C++图网结构算法

一.迪杰斯特拉算法（dijkstra）

1.实现原理：

2.代码实现：

3.例题：

二.spfa算法：

1.实现原理：

2.代码实现：

3.例题：

三.贝尔曼福特（bellman_ford）

1.实现原理：

2.代码实现：

3.例题：

四.弗洛伊德（floyd）

1.实现原理：

2.代码实现：

3.例题：

4.floyd性质探索：

（1）.性质一

（2）.性质二

（3）.性质三

5.floyd传递闭包问题

一.迪杰斯特拉算法（dijkstra）

1.实现原理：

dijkstra算法能实现的原因是它保证了在第一次出队之后，答案一定为最短。也就是出队之后

，一定不会再有更短的路径出队，而dijkstra算法的实现就是基于边权不为负的情况下。

实现步骤：
1.初始化所有点到起点1的距离为正无穷，且dis[1]=0。
2.将起点信息(0,1)入队进行bfs拓展。
3.将起点相连点入队，即(1,2)，（2,3）入队。更新点2,3的距离信息。
4.继续拓展节点2，3，将(9,4)，(5,4)以及(9,5)入队。此时队首为(5,4)，将该节点出队，得到dis[4]=5。
5.继续拓展，直到终点出队...

2.代码实现：

用dis数组记录到每个点的具体距离，每一次循环后，加上相应的边权

priority_queue<node> q;
void dijkstra(int x) {memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[x]=0;q.push({0,x});while(!q.empty()) {node t=q.top();q.pop();int y=t.p;vis[y]=true;for(int i=he[y]; i; i=nxt[i]) {int z=per[i],w=ed[i];if(vis[z]==false && dis[z]>dis[y]+w) {dis[z]=dis[y]+w;q.push({dis[z],z});}}}
}

3.例题：

求单源最短路

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值(边权小于10000)。
请你求出1号点到n号点的最短距离。如果无法从1号点走到n号点，则输出-1。第一行包含整数n和m(n<=1e5,m<=2e5)。
接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。

输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离
如果路径不存在，则输出-1。

用例输入 1

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m,tot,ed[N*2],nxt[N*2],he[N],per[N*2],dis[N*2];
bool vis[N*2];
void add(int x,int y,int z) {//邻接表++tot;per[tot]=y,ed[tot]=z,nxt[tot]=he[x],he[x]=tot;
}
struct node {int d,p;
};
bool operator < (node x,node y) {//重载运算符，明确在优先队列中的排序依据return x.d>y.d;
}
priority_queue<node> q;
void dijkstra(int x) {memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[x]=0;q.push({0,x});while(!q.empty()) {node t=q.top();q.pop();int y=t.p;vis[y]=true;for(int i=he[y]; i; i=nxt[i]) {int z=per[i],w=ed[i];if(vis[z]==false && dis[z]>dis[y]+w) {//比较最小dis[z]=dis[y]+w;q.push({dis[z],z});//入队}}}
}
int main() {cin>>n>>m;for(int i=1; i<=m; i++) {int x,y,z;cin>>x>>y>>z;add(x,y,z);//有向图}dijkstra(1);if(dis[n]==0x3f3f3f3f) cout<<-1;//是否遍历到过，没有就没法从医到这个点else cout<<dis[n];return 0;
}

二.spfa算法：

对于全是正边权的图，我们可以使用dijkstra处理最短路问题。但是如果带有负边边，dijkstra算法无法保证节点出队时一定得到最短路，spfa算法则可以解决这个问题。

1.实现原理：

在求解各点到起点的最小距离dis值时，若某点i产生一个更小的dis[i]，那么节点i后续指向的节点都会重新更新，因此我们可以将该点i再次入队，重新更新。

在枚举到3->5的时候由于它小于之前入队的数，所以要进行出对，并进行更新后再次入队。

2.代码实现：

在dijlstra算法的基础上，加入重新出对与再入队的代码

void spfa() {queue<int>q;q.push(1);memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[1]=0;vis[1]=true;while(!q.empty()) {int x=q.front();q.pop();vis[x]=false;//出队之后将原来的标记清除for(int i=he[x]; i; i=nxt[i]) {int y=per[i],w=ed[i];if(dis[x]+w<dis[y]){dis[y]=dis[x]+w;if(vis[y]==false){q.push(y);vis[y]=true;}}}}
}

