基础拓扑学习

基础拓扑

有限集、可数集和不可数集

2.1 定义 考虑两个集 A A A B B B,他们的元素可以是任何东西。假定对于 A A A的每个元素 x x x,按照某种方式,与集 B B B的一个元素联系着,这个元素记作 f ( x ) f\left( x \right) f(x);那么,就说 f f f是从 A A A B B B的一个函数(或将 A A A映入 B B B内的一个映射)。集 A A A叫做 f f f的定义域(domain, 或者说 f f f定义在 A A A上),而元素 f ( x ) f\left( x \right) f(x)叫做 f f f的值(value)。 f f f的一切值得集叫做 f f f得值域(range)

2.2 定义 A A A B B B是两个集, f f f A A A B B B内的一个映射。如果 E ⊂ A E \subset A EA f ( E ) = { f ( x ) : x ∈ E } f\left( E \right)=\left\{ f\left( x \right): x \in E\right\} f(E)={f(x):xE}。我们称 f ( E ) f \left( E \right) f(E) E E E f f f之下的象(image)。按这个记法来说, f ( A ) f\left( A \right) f(A)就是 f f f的值域。显然 f ( A ) ⊂ B f\left( A \right) \subset B f(A)B.如果 f ( A ) = B f\left( A \right)=B f(A)=B,就说 f f f A A A映满 B B B(也是离散里的满射)
‌‌‌‌   E ⊂ B E \subset B EB时, f − 1 ( E ) = { x ∈ A : f ( x ) ∈ E } f^{-1} \left( E \right)=\left\{ x\in A: f\left( x \right)\in E \right\} f1(E)={xA:f(x)E}。称 f − 1 ( E ) f^{-1}\left( E \right) f1(E) f f f之下的逆象(inverse image)。 y ∈ B y \in B yB时, f − 1 ( y ) = { x ∈ A : f ( x ) = y } f^{-1}\left( y \right)=\left\{x\in A: f\left( x \right)=y \right\} f1(y)={xA:f(x)=y}。如果 f − 1 ( y ) f^{-1}\left( y \right) f1(y)对于每个 y ∈ B y\in B yB至多含有 A A A中的一个元素,那么就称 f f f A A A B B B内的1-1(一对一的)映射。这句话也可以这么表述如下:如果对于 x 1 ∈ A , x 2 ∈ B x_{1} \in A,x_{2} \in B x1A,x2B,当 x 1 ≠ x 2 x_{1}\neq x_{2} x1=x2时, f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) f\left( x_{1} \right)\neq f\left( x_{2} \right) f(x1)=f(x2),那么 f f f就是 A A A B B B内的一个1-1映射(也是离散里面的单射)

(后面双射=单射+满射)

2.3 定义 如果存在 A A A B B B上的双射,那么就说 A A A B B B可以建立1-1对应,或者说 A A A B B B具有相同的基数,或者就简单地说 A A A B B B等价,并且记作 A ∼ B A\sim B AB这个关系显然具有下列性质
‌‌‌‌  自反性: A ∼ A A \sim A AA
‌‌‌‌  对称性:如果 A ∼ B A \sim B AB,就有 B ∼ A B \sim A BA
‌‌‌‌  传递性:如果 A ∼ B A \sim B AB并且 B ∼ C B \sim C BC,就有 A ∼ C A \sim C AC
‌‌‌‌  任何具有这三个性质的关系都叫做等价关系

2.4 定义 对于任意正整数 n n n,令 J n = { 1 , 2 , ⋯ , n } J_{n}=\left\{ 1,2,\cdots, n \right\} Jn={1,2,,n},令 J = N + J=\mathbb{N}_{+} J=N+,设 A A A是任意一个集,我们说
(a) A A A是有限的,如果对于某个 n n n A ∼ J n A \sim J_{n} AJn(空集也认为是有限集)
(b) A A A是无限的,如果 A A A不是有限的
© A A A是可数的(countable),如果 A ∼ J A \sim J AJ
(d) A A A是不可数的(uncountable),如果 A A A既不是有限的,也不是可数的
(e) A A A是至多可数的(at most countable),如果 A A A或为有限或为可数的
可数集有时候也叫做可枚举集(enumerable)或可列集(denumerable)

