基本思想：

​ 回溯法是一种系统地搜索问题解空间的算法，常用于解决组合优化和约束满足问题。其核心思想是利用深度优先搜索逐步构建可能的解，同时在搜索过程中进行剪枝操作，以排除那些无法满足问题约束或不能产生最优解的分支，从而减少不必要的计算，提高搜索效率。

深度优先搜索（DFS）简介：

​ 对于二叉树来说，先序、中序、后序遍历都是深度优先遍历。

​ 深度优先就是一条路径走到底后，再返回上一步，搜索第二条路径。

回溯法的一般步骤

1.定义问题并构造状态空间树

​ 明确要解决的问题，确定解空间的结构（通常是一个树或图），确定每一步决策的选择范围。

​ 将问题的解空间表示为一棵树，树的每个节点表示一个状态，根节点表示初始状态，叶节点表示最终状态或解。

2.编写递归函数

​ 编写一个递归函数来遍历状态空间树，函数通常包括以下部分：

• 递归边界：定义何时到达叶节点，即找到一个解或无法继续深入。
• 选择和判断（剪枝）：在当前状态下，尝试每一种可能的选择，并判断是否满足约束条件。
• 递归调用：如果满足条件，则进行递归调用，进入下一个状态。
• 回溯：如果不满足条件，或递归调用返回后，需要撤销当前选择，回溯到上一步继续尝试其他选择。

3.输出结果

举例：01背包

问题描述：

​ 有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

背包体积：10

物品编号	体积(vol)	价值(val)
1	8	9
2	3	2
3	4	4
4	3	3

​ 前面在动态规划中，说了一下蛮力法的如何解决该问题，实际上回溯法与蛮力法差不多，只是搜索方式不同，并添加剪枝（提前结束当前遍历）和回溯（记忆之前的状态）。

1、定义问题并构造状态空间树

​ 前面使用蛮力法解决时，对于问题的每一种状态通过数值的二进制表示，用数字二进制中为1的位置表示该位置的物品是否放入，比如：

​ 1（0000 0001）表示第1个物品放入，其他都不放入；

​ 2（0000 0010）表示第2个物品放入，其他都不放入；

​ 3（0000 0011）表示第1和第2哥物品放入，其他都不放入。

​ 使用回溯法解决问题，需要将问题所有的情况构造成一颗树或图，通过深度优先搜索遍历获取最优解。

​ 每个物品只有两种状态，放入背包或不放入背包，可以将各种物品是否放入构造成一颗二叉树，如下图：

2、选择和判断（剪枝）

​ 边界：当当前物品为最后一个物品时，则到达叶子节点，递归结束。

​ 选择：每一步递归，针对当前物品，都存在放与不放两个选择。

​ 剪枝：如果放入当前物品，通过判断放入后当前物品的总体积是否超过总体积，如果超过就进行剪枝。

​ 回溯：当当前状态的所有情况考虑完之后，进行回溯。

剪枝：

​ 在第一个物品放入，第二个物品尝试放入时，发现放入第二个物品后，体积变为：8+3=11> 背包体积=10，所以，在第一、第二个物品放入，无论剩下的物品怎么放，都会超出背包体积，此时进行剪枝，减少了大量的计算。

​ 对比蛮力法：对于1100、1101、1110、1111这四种情况，其都会去计算一次，发现超出背包容量再结束，而回溯则在计算1100时，发现超出背包容量就直接剪枝，后面的其他几种情况都不再计算。

回溯：

​ 在计算了0111这种情况后，进行回溯，到达011这一步，然后计算0110，直接使用了011这一步的状态（当前体积7，当前价值6），在这个基础上计算0110。

​ 对比蛮力法：在计算了0111后，再次计算0110这种情况时，还需要计算011的体积和价值，然而这一步在计算0111时，011状态的体积和价值就已经计算过了，蛮力法进行了重复计算，而回溯法则保存了之前的状态，减少了重复计算。