3.例题：

带负权的最短路计算

给定一个n个点m条边(n<=1e5,m<=2e5)的有向图，图中可能存在重边和自环，边权绝对值小于104。数据保证图中不存在负权回路。

请你求出1号点到n号点的最短距离。如果无法从1号点走到n号点，则输出-1。

第一行包含整数n和m(n<=1e5,m<=2e5)。

接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。

输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离
如果路径不存在，则输出-1。

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,m,he[N],per[N],nxt[N],tot,dis[N],ed[N];
bool vis[N];
void add(int x,int y,int z) {++tot;per[tot]=y,ed[tot]=z,nxt[tot]=he[x],he[x]=tot;
}
long long read(){int x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
void spfa() {queue<int>q;q.push(1);memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[1]=0;vis[1]=true;while(!q.empty()) {int x=q.front();q.pop();vis[x]=false;for(int i=he[x]; i; i=nxt[i]) {int y=per[i],w=ed[i];if(dis[x]+w<dis[y]){dis[y]=dis[x]+w;if(vis[y]==false){q.push(y);vis[y]=true;}}}}
}
int main() {n=read(),m=read();for(int i=1; i<=m; i++) {int x,y,z;x=read(),y=read(),z=read();add(x,y,z);}spfa();if(dis[n]==0x3f3f3f3f) cout<<-1;else cout<<dis[n];return 0;
}

三.贝尔曼福特（bellman_ford）

上面讲到的两种最短路算法(dijkstra与spfa)，他们都是由枚举已知顶点更新未知点。如果我们要在最短路上增加边数限定，即不超过k条边所能构成的最短路，我们就需要将边编号，通过枚举边来实现。

1.实现原理：

枚举边，若左端点值已知，则更新右端点的值。初始化所有点的dis值为正无穷，且dis[1]=0。第1次枚举边：得到dis[2]=1，dis[3]=8第2次枚举边：得到dis[4]=1第3次枚举边：得到dis[5]=2
已知：任意一条路径都是由若干条边组成的链。第一次枚举所有边，可以求出与起点直连的点的最短路。第二次枚举所有边，可以求出不超过2条边所构成的最短路。第k次枚举所有边，可以求出不超过k条边所构成的最短路。

2.代码实现：

使用bellman_ford枚举边，所有用结构体存边并且进行编号。

void bellman_ford(){memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[1]=0;for(int i=0;i<k;i++){memcpy(dis_old,dis,sizeof dis_old);for(int i=1;i<=m;i++) dis[a[i].y]=min(dis[a[i].y],dis_old[a[i].x]+a[i].w);}
}

3.例题：

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

请你求出从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，输出 impossible。

第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x
到点 y 的有向边，边长为 z。

点的编号为 1∼n。

输出一个整数，表示从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
bool vis[N];
vector<int> v[N];
int n,m,k,dis[N],dis_old[N];//用dis_old记录上一个·点，以此来实现标记边
long long read(){int x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
struct node{int x,y,w;
}a[N];
void bellman_ford(){memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[1]=0;for(int i=0;i<k;i++){memcpy(dis_old,dis,sizeof dis_old);for(int i=1;i<=m;i++) dis[a[i].y]=min(dis[a[i].y],dis_old[a[i].x]+a[i].w);}
}
int main() {n=read(),m=read(),k=read();for(int i=1;i<=m;i++) a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].w=read();bellman_ford();if(dis[n]>0x3f3f3f3f) cout<<"impossible";else cout<<dis[n];return 0;
}

四.弗洛伊德（floyd）

floyd算法专门针对多源最短路问题。floyd可以用一个二维矩阵表示两点之间的最短路径，即我们只需要维护图中最小距离的邻接矩阵。floyd本质上就是通过不断为两点的路径上增加中间点(所以又称为插点法)，进而对邻接矩阵进行更新迭代，每加入一个点，矩阵信息就可能变化一次，从而维护该最小距离矩阵。

1.实现原理：

每次枚举是加入一个中间点k，矩阵中有些点对的距离就有可能减小。同时也说明两点的最短路径链上就可能会增加该中间点k。当所有点都作为中间点加入且完成矩阵的更新后，最终矩阵一定存储任意两点之间的距离最小值。

在这幅图中，如果不进行插点，它的初始矩阵是这样的：

	1	2	3	4
1	0	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	3
2	1	0	0x3f3f3f3f	8
3	2	5	0	3
4	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	0

而在插入1为中间点后，它的矩阵就变成了这样：

	1	2	3	4
1	0	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	3
2	1	0	0x3f3f3f3f	4
3	2	5	0	3
4	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	0