2.7 定义 定义在 J J J上的函数叫做一个序列,如果对于一切 n ∈ J , f ( n ) = x n n \in J, f\left( n \right)=x_{n} nJ,f(n)=xn,习惯上就把序列 f f f用符号 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn}来表示,或者用 x 1 , x 2 , ⋯ x_{1},x_{2},\cdots x1,x2,来表示。 f f f的值,即元素 x n x_n xn,叫做这个序列的项。设 A A A是一个集并且对一切 n ∈ J , x n ∈ A n \in J, x_{n}\in A nJ,xnA,那么 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn}就叫做 A A A里的一个序列,或者叫做 A A A的元素的一个序列。
‌‌‌‌  注意,一个序列的项不一定各不相同

2.8 定理 可数集 A A A的每个无限子集也是可数集
证明:
‌‌‌‌  设 E ⊂ A E \subset A EA,并且 E E E是无限集。把 A A A的元素 x x x排成一个不同元素的序列 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn}。按以下方式作序列 { n k } \left\{ n_{k} \right\} {nk}
‌‌‌‌  令 n 1 n_{1} n1是使 x n 1 ∈ E x_{n_1}\in E xn1E的最小正整数。当 n 1 , ⋯ , n k − 1 n_{1}, \cdots, n_{k-1} n1,,nk1选定以后, n k n_{k} nk是大于 n k − 1 n_{k-1} nk1并且使 x n k ∈ E x_{n_{k}}\in E xnkE的最小正整数
‌‌‌‌  令 f ( k ) = x n k f\left( k \right)=x_{n_{k}} f(k)=xnk,我们得到了 E E E J J J之间的一个双射

2.9 定义 A A A Ω \Omega Ω都是集。假定对于 A A A的每个元素 α \alpha α,与 Ω \Omega Ω的一个子集联系着,这个子集记作 E α E_{\alpha} Eα
{ E α } \left\{ E_{\alpha} \right\} {Eα}来表示以集 E α E_{\alpha} Eα为元素的集。我们有时不说集的集,而说一组集或一簇集。
许多集 E α E_{\alpha} Eα的并是指这样一个集合 S S S x ∈ S x \in S xS当且仅当至少对于一个 α ∈ A \alpha \in A αA,有 x ∈ E α x \in E_{\alpha} xEα,表示并的记号是
S = ⋃ α ∈ A E α S = \bigcup_{\alpha \in A}E_{\alpha} S=αAEα
如果由整数 1 , 2 , ⋯ , n 1,2,\cdots, n 1,2,,n组成,又往往写作:
S = ⋃ m = 1 n E m S = \bigcup_{m=1}^{n}E_{m} S=m=1nEm

S = E 1 ∪ E 2 ∪ ⋯ ∪ E n S = E_{1} \cup E_{2}\cup \cdots \cup E_{n} S=E1E2En
如果 A A A是一切正整数的集,通常的记号是
S = ⋃ m = 1 ∞ E m S = \bigcup_{m=1}^{\infty}E_{m} S=m=1Em
注意这里的 ∞ \infty 仅仅表示对于集的可数组来取并

如果 A ∩ B A\cap B AB不空,就说 A A A B B B相交,否则就说他们不相交

2.12 定理 { E n } \left\{ E_{n} \right\} {En}是可数集组成的序列,令
S = ⋃ n = 1 ∞ E n S = \bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n} S=n=1En
那么 S S S是可数的
证明:把每个集 E n E_n En排成一个序列 { x n k } \left\{ x_{nk} \right\} {xnk},而来考虑无限阵列
在这里插入图片描述

在这个阵列里, E n E_{n} En的元素构成第 n n n行。这个阵列含有 S S S的一切元素,这些元素可以按照箭头所指出的顺序排列称成一个序列
x 11 ; x 21 , x 12 ; x 31 , x 22 , x 13 ; x 41 , x 32 , x 23 , x 14 ; ⋯ x_{11};x_{21},x_{12};x_{31},x_{22},x_{13};x_{41},x_{32},x_{23},x_{14};\cdots x11;x21,x12;x31,x22,x13;x41,x32,x23,x14;
这些集 E n E_{n} En的任何两个两个,如果有公共元素,那么这些元素将在这个序列中出现不止一次。因此一切正整数的集里有一个子集 T T T,使得 S ∼ T S \sim T ST这就证明了 S S S是至多可数的。因为 E 1 ⊂ S E_{1}\subset S E1S,而 E 1 E_1 E1是无限多的,所以 S S S也是无限的,从而使可数的
推论 假定 A A A是至多可数的,并且对应于每个 α ∈ A \alpha \in A αA B α B_{\alpha} Bα是至多可数的。令
T = ⋃ α ∈ A B α T = \bigcup_{\alpha \in A}B_{\alpha} T=αABα
那么 T T T是至多可数的

