损失函数
损失函数（Loss Function），也有称之为代价函数（Cost Function），用来度量预测值和实际值之间的差异。
损失函数的作用
- 度量决策函数f（x）和实际值之间的差异。
- 作为模型性能参考。损失函数值越小，说明预测输出和实际结果（也称期望 输出）之间的差值就越小，也就说明我们构建的模型越好。学习的过程，就 是不断通过训练数据进行预测，不断调整预测输出与实际输出差异，使的损失值最小的过程。
常用损失函数
均方误差
均方误差（Mean square error）损失函数。均方误差是 回归问题常用的损失函数 ，它是预测值与目标值之间差值的平方和，其公式和图像如下所示： 
为什么使用误差的平方
• 曲线的最低点是可导的
• 越接近最低点，曲线的坡度逐渐放缓，有助于通过当前的梯度来判断接近最低点的程 度（是否逐渐减少步长，以免错过最低点）
交叉熵
交叉熵（Cross Entropy）。交叉熵是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息，在机器学习中用来作为分类问题的损失函数。假设有两个概率分布，tk与yk ,其交叉熵函数公式及图形如下所示：
模拟计算交叉熵
import numpy as npy_true = [0 ,0 ,0 ,1 ,0]
pred_y1 = [0.1,0.1,0.1,0.6,0.1]
pred_y2 = [0.1,0.1,0.05,0.7,0.05]
pred_y3 = [0.01,0.02,0.03,0.8,0.05]total1,total2,total3 = 0,0,0
for i in range(len(y_true)):total1 += y_true[i] * np.log(pred_y1[i])total2 += y_true[i] * np.log(pred_y2[i])total3 += y_true[i] * np.log(pred_y3[i])total1,total2,total3 = -total1,-total2,-total3 print('交叉熵1:',total1)
print('交叉熵2:',total2)
print('交叉熵3:',total3)
注意：交叉熵越小越好
梯度下降
梯度（gradient）是一个向量（矢量，有方向），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大。损失函数沿梯度相反方向收敛最快（即能最快找到极值点）。当梯度向量为零（或接近于零），说明损失函数到达一个极小值点，模型准确度达到一个极大值点。
通过损失函数，我们将“寻找最优参数”问题，转换为了“寻找损失函数 最小值”问题。
寻找步骤：
（1）损失是否足够小？如果不是，计算损失函数的梯度。
（2）按梯度的反方向走一小步，以缩小损失。
（3）循环到（1）。
这种按照负梯度不停地调整函数权值的过程就叫作“ 梯度下降法 ”。通过这样的方法， 改变每个神经元与其他神经元的连接权重及自身的偏置，让损失函数的值下降得更快， 进而将值收敛到损失函数的某个极小值。
导数
所谓导数，就是用来分析函数“变化率”的一种度量。其公式为：
导数的含义：反映变化的剧烈程度（变化率）
偏导数
“偏导”的英文本意是“partial derivatives“（表示局部导数）。对于多维变量函数而言，当求某个变量的导数时，就是把其他变量视为常量，然后对整个函数求其导数 （相比于全部变量，这里只求一个变量，即为“局部”）。例如有函数：
学习率
学习率是梯度下降过程中，在梯度值前面的系数，用来控制调整的步幅大小
梯度递减训练法则
神经网络中的权值参数是非常多的，因此针对损失函数E的权值向量的梯度如以下公 式所示：
注意中间是恒等于。
批量梯度下降
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，BGD）是最原始的形式，它是指在每一次迭代时使用所有样本来进行梯度的更新。
- 优点：
- 一次迭代是对所有样本进行计算，此时利用矩阵进行操作，实现了并行。
- 由全数据集确定的方向能够更好地代表样本总体，从而更准确地朝向极值所在的方向。 当目标函数为凸函数时，BGD一定能够得到全局最优。
- 缺点：
- 当样本数目 m 很大时，每迭代一步都需要对所有样本计算，训练过程会很慢。
随机梯度下降
随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）每次迭代使用一个样本来对参数进行更新，使得训练速度加快。
- 优点：
- 由于不是在全部训练数据上的损失函数，而是在每轮迭代中，随机优化某一条训练数据上的损失函数，这样每一轮参数的更新速度大大加快。
- 缺点：
- 准确度下降。由于即使在目标函数为强凸函数的情况下，SGD仍旧无法做到线性收敛。
- 可能会收敛到局部最优，由于单个样本并不能代表全体样本的趋势。
- 不易于并行实现。
小批量梯度下降
小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent, MBGD）是对批量梯度下降以及随 机梯度下降的一个折中办法。其思想是：每次迭代 使用指定个（batch_size）样本来对 参数进行更新。
- 优点：
- 通过矩阵运算，每次在一个batch上优化神经网络参数并不会比单个数据慢太多。
- 每次使用一个batch可以大大减小收敛所需要的迭代次数，同时可以使收敛到的结果更加接近梯度下降的效果。
- 缺点：
- batch_size的不当选择可能会带来一些问题。
几种梯度下降算法收敛比较
- 批量梯度下降稳健地向着最低点前进 的
- 随机梯度下降震荡明显，但总体上向最低点逼近
- 小批量梯度下降位于两者之间