在插入2为中间点后，它的矩阵又变成这样：

	1	2	3	4
1	0	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	3
2	1	0	0x3f3f3f3f	4
3	2	5	0	3
4	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	0

最后插入三为中间点后，它的矩阵是这样的：

	1	2	3	4
1	0	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	3
2	1	0	0x3f3f3f3f	4
3	2	5	0	3
4	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	0x3f3f3f3f	0

（这只是一个特殊样例，并不是所有可能都只会在插入第一个中间点后才会改变，但经过n-1次插点后路径一定最短）

2.代码实现：

图中存在负边权，且无负权环。n较小，m较大特别稠密，可以使用邻接矩阵存边。最后涉及到多次询问，使用floyd可以维护邻接矩阵，快速求解。

void floyd(){for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(k==i||k==j||i==j) continue;//可有可无if(g[i][j]>g[i][k]+g[k][j]) g[i][j]=g[i][k]+g[k][j],pat[i][j]=k;//修改最短路径}}}
}

3.例题：

给定由n个点m条边的构成无向图，边权可能为负，图中可能存在重边，不存自环以及负权环。

现在给定q组询问，请输出每组询问中节点i到j的最短距离及其路径。

第一行 n,m,q，其中n≤500,m≤106,q≤104。
接下来m行表示这两个点之间有边相连，边权绝对值小于10000。
随后q行，代表接下来有q个询问，每个询问由ai,bi构成。

一共输出q行，如果两点不存在路径则输出-1，否则每行第一个数字表示两点之间的最短距离，随后输出其路径(如果存在多条最短路径，则输出字典序最小的一个)

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q,g[505][505],pat[505][505];
long long read() {int x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
void floyd(){for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(k==i||k==j||i==j) continue;if(g[i][j]>g[i][k]+g[k][j]) g[i][j]=g[i][k]+g[k][j],pat[i][j]=k;}}}
}
void print(int x,int y){if(pat[x][y]==0){cout<<" "<<y;return;}print(x,pat[x][y]),print(pat[x][y],y);
}
int main(){n=read(),m=read(),q=read();memset(g,0x3f,sizeof g);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,w;x=read(),y=read(),w=read();g[x][y]=g[y][x]=min(g[x][y],w);}floyd();for(int i=1;i<=q;i++){int x,y;x=read(),y=read();if(g[x][y]==-1) cout<<-1<<endl;else{cout<<g[x][y]<<" "<<x;print(x,y);cout<<endl;}}return 0;
}

4.floyd性质探索：

（1）.性质一

插入中间点的顺序对结果没有影响。

插入一个中间点k后，此时矩阵中任意两点的距离就可能因为该中间点变小，即点k加入了其中两点的路径中。因此，我们只需要保证点1-n都作为中间点插入一次，从而更新矩阵，对插入顺序不作要求。

（2）.性质二

floyd算法在第执行k次插点后，最短路径上的边数一定不会超过k+1。

第1次插点后：
两端点由(i->j)直连变成可能加入一个中间点k相连，变成(i->k->j)，即最短路径上存在不超过两条边。

第2次插点后：
两端点最短路径有可能还是只有一条边构成(i->j)，当然也有可能在第1次插点的基础上增加为两条边构成(i->k->j)，此时插点有可能再增加一个点p，变成3条边。即(i->p->k->j) 或 (i->k->p->j)。

第n次插点后：
两端点最短路径上最多由n+2个点构成，即存在不超过n+1条边

（3）.性质三

在执行第k次插点操作前，所求任意两端点的最短路径上，一定不包含k以及k后的若干点。

与性质1类似插入某一个点，则说明把该点放到两端点的路径上，从而尝试更新两端点的最小距离。同理，未插入的点是没有更新任意两端点的距离。必不在现有的路径上。

5.floyd传递闭包问题

传递闭包是离散数学中的一个概念，简单来说就是维护关系的传递性。如a<b,b<c则有a<c。
我们以前学习过使用并查集解决部分具有关系传递性的问题。在这里，我们可以通过floyd算法去建立与维护关系矩阵。从而快速判断任意两点是否具备当前关系。可以通过g数组来记录每一个点之间的关系，若g[a][b]=1就代表a>b，若g[a][b]=0，则a<b。如果a、b的关系需要通过k来传递，我们可以通过g[a][b] |= (g[a][k] & g[k][b])来转移他们的关系。