2.13 定理 A A A是可数集。又假设 B n B_{n} Bn是一切 n n n元素组 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \left( a_{1},a_{2},\cdots,a_{n} \right) (a1,a2,,an)的集,这里 a k ∈ A a_{k} \in A akA,并且元素 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_{1},a_{2},\cdots, a_{n} a1,a2,,an不一定相同,那么 B n B_{n} Bn是至多可数的
证明:
B 1 B_1 B1显然是可数的,因为 B 1 = A B_{1}=A B1=A。假设 B n − 1 B_{n-1} Bn1是可数的,那么, B n B_n Bn的元素具有形式
( b , a ) ( b ∈ B n − 1 , a ∈ A ) \left( b,a \right) \left( b \in B_{n-1},a \in A \right) (b,a)(bBn1,aA)
对于每个固定的 b b b,元素对 ( b , a ) \left( b,a \right) (b,a)的集与 A A A等价,因而是可数的。
于是 B n = ⋃ b ∈ B n − 1 { ( b , a 1 ) , ⋯ , ( b , a n ) , ⋯ } B_n= \bigcup_{b\in B_{n-1}}\left\{ \left( b,a_{1} \right),\cdots,\left( b,a_{n} \right),\cdots \right\} Bn=bBn1{(b,a1),,(b,an),}是可数集
于是由归纳法证明了这个定理
推论 一切有理数的集是可数的
证明:
每个有理数 r = b a r = \frac{b}{a} r=ab,这里 a , b ∈ Z a,b \in Z a,bZ,一切数对 ( b , a ) \left( b,a \right) (b,a)的集是可数的。从而一切分数 b a \frac{b}{a} ab的集是可数的
实际上一切代数数的集也是可数的

2.14 定理 A A A是由数码 0 0 0 1 1 1构成的一切序列的集,这个集 A A A是不可数的
A A A的元素都是像 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 , ⋯ 1,0,0,1,0,1,1,1,\cdots 1,0,0,1,0,1,1,1,这样的序列
证明:设 E E E A A A的一个可数子集,并且设 E E E由一列元素 s 1 , s 2 , s 3 , ⋯ s_{1},s_{2},s_{3},\cdots s1,s2,s3,组成
现在构造一个序列如下,如果在 s n s_n sn里,第 n n n个数码是 1 1 1,就令 s s s的第 n n n个数码取0,否则就取 1 1 1。于是序列 s s s E E E里的每个序列至少有一位不同,从而 s ∉ E s \not\in E sE。然而显然 s ∈ A s \in A sA,所以 E E E A A A的真子集
这就证明了 A A A的每个可数子集是 A A A的真子集,因此 A A A是不可数集(否则 A A A将是它自己的一个真子集,这是不可能的)

以上证法的思想是Cantor首先使用的,并且称为Cantor的对角线手法

度量空间

2.15 定义:设 X X X是一个集。他的元素叫做点,如果 X X X的任意两点 p p p q q q,联系于一个实数 d ( p , q ) d\left( p, q \right) d(p,q),叫做从 p p p q q q的距离,它合乎条件:
(a) 如果 p ≠ q p \neq q p=q,那么 d ( p , q ) > 0 ; d ( p , p ) = 0 d \left( p, q \right) > 0; d \left( p, p \right) = 0 d(p,q)>0;d(p,p)=0
(b) d ( p , q ) = d ( q , p ) d\left( p, q \right) = d \left( q, p \right) d(p,q)=d(q,p)
© 对于任意 r ∈ X , d ( p , q ) ≤ d ( p , r ) + d ( r , q ) r \in X, d \left( p,q \right) \le d\left( p, r \right) + d \left( r, q \right) rX,d(p,q)d(p,r)+d(r,q)
就称 X X X是一个度量空间
具有这三条性质的函数叫做距离函数或度量