3、输出结果

​ 在递归过程中，更新最大价值，最终输出，

4、代码实现

​ 不需要真的去构建这颗二叉树，通过递归模拟二叉树即可。

public class ZeroOneBackpackBacktrack {private static int maxValue = 0;public static void main(String[] args) {int maxVolume = 10;Item[] items = new Item[]{new Item(8, 9),new Item(3, 2),new Item(4, 4),new Item(3, 3)};execute(items, maxVolume);System.out.println(maxValue);}public static void execute(Item[] items, int maxVolume) {zeroOneBackpackBacktrack(items, maxVolume, 0, 0, 0);}public static void zeroOneBackpackBacktrack(Item[] items, int maxVolume, int index, int currentVolume, int currentValue) {// 当前体积已经超出背包最大体积if (currentVolume > maxVolume) return;// 更新最大价值maxValue = Math.max(currentValue, maxValue);// 未到达最后一个物品if (index < items.length) {// 放入当前物品zeroOneBackpackBacktrack(items, maxVolume, index + 1, currentVolume + items[index].getVolume(), currentValue + items[index].getValue());// 不放入当前物品zeroOneBackpackBacktrack(items, maxVolume, index + 1, currentVolume, currentValue);}}
}class Item {int volume;int value;public Item(int volume, int value) {this.volume = volume;this.value = value;}public int getValue() {return value;}public int getVolume() {return volume;}
}

回溯法经典案例-N皇后图解

问题描述：

​ 根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与同处一行、一列或一条斜线上的棋子。给定 𝑛 个皇后和一个 𝑛×𝑛 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。

例如：

​ 对于n = 4 的情况，有下面两种可能的摆放方法。

​

蛮力法：

​ 蛮力法只需要将所有的情况都遍历到即可，对于每一行，尝试在每一列放置一个皇后，生成所有可能的放置方案。

​ 每一行有n列，一共n行，遍历每种情况就需要$$n\ast n\ast n...\ast n=n^n$$次，再加上每一次都要判断所有的皇后位置是否正确，又需要遍历。所以复杂度特别高。

    public static void nQueens(int[][] data, int row) {int n = data.length;// 已经到达最后一行，n个皇后已经放置完毕if (row == n) {// 校验皇后拜访位置是否合理for (int row1 = 0; row1 < n; row1++) {for (int col = 0; col < n; col++) {if (data[row1][col] == 1) {// 判断每一行中皇后位置是否合理if (!canPlace(data, row1, col)) {// 不合理直接返回return;} else {// 到达最后一行输出结果if (row1 == n - 1) {System.out.println("第" + ++num + "组解：");for (int[] d : data) {System.out.println(Arrays.toString(d));}}}}}}}else{// 未到达最后一行，遍历for (int col = 0; col < n; col++) {data[row][col] = 1;nQueens(data, row + 1);data[row][col] = 0;}}}public static boolean canPlace(int[][] data, int row, int col) {// 检查同一列是否有皇后for (int i = 0; i < row; i++) {if (data[i][col] == 1) return false;}// 检查 \ 对角线是否存在皇后for (int i = 1; row - i >= 0 && col - i >= 0; i++) {if (data[row - i][col - i] == 1) return false;}// 检查 / 对角线是否存在皇后for (int i = 1; row - i >= 0 && col + i < data.length; i++) {if (data[row - i][col + i] == 1) return false;}return true;}

回溯法：

1、定义问题并构造状态空间树

​ 根据棋盘大小$$n\ast n$$和$$n$$个皇后，以及皇后可以攻击与其处于同一行上的其他皇后可知，每一行仅允许放置一个皇后。可以按照逐行放置的思路：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。

​ 那么每一行实际上就有n个选择，每个位置是否放入皇后，放入皇后之后，就可以进入下一行放置下一个皇后。

​ 采用一个n叉树就可以表示，这里使用一个二维数组表示：

    public static void dfs(int[][] data, int row) {for (int col = 0; col < data.length; col++) {// 放入皇后data[row][col] = 1;// 放入下一个皇后dfs(data, row + 1);// 取出当前皇后(回溯):每一行只能放置一个，取出当前列皇后，下一列放入data[row][col] = 0;}}}

