这个算法《算法导论》中并没有提及，很多书和博客说的有点奇怪，所以写本文作为笔记。

关键路径是什么

关键路径的定义非常简单：就是一个图中，权值之和最大的路径就是关键路径。

那么就可以知道关键路径不唯一。

为什么有关键路径

关键路径的来源和拓扑排序是一样的，都是将一项较大的工程划分为多个子工程，然后表示子工程之间的关系的。

关键路径和拓扑排序不同之处在于：

• 拓扑排序强调子工程之间的先后顺序（说依赖关系可能更恰当一些），比如必须做完a才能做c。
• 关键路径在拓扑排序的基础上，还加入了时间关系。这个时间关系不光是子工程之间的，也包括子工程和整体之间的。

比如必须做完a和b才能做c，做完c和d才能做e，而a需要 3 天，b需要 5 天，c需要 1 天，d需要 4 天。

• 那么整体上来说，
  • c必须要等五天后才可以开始做，这个 5 天有个术语叫c的最早发生时间，也就是c最快要什么时候开始。 d的最早发生时间是0，因为没有前置事件，同理a和b也是 0。
  • d最快可以一开始就做，因为没有前置事件，但是最晚开始的时间，只能推迟一天，不然加上做的 4 天，1+4=5，会导致c做完了，d还没做完，就会耽误e的发生。而这个 1 天的术语叫做最迟发生时间，也就是d最晚要什么时候开始。

  • 需要注意这里的时间由于是从0开始的，等五天后得到的是2+3=5，相当于第六天开始，写算法的时候要注意这点。

• 局部来说，a可以延期 2 天再开始，d可以延期 1 天，也都不会耽误进度。在关键路径中，这个可以延期的时间也有个术语叫做时间余量。可以看到就是最迟发生时间 - 最早发生时间，或者说结束时间-(最早结束时间-子工程耗时)，明白含义之后，公式和变形就很好记了。

当然稍微复杂一些的最迟发生时间就很难简单看出来了，因为前置条件太复杂，所以要有个计算流程，避免人为出错。

如何求得关键路径

求关键路径的方法很多书上说的很难似的，其实很简单。以下图为例：

源点（开始的点）选择是V1。

AOE 关键路径图中，顶点是子工程的开始，边是事件。箭头可以理解为时间的发展方向。这与拓扑排序不同。

第一步：求子工程之间的关系和最早发生时间

关键路径的来源和拓扑排序是一样的，第一步当然是先找到子工程之间的依赖关系，在这个过程中，可以顺道加上路径的权值（在上面的例子中，也就是天数）。

那么可以得到一个序列和每个节点的最早开始时间$V_e(i)$。也就是路径权值相加最大值，具体来说，就是多个前驱的时候选最早开始时间+权值最大的一个，刚好与最短路径算法相反：

	$V_1$	$V_2$	$V_3$	$V_4$	$V_5$	$V_6$
$V_e(i)$	0	3	2	6	6	8

下标e表示early，早嘛。

第二步：求子工程最迟发生时间（逆拓扑排序）

拓扑排序是先从无前驱的节点开始（没有前置条件），然后删点删边，一次次后得到序列。而逆拓扑排序是从无后继节点开始（不会影响其他节点）。

这里概念听上去就很乱，但是实际上你可以重现画一个图，前驱改后继，后继改前驱（箭头取反），然后从得到的最大值（这里是8）进行拓扑排序和记录时间（加变减），得到的结果一样的，远比书上的方法简单快速，不易出错。

如果你看不到下面的，就按照上面的说法，自己拿草稿纸画一下，立马就懂了。

那么可以得到一个序列和对应的最迟开始时间$V_l(i)$。具体每步就是从尾部开始，每个节点的最迟开始时间$V_l(i)$为上一个节点的最后开始时间 - 前驱的最小权值。

上面得到的最早开始时间序列为：

	$V_1$	$V_2$	$V_3$	$V_4$	$V_5$	$V_6$
$V_e(i)$	0	3	2	6	6	8

最后一个节点的最迟开始时间和最早开始时间一样：

	$V_1$	$V_2$	$V_3$	$V_4$	$V_5$	$V_6$
$V_e(i)$	0	3	2	6	6	8
$V_l(i)$						8

$V_6$逆拓扑排序消除$V_4$、$V_5$对应的权值为2、1（就一个，不分大小了就）。8减去可得：

	$V_1$	$V_2$	$V_3$	$V_4$	$V_5$	$V_6$
$V_e(i)$	0	3	2	6	6	8
$V_l(i)$				6	7	8

然后逆拓扑排序$V_2$、$V_3$，要求节点最晚发生时间-权值最小，那么对应最小权值为2、4（都从$V_4$），6减去这两个值可得：

这里是为了说明，实际上算出来直接选就行了，“最小权值”不需要求出来。

	$V_1$	$V_2$	$V_3$	$V_4$	$V_5$	$V_6$
$V_e(i)$	0	3	2	6	6	8
$V_l(i)$		4	2	6	7	8

最后减去最小后继权值2（从$V_3$），2减去这个值可得：

	$V_1$	$V_2$	$V_3$	$V_4$	$V_5$	$V_6$
$V_e(i)$	0	3	2	6	6	8
$V_l(i)$	0	4	2	6	7	8

第三步：作差得到时间余量，为0的就是关键节点，组成关键路径

	$V_1$	$V_2$	$V_3$	$V_4$	$V_5$	$V_6$
$V_e(i)$	0	3	2	6	6	8
$V_l(i)$	0	4	2	6	7	8
$V_l(i)-V_e(i)$	0	1	0	0	1	0

那么关键路径就为：$V_1->V_3->V_4->V_6$。很多图的关键路径不能这么算，因为可能有多个路径的权值之和都是最大值，也就是说有多个关键路径，那么就要自己看一下图了，选一个好算的。（也就是下一节的内容）

快速计算

按照上面的方法很烦，每次计算都要算两个序列，我又不是电脑，算那么多很慢的，所以可以直接找最大后继或最小前驱。

以 2019 年 408 的一道题来说：找出下面 AOE 网中，活动 d最早开始时间和最晚开始时间。

你可以算两个序列，但是那太麻烦了。

开始时间就是前面的节点，也就是2。那就算从1到2之间最大的路径和最长路径减去2到6之间的最小路径。

那么眼一打最早开始时间就是12。

最晚开始时间可能需要算一下1到6的最大路径，算出来是27。然后继续用眼一打，2到6之间的最小路径为13，那么27-13=14。所以最晚开始时间是14。

怕看错，就把每个路径写出来，然后选出最大/最小的一个，有些路径大题就是这么答的。

这个原理是关键路径的定义：权值之和最大的路径就是关键路径。所以关键路径不唯一，我们可以利用这一点选一个好算的路径就行了。

关键路径有何用

我们前文说，关键路径表示的是工程所需的最大时间，那么就可以使用关键路径得知如何改进时间。

如果改进一件事的时间，可以让所有关键路径（也就是最大值）减少，那么改进这件事所需的时间，就可以减少整个工程所需的时间。

希望能帮到有需要的人～