2.18 定义:设 X X X是一个度量空间,下面提到的一切点和一切集,都理解为 X X X的点和集
(a) 点 p p p的邻域 N r ( p ) N_{r}\left( p \right) Nr(p)指的是满足条件 d ( p , q ) < r d\left( p, q \right) < r d(p,q)<r的一切点 q q q所成的集,数 r r r叫做 N r ( p ) N_{r} \left( p \right) Nr(p)的半径
(b) 点 p p p叫做集 E E E的极限点,如果 p p p的邻域都含有一点 q ∈ E q \in E qE q ≠ p q\neq p q=p
© 如果 p ∈ E p\in E pE并且 p p p不是 E E E的极限点,那么 p p p就叫做 E E E的孤立点
(d) E E E叫做闭的,如果 E E E的每个极限点都是 E E E的点
(e) 点 p p p叫做 E E E的一个内点,如果存在 p p p的一个邻域 N N N,有 N ⊂ E N \subset E NE
(f) E E E叫做开的,如果 E E E的每个点都是 E E E的内点
(g) E E E的余集(记作 E c E^c Ec)指的是一切合于 p ∈ X p\in X pX p ∉ E p \not\in E pE的点 p p p的集
(h) E E E叫做完全的(perfect),如果 E E E是闭集,并且 E E E的每个点都是 E E E的极限点
(i) E E E叫做有界的,如果有一个实数 M M M和一个点 q ∈ X q\in X qX,使得一切 p ∈ E p \in E pE都满足 d ( p , q ) < M d \left( p, q \right) < M d(p,q)<M
(j) E E E叫做在 X X X中稠密的,如果 X X X额每个点都是 E E E的极限点,或是 E E E的点(或兼此二者)

2.19 定理:邻域必是开集
证明:
E = N r ( p ) E=N_r \left( p \right) E=Nr(p), 令 q q q E E E的任意一点。于是又一正实数 h h h,使得
d ( p , q ) = r − h d \left( p, q \right) = r- h d(p,q)=rh
对于一切合适条件 d ( q , s ) < h d \left( q, s \right) < h d(q,s)<h的点 s s s,我们有
d ( p , s ) ≤ d ( p , q ) + d ( q , s ) < r − h + h = r d \left( p,s \right) \le d \left( p, q \right) + d \left( q, s \right) < r - h + h = r d(p,s)d(p,q)+d(q,s)<rh+h=r
所以 s ∈ E s \in E sE,因此, q q q E E E的内点

2.20 定理:如果 p p p是集 E E E的一个极限点,那么 p p p的每个邻域含有 E E E的无限多个点
证明:
假设有 p p p的某个邻域 N N N只含有 E E E的有限个点,令 q 1 , ⋯ , q n q_1, \cdots, q_{n} q1,,qn N ∩ E N\cap E NE中哲有限个异于 p p p的点
又令
r = min ⁡ 1 ≤ m ≤ n d ( p , q m ) r = \min\limits_{1 \le m \le n} d \left( p, q_{m} \right) r=1mnmind(p,qm)
显然 r > 0 r >0 r>0
邻域 N r ( p ) N_{r} \left( p \right) Nr(p)不能再含有 E E E的点 q q q q ≠ p q \neq p q=p的了,所以 p p p不是 E E E的极限点,矛盾
推论:有限的点集没有极限点

2.22 定理:设 { E α } \left\{ E_{\alpha} \right\} {Eα}是若干(有限个或无限多个)集 E α E_{\alpha} Eα的一个组,那么
( ⋃ α E α ) c = ⋂ α ( E α c ) \left( \bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^c = \bigcap_{\alpha}\left( E_{\alpha}^c \right) (αEα)c=α(Eαc)
证明:
A = ( ⋃ α E α ) c , B = ⋂ α ( E α c ) A = \left( \bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^c, B = \bigcap_{\alpha}\left( E_{\alpha}^c \right) A=(αEα)c,B=α(Eαc)
如果 x ∈ A x \in A xA,那么 x ∉ ⋃ α E α x \notin \bigcup_{\alpha}E_{\alpha} x/αEα ,因此 ∀ α , x ∉ E α \forall \alpha, x \notin E_{\alpha} α,x/Eα,从而 ∀ α , x ∈ E α c \forall \alpha, x \in E_{\alpha}^c α,xEαc,因此 x ∈ B x \in B xB, 即 A ⊂ B A \subset B AB
如果 x ∈ B x \in B xB,那么 ∀ α , x ∈ E α c \forall \alpha, x \in E_{\alpha}^c α,xEαc,因此 ∀ a , x ∉ E α \forall a, x \not\in E_{\alpha} a,xEα,从而 ∀ α , x ∉ ⋃ α E α \forall \alpha, x \not\in \bigcup_{\alpha} E_{\alpha} α,xαEα,于是 x ∈ A x \in A xA,即 B ⊂ A B\subset A BA
这就证明了 A = B A=B A=B