2、选择和判断（剪枝）

​ 在某一行的某一列放置皇后时，可能会出现如果该位置放置皇后，就会与前几行放置的皇后冲突，那么就可以提前剪枝，直接不用放置后续的皇后了，直接去尝试再下一列放置。

	public static void dfs(int[][] data, int row) {for (int col = 0; col < data.length; col++) {// 剪枝:判断该位置是否可以放入，不可放入则直接终止if (canPlace(data, row, col)) {// 放入皇后data[row][col] = 1;// 放入下一个皇后dfs(data, row + 1);// 取出当前皇后(回溯):每一行只能放置一个，取出当前列皇后，下一列放入data[row][col] = 0;}}}public static boolean canPlace(int[][] data, int row, int col) {// 检查同一列是否有皇后for (int i = 0; i < row; i++) {if (data[i][col] == 1) return false;}// 检查 \ 对角线是否存在皇后for (int i = 1; row - i >= 0 && col - i >= 0; i++) {if (data[row - i][col - i] == 1) return false;}// 检查 / 对角线是否存在皇后for (int i = 1; row - i >= 0 && col + i < data.length; i++) {if (data[row - i][col + i] == 1) return false;}return true;}

3、输出结果

​ 当放置到最后一行时，此时所有皇后均放入，可以输出结果

	public static void dfs(int[][] data, int row) {// 最后一个皇后已经放入if (row == data.length) {printResult(data, ++resultNum);return;}for (int col = 0; col < data.length; col++) {// 剪枝:判断该位置是否可以放入，不可放入则直接终止if (canPlace(data, row, col)) {// 放入皇后data[row][col] = 1;// 放入下一个皇后dfs(data, row + 1);// 取出当前皇后(回溯):每一行只能放置一个，取出当前列皇后，下一列放入data[row][col] = 0;}}}public static void printResult(int[][] data, int num) {System.out.println("第" + num + "组解：");for (int i = 0; i < data.length; i++) {System.out.println(Arrays.toString(data[i]));}}

图解说明：

​ 因为八皇后如果画图篇幅过大，这里用四皇后讲解：

​ 其中白色表示尚未遍历，绿色表示放入皇后，红色表示被剪枝（此路不通）

1、给第一行第一列放入皇后，进入第二行在第二行第一列放入皇后，剪枝

2、放入第二行第二列，剪枝

3、放入第二行第三列，皇后可以放置，再尝试放入第三行

4、第二行第三列放入皇后的所有情况均被剪枝，放入第二行第四列

​ 放入第三行第一列时剪枝，放入第三行第二列

5、第三行确定后，放入第四行（最后一个皇后）

​ 可见，在第四行第三列放入皇后时，符合要求，直接输出结果，其他几种情况均不符合情况

6、回溯，计算第三行放入第三列的情况

7、重复上述步骤

具体流程下图：

​ 可以看到，这其实就是深度优先搜索，添加了剪枝

优化：

​ ​ 上面在判断某个位置是否可以放置皇后时，使用的计算过方式需要遍历，会导致每次计算时复杂度较高。

public static boolean canPlace(int[][] data, int row, int col) {// 检查同一列是否有皇后for (int i = 0; i < row; i++) {if (data[i][col] == 1) return false;}// 检查 \ 对角线是否存在皇后for (int i = 1; row - i >= 0 && col - i >= 0; i++) {if (data[row - i][col - i] == 1) return false;}// 检查 / 对角线是否存在皇后for (int i = 1; row - i >= 0 && col + i < data.length; i++) {if (data[row - i][col + i] == 1) return false;}return true;}

可以改为如下方式:

