梯度下降和梯度上升的区别

目录

  • 梯度下降
  • 梯度上升
  • 总结

梯度下降

定义和目的:
梯度下降是一种优化算法,用于最小化一个目标函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ)。常用于监督学习,表示模型预测和实际结果之间的误差。梯度下降的目的是找到使损失函数最小化的参数 θ \theta θ

工作原理:
梯度方向是函数值增大最快的方向。
在梯度下降中,参数更新的方向是当前梯度的反方向,因为这是函数值下降最快的方向。数学表达为:
θ = θ − α ∇ J ( θ ) \theta = \theta - \alpha \nabla J(\theta) θ=θαJ(θ)
其中, α \alpha α是学习率, ∇ J ( θ ) \nabla J(\theta) J(θ)是目标函数关于参数 θ \theta θ的梯度。

如果直接按梯度的方向调整参数(即参数加上梯度),则会导致损失函数值的增加:
• 梯度为正:参数加上这个正梯度,参数值变大,导致损失函数增大。
• 梯度为负:参数加上这个负梯度,参数值变小,同样导致损失函数增大。

因为我们的目标是减小损失函数的值,所以在梯度下降法中,我们选择的是梯度的反方向,即参数减去梯度乘以学习率。这样的操作确保了无论梯度的正负如何,参数的更新方向总是向着减少损失函数值的方向进行,有效推动了优化过程朝向损失函数的最小值前进。这也是为什么梯度下降是一种如此广泛使用的优化技术,它简单且在多种问题上表现良好。

举例说明: f ( x ) = x 2 − 2 x f(x) = x^2 - 2x f(x)=x22x, ∇ f ( x ) = 2 x − 2 \nabla{f(x)} = 2x -2 f(x)=2x2, x = 1 x=1 x=1 f ( x ) f(x) f(x)取最小值-1。当 x = 0.5 x=0.5 x=0.5, f ( 0.5 ) = − 0.75 f(0.5)=-0.75 f(0.5)=0.75, ∇ f ( 0.5 ) = − 1 \nabla{f(0.5)} = -1 f(0.5)=1梯度是负数,设学习率是0.1, 0.6 = 0.5 − 0.1 ∗ ( − 1 ) 0.6= 0.5-0.1*(-1) 0.6=0.50.1(1) f ( 0.6 ) = − 0.84 f(0.6)=-0.84 f(0.6)=0.84,参数值 x x x变大(0.6>0.5),损失函数的值变小。
x = 1.5 x=1.5 x=1.5, f ( 1.5 ) = − 0.75 f(1.5)=-0.75 f(1.5)=0.75, ∇ f ( 1.5 ) = 1 \nabla{f(1.5)} = 1 f(1.5)=1,梯度是正数,同样的学习率, 1.4 = 1.5 − 0.1 ∗ 1 1.4= 1.5-0.1*1 1.4=1.50.11 f ( 1.4 ) = − 0.84 f(1.4)=-0.84 f(1.4)=0.84,参数值 x x x变小(1.4<1.5),损失函数的值同样变小。

梯度上升

定义和目的:
梯度上升是梯度下降的对立面,用于最大化一个目标函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ)。常用于强化学习,例如最大化reward的期望。

工作原理:
在梯度上升中,参数更新的方向是当前梯度的方向,因为这是函数值增加最快的方向。数学表达为:
θ = θ + α ∇ J ( θ ) \theta = \theta + \alpha \nabla J(\theta) θ=θ+αJ(θ)
其中, α \alpha α是学习率, ∇ J ( θ ) \nabla J(\theta) J(θ)是目标函数关于参数 θ \theta θ的梯度。

应用场景:
梯度上升常用于需要最大化某个目标函数的场景,如最大化似然函数、增加某策略的预期回报等。

总结

梯度下降和梯度上升都是通过梯度信息来引导参数更新,以期达到优化目标(最小化或最大化)。它们在不同的应用中根据优化的需求选择使用,核心思想是利用梯度(即目标函数的斜率)来确定参数更新的最佳方向。这两种方法的选择取决于是否希望目标函数值增加还是减少。梯度的计算和应用是现代机器学习和统计学中最为核心的技术之一,广泛应用于各种算法和模型优化过程中。

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