2.23 定理 E E E是开集当且仅当它的余集是闭集
证明:首先设 E c E^c Ec是闭集,取 x ∈ E x \in E xE,那么 x ∉ E c x \not\in E^c xEc,于是存在 x x x的邻域 N N N,使得 E c ∩ N E^c \cap N EcN为空集,这就是说 N ⊂ E N \subset E NE, 所以 x x x E E E的内点

其次,设 E E E是开集,令 x x x E c E^c Ec的极限点,那么 x x x的每个邻域含有 E c E^c Ec的点,,所以 x x x不是 E E E的内点,因为 E E E是开集,这就是说 x ∈ E c x \in E^c xEc,因此 E c E^c Ec是闭集
推论 F F F是闭集当且仅当它的余集是开集

2.24 定理
(a) 任意一组开集 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα}的并 ⋃ α G α \bigcup_{\alpha} G_{\alpha} αGα是开集
(b) 任意一组闭集 { F α } \left\{ F_{\alpha} \right\} {Fα}的交 ⋂ α F α \bigcap_{\alpha} F_{\alpha} αFα是闭集
© 任意一组有限个开集 G 1 , ⋯ , G n G_{1}, \cdots, G_{n} G1,,Gn的交 ⋂ i = 1 n G i \bigcap_{i=1}^n G_{i} i=1nGi是开集
(d) 任意一组有限个闭集 F 1 , ⋯ , F n F_{1}, \cdots, F_{n} F1,,Fn的并 ⋃ i = 1 n F i \bigcup_{i=1}^n F_{i} i=1nFi是闭集

证明:
G = ⋃ α G α G=\bigcup_{\alpha}G_{\alpha} G=αGα。如果 x ∈ G x \in G xG,就有某个 α \alpha α,使得 x ∈ G α x \in G_{\alpha} xGα.因为 x x x G α G_{\alpha} Gα的一个内点,所以 x x x也是 G G G的一个内点,从而 G G G是开集


( ⋂ α F α ) c = ⋃ α ( F α c ) \left( \bigcap_{\alpha}F_{\alpha} \right)^c = \bigcup_{\alpha} \left( F_{\alpha}^c \right) (αFα)c=α(Fαc)
(b)成立

其次,令 H = ⋂ i = 1 n G i H = \bigcap_{i=1}^{n}G_{i} H=i=1nGi,对于 x ∈ H x \in H xH, 存在 x ∈ H x \in H xH,存在 x x x的邻域 N i N_{i} Ni,其半径为 r i r_{i} ri,使得 N i ⊂ G i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) N_{i} \subset G_{i} \left( i=1,2,\cdots ,n \right) NiGi(i=1,2,,n)

r = min ⁡ ( r 1 , r 2 , ⋯ , r n ) r = \min \left( r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n} \right) r=min(r1,r2,,rn)
又令 N N N x x x的以 r r r为半径的邻域。于是对于 i = 1 , 2 , ⋯ , n , N ⊂ G i i=1,2, \cdots, n, N \subset G_{i} i=1,2,,n,NGi,从而 N ⊂ H N \subset H NH,所以 H H H是开集

( ⋂ i = 1 n F i ) c = ⋃ i = 1 n ( F i c ) \left( \bigcap_{i=1}^{n}F_{i} \right)^c = \bigcup_{i=1}^{n} \left( F_{i}^c \right) (i=1nFi)c=i=1n(Fic)
(d)成立