​ 可以利用一个长度为 𝑛 的布尔型数组 existCol 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 cols 将已有皇后的列进行剪枝，并在回溯中动态更新 cols 的状态。

那么，如何处理对角线约束呢？

​ 设棋盘中某个格子的行列索引为 (𝑟𝑜𝑤,𝑐𝑜𝑙) ，选定矩阵中的某条主对角线，我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等，即对角线上所有格子的 𝑟𝑜𝑤−𝑐𝑜𝑙 为恒定值。

​ 也就是说，如果两个格子满足 𝑟𝑜𝑤1−𝑐𝑜𝑙1=𝑟𝑜𝑤2−𝑐𝑜𝑙2 ，则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律，我们可以借助如图所示的数组 existLeftDiagonal 记录每条主对角线上是否有皇后。

​ 容易看出，记录某一列是否有皇后的数组existLeftDiagonal长度为2N-1。

​

​ 同理，次对角线上的所有格子的 𝑟𝑜𝑤+𝑐𝑜𝑙 是恒定值。我们同样也可以借助数组 existRightDiagonal 来处理次对角线约束。

public static boolean canPlace(int row, int col, int n, boolean[] existCol, boolean[] existLeftDiagonal, boolean[] existRightDiagonal) {return !(existCol[col] || existLeftDiagonal[row - col + n - 1] || existRightDiagonal[row + col]);}

完整代码：

package backtracking;import java.util.Arrays;public class EightQueens2 {private static int num = 0;public static void main(String[] args) {execute(9);}public static void execute(int n) {// 皇后存在情况表int[][] data = new int[n][n];// 皇后存在列情况boolean[] existCol = new boolean[n];// 皇后存在对角线 \ 情况 (可以发现处于同一对角线的元素，行 - 列是同一个值，所以可以使用这个性质来存储对角线信息)boolean[] existLeftDiagonal = new boolean[2 * n - 1];// 皇后存在对角线 / 情况(可以发现处于同一对角线的元素，行+ 列是同一个值，所以可以使用这个性质来存储对角线信息)boolean[] existRightDiagonal = new boolean[2 * n - 1];dfs(data, n, 0, existCol, existLeftDiagonal, existRightDiagonal);}private static void dfs(int[][] data, int n, int row, boolean[] existCol, boolean[] existLeftDiagonal, boolean[] existRightDiagonal) {if (row == n) {// 所有皇后已放置完毕，输出printResult(data, ++num);}for (int col = 0; col < n; col++) {// 剪枝:判断该位置是否可以放入，不可放入则直接终止if (canPlace(row, col, n, existCol, existLeftDiagonal, existRightDiagonal)) {// 放入皇后placeQueen(row, col, n, data, existCol, existLeftDiagonal, existRightDiagonal);// 放入下一个皇后dfs(data, n, row + 1, existCol, existLeftDiagonal, existRightDiagonal);// 取出皇后cancelPlaceQueen(row, col, n, data, existCol, existLeftDiagonal, existRightDiagonal);}}}public static boolean canPlace(int row, int col, int n, boolean[] existCol, boolean[] existLeftDiagonal, boolean[] existRightDiagonal) {return !(existCol[col] || existLeftDiagonal[row - col + n - 1] || existRightDiagonal[row + col]);}public static void placeQueen(int row, int col, int n, int[][] data, boolean[] existCol, boolean[] existLeftDiagonal, boolean[] existRightDiagonal) {data[row][col] = 1;existCol[col] = existLeftDiagonal[row - col + n - 1] = existRightDiagonal[row + col] = true;}public static void cancelPlaceQueen(int row, int col, int n, int[][] data, boolean[] existCol, boolean[] existLeftDiagonal, boolean[] existRightDiagonal) {data[row][col] = 0;existCol[col] = existLeftDiagonal[row - col + n - 1] = existRightDiagonal[row + col] = false;}public static void printResult(int[][] data, int num) {System.out.println("第" + num + "组解：");for (int[] d : data) {System.out.println(Arrays.toString(d));}}
}