 , 1 } y_{ik} \in \{0,1\} yik​∈{0,1} 表示是否将样本 $i$ 分配给类别 $k$。
2. 每一行的和为 1，即 ${\sum }_{k=1}^c{y}_{ik}=1$，表示每个样本必须且只能属于一个类别。

在这种情况下，优化目标可以写成：

min ⁡ Y ∑ i = 1 n ∑ k = 1 c ( y i k − v i k ) 2 , s . t . y i k ∈ { 0 , 1 } , ∑ k = 1 c y i k = 1 \min_{Y} \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^c (y_{ik} - v_{ik})^2, \quad s.t. \quad y_{ik} \in \{0,1\}, \sum_{k=1}^c y_{ik} = 1 Ymin​i=1∑n​k=1∑c​(yik​−vik​)2,s.t.yik​∈{0,1},k=1∑c​yik​=1

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如何求解？

由于每行的 $y_{i:}$ 中只有一个值为 1，其他为 0，问题可以通过遍历（traversal strategy）逐行解决：

每一行的优化

对固定的第 $i$ 行，目标是：

min ⁡ y i : ∑ k = 1 c ( y i k − v i k ) 2 , s . t . y i k ∈ { 0 , 1 } , ∑ k = 1 c y i k = 1 \min_{y_{i:}} \sum_{k=1}^c (y_{ik} - v_{ik})^2, \quad s.t. \quad y_{ik} \in \{0,1\}, \sum_{k=1}^c y_{ik} = 1 yi:​min​k=1∑c​(yik​−vik​)2,s.t.yik​∈{0,1},k=1∑c​yik​=1

通过观察，这实际上是选择一个使 $v_{ik}$ 最大的 $k$。因此，最优解为：

y i k = { 1 , if  k = arg ⁡ max ⁡ k { v i k } k = 1 c 0 , otherwise. y_{ik} = \begin{cases} 1, & \text{if } k = \arg\max_k \{v_{ik}\}_{k=1}^c \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases} yik​={1,0,​if k=argmaxk​{vik​}k=1c​otherwise.​

换句话说，对于每个样本 $i$，$Y$ 的每一行都会被设置为一个独热编码（one-hot encoding），对应于 $v_{ik}$ 最大的类别索引。

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迭代终止条件

通过交替优化（如 ADMM），我们不断更新 $W,b,Y,Z$ 和 $\Lambda$。对 $Y$ 的更新迭代直到满足以下条件之一：

1. $Y-Z\to 0$：表示 $Y$ 和 $Z$ 的一致性达到要求。
2. $\Lambda$ 不再更新：拉格朗日乘子停止变化，说明约束收敛。

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这是因为优化问题的目标函数和约束条件直接导致了这种选择。让我们详细分析其中的数学逻辑。

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目标函数的形式

我们需要解决的问题是：

$$\underset{y_{ik}}{\min }\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^c(y_{ik}-v_{ik}{)}^2$$

约束条件

1. 每个元素 y i k ∈ { 0 , 1 } y_{ik} \in \{0, 1\} yik​∈{0,1}，表示 $y_{ik}$ 要么是 0，要么是 1。
2. 每行 $y_{i:}=(y_{i1},y_{i2},\dots ,y_{ic})$ 中，只有一个值是 1，即：
   $$\sum _{k=1}^c{y}_{ik}=1$$

换句话说，矩阵 $Y$ 的每一行是一个独热编码（one-hot encoding），表示样本 $i$ 属于某个类别 $k$。

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分解为逐行优化

在给定约束下，优化目标可以逐行独立解决，因为每一行 $y_{i:}$ 的变量互不影响。这意味着我们可以逐行求解：

min ⁡ y i : ∑ k = 1 c ( y i k − v i k ) 2 , subject to  y i k ∈ { 0 , 1 } , ∑ k = 1 c y i k = 1. \min_{y_{i:}} \sum_{k=1}^c (y_{ik} - v_{ik})^2, \quad \text{subject to } y_{ik} \in \{0, 1\}, \sum_{k=1}^c y_{ik} = 1. yi:​min​k=1∑c​(yik​−vik​)2,subject to yik​∈{0,1},k=1∑c​yik​=1.

逐行优化的含义

对第 $i$ 行来说，目标是：

$$\underset{y_{i:}}{\min }\sum _{k=1}^c(y_{ik}-v_{ik}{)}^2$$

由于 $y_{i:}$ 的每个元素 $y_{ik}$ 只能取值 0 或 1，并且约束 ${\sum }_{k=1}^c{y}_{ik}=1$ 确保其中只有一个值为 1，这就意味着我们只需要选择一个类别 $k$，使得目标函数对这一行的贡献最小。

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目标函数最小化的选择

观察目标函数中的每一行优化问题：

$$\sum _{k=1}^c(y_{ik}-v_{ik}{)}^2$$

1. $y_{ik}=1$ 时，$(y_{ik}-v_{ik}{)}^2=(1-v_{ik}{)}^2$。
2. $y_{ik}=0$ 时，$(y_{ik}-v_{ik}{)}^2=v_{ik}^2$。

为了满足约束，每行只能有一个 $y_{ik}=1$，其他 $y_{ik}=0$。因此，优化目标可以等价于：

$$\underset{k}{\min }(1-v_{ik}{)}^2+\sum _{j\ne k}{v}_{ij}^2$$

因为 ${\sum }_{j\ne k}{v}_{ij}^2$ 对所有 $k$ 都是相同的（只影响固定的其他列），所以只需要最小化 $(1-v_{ik}{)}^2$，也就是最大化 $v_{ik}$。

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总结

最终的逐行解可以表述为：

y i k = { 1 , if  k = arg ⁡ max ⁡ k { v i k } k = 1 c , 0 , otherwise. y_{ik} = \begin{cases} 1, & \text{if } k = \arg\max_k \{v_{ik}\}_{k=1}^c, \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases} yik​={1,0,​if k=argmaxk​{vik​}k=1c​,otherwise.​

这实际上是找到第 $i$ 行中 $v_{ik}$ 最大的那个 $k$，将 $y_{ik}$ 设置为 1，其他设置为 0。

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直观解释

1. $v_{ik}$ 表示优化中一个候选类别 $k$ 对样本 $i$ 的分数。
2. 为了让 $y_{i:}$ 逼近 $v_{i:}$，自然选择分数最大的类别 $k$ 为 1，其他为 0。

因此，这就是为什么选择 $\arg {\max }_k{v}_{ik}$ 的原因！

总结

1. 给出的优化问题包含连续和离散变量，目标是找到一个满足多项约束的最优解。
2. 在固定部分变量后，针对离散变量 $Y$ 的优化被转化为一个简单的行级别问题。
3. 对每行的优化，通过找到 $v_{ik}$ 的最大值索引实现，得到一个独热编码解。
4. 迭代更新 $Y$ 直到收敛或满足终止条件。