2.25 例子:©,(d)中的有限个是必不可少的。
G n = ( − 1 n , 1 n ) G_{n}= \left( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) Gn=(n1,n1), 那么 G n G_n Gn R 1 R^1 R1的开子集
G = ⋂ n = 1 ∞ G n = { 0 } G = \bigcap_{n=1}^{\infty}G_{n}= \left\{ 0 \right\} G=n=1Gn={0},不是 R 1 R^1 R1的开子集
因此无限个开集的交不一定是开集
同理,无限个闭集的并不一定是闭集

2.26 定义:设 X X X是度量空间,如果 E ⊂ X E \subset X EX, E ′ E^{\prime} E表示 E E E X X X中所有极限点组成的集。那么 E ˉ = E ∪ E ′ \bar{E} = E \cup E^{\prime} Eˉ=EE叫做 E E E的闭包

2.27 定理:设 X X X是度量空间,而 E ⊂ X E \subset X EX,那么
(a) E ˉ \bar{E} Eˉ
(b) E = E ˉ E = \bar{ E} E=Eˉ当且仅当 E E E
© 如果闭集 F ⊂ X F \subset X FX E ⊂ F E \subset F EF,那么 E ˉ ⊂ F \bar{E} \subset F EˉF
由(a)和©, E ˉ \bar{E} Eˉ X X X中包含 E E E的最小闭子集

证明:
(a)如果 p ∈ X p\in X pX p ∉ E ˉ p \notin \bar{E} p/Eˉ,那么 p p p既不是 E E E的点,又不是 E E E的极限点,因此 p p p有某个邻域与 E E E不交,所以 E ˉ c \bar{E}^c Eˉc是开集,进而 E ˉ \bar{E} Eˉ
(b)如果 E = E ˉ E= \bar{E} E=Eˉ,则 E E E闭。如果 E E E闭,则 E ′ ⊂ E E^{\prime} \subset E EE,由此 E = E ˉ E = \bar{E} E=Eˉ
©如果 F F F闭且 F ⊃ E F \supset E FE,那么 F ⊃ F ′ F \supset F^{\prime} FF,因此 F ⊃ E ′ F \supset E^{\prime} FE。于是 F ⊃ E ˉ F \supset \bar{E} FEˉ
(这是因为 E E E的极限点同样是 F F F的极限点)

2.28 定理:设 E E E是一个不空实数集,上有界,令 y = sup ⁡ E y = \sup E y=supE,那么 y ∈ E ˉ y \in \bar{E} yEˉ.因此如果 E E E闭,那么 y ∈ E y \in E yE
证明:
如果 y ∈ E y \in E yE,则 y ∈ E ˉ y \in \bar{E} yEˉ
如果 y ∉ E y \not\in E yE ∀ h > 0 , ∃ x ∈ E , y − h < x < y \forall h >0, \exists x \in E, y-h < x < y h>0,xE,yh<x<y
∀ x ∈ E , x ≤ y \forall x \in E, x \le y xE,xy, 如果 x = y x=y x=y,则 y ∈ E y \in E yE,如果 y − h ≥ x y-h \ge x yhx,则 y − h y-h yh也是 E E E的上界,与 y y y是最小上界矛盾)
所以 y y y E E E的极限点,因此 y ∈ E ˉ y \in \bar{E} yEˉ

2.29 定义:如果能给每个 p ∈ E p \in E pE配备一个 r > 0 r >0 r>0,凡当 d ( p , q ) < r d \left( p, q \right) < r d(p,q)<r q ∈ Y q \in Y qY时,就有 q ∈ E q \in E qE,我们就说 E E E关于 Y Y Y是开的。
例如 ( a , b ) \left( a,b \right) (a,b)关于 R 1 R^1 R1是开的,但是关于 R 2 R^2 R2就不是

2.30 定理:设 Y ⊂ X Y \subset X YX Y Y Y的子集 E E E关于 Y Y Y是开的,当且仅当 X X X有某个开子集 G G G,使得 E = Y ∩ G E = Y \cap G E=YG
证明:
E E E关于 Y Y Y是开的,那么对于每个 p ∈ E p \in E pE,有正数 r p r_{p} rp的使得当 d ( p , q ) < r p d \left( p,q \right) < r_{p} d(p,q)<rp q ∈ Y q \in Y qY时,有 q ∈ E q \in E qE
V p = { q ∈ X : d ( p , q ) < r p } = N r p ( p ) V_{p} =\left\{ q \in X:d \left( p,q \right) < r_{p} \right\}=N_{r_{p}}\left( p \right) Vp={qX:d(p,q)<rp}=Nrp(p),并定义
G = ⋃ p ∈ E V p G = \bigcup_{p \in E}V_{p} G=pEVp
G G G X X X的开子集
因为一切 p ∈ E p \in E pE都有 p ∈ V p p \in V_p pVp,显然 E ⊂ G ∩ Y E \subset G \cap Y EGY
按照 V p V_{p} Vp的选取,对于每个 p ∈ E p \in E pE,我们有 V p ∩ Y ⊂ E V_{p} \cap Y \subset E VpYE,从而 G ∩ Y ⊂ E G \cap Y \subset E GYE。因此 E = Y ∩ G E = Y \cap G E=YG
反过来,如果 G G G X X X的一个开集,而 E = G ∩ Y E = G \cap Y E=GY,那么每个 p ∈ E p \in E pE有一个邻域 V p ⊂ G V_{p} \subset G VpG
于是 V p ∩ Y ⊂ E V_{p} \cap Y \subset E VpYE,所以 E E E关于 Y Y Y是开集

紧集

2.31 定义:设 E E E是度量空间 X X X的一个集, E E E的开覆盖(open cover)指的是 X X X的一组开子集 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα},使得 E ⊂ ⋃ α G α E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha} EαGα

2.32 定义:度量空间 X X X的子集 K K K叫做紧的(compact),如果 K K K的每个开覆盖总含有一个有限子覆盖
说的更准确一些,这个要求就是,如果 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα} K K K的一个开覆盖,那么总有有限多个指标 α 1 , ⋯ , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,,αn使得
K ⊂ G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n K \subset G_{\alpha_{1}}\cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}} KGα1Gαn

2.33 定理:设 K ⊂ Y ⊂ X K \subset Y \subset X KYX,那么 K K K关于 X X X是紧的当且仅当 K K K关于 Y Y Y是紧的
证明:
K K K关于 X X X是紧的,并且设 { V α } \left\{ V_{\alpha} \right\} {Vα}是一组关于 Y Y Y的开的集,使得 K ⊂ ⋃ α V α K \subset \bigcup_{\alpha} V_{\alpha} KαVα
由于 V α V_{\alpha} Vα Y Y Y的开子集,因此 X X X有某个开子集 G α G_{\alpha} Gα,使得 V α = Y ∩ G α V_{\alpha} = Y \cap G_{\alpha} Vα=YGα
K ⊂ ⋃ α V α = ⋃ α ( Y ∩ G α ) ⊂ ⋃ α G α K \subset \bigcup_{\alpha}V_{\alpha}=\bigcup_{\alpha} \left( Y \cap G_{\alpha} \right) \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha} KαVα=α(YGα)αGα,因此 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα} E E E的开覆盖
又因为 K K K关于 X X X是紧的,我们可以选出有限多个指标 α 1 , ⋯ , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,,αn,使得
K ⊂ G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n K\subset G_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}} KGα1Gαn
又因为 K ⊂ Y K \subset Y KY,那么
K ⊂ ( G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n ) ∩ Y = V α 1 ∪ ⋯ ∪ V α n K\subset (G_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}})\cap Y=V_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup V_{\alpha_{n}} K(Gα1Gαn)Y=Vα1Vαn

反过来,设 K K K关于 Y Y Y是紧的。令 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα} X X X的一组开子集,并且能覆盖 K K K
V α = Y ∩ G α V_{\alpha}=Y \cap G_{\alpha} Vα=YGα,那么便能选出若干 α \alpha α,使得
K ⊂ V α 1 ∪ ⋯ ∪ V α n K\subset V_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup V_{\alpha_{n}} KVα1Vαn
又因为 V α ⊂ G α V_{\alpha} \subset G_{\alpha} VαGα,因此
K ⊂ G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n K\subset G_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}} KGα1Gαn

2.34 定理:凡度量空间的紧子集都是闭集
证明:设 K K K是度量空间 X X X的紧子集。接着证明 K K K的余集是开集
p ∈ X , p ∉ K p \in X, p \not\in K pX,pK。如果 q ∈ K q \in K qK,令 V q V_{q} Vq W q W_q Wq分别是 p p p q q q的邻域,他们的半径小于 1 2 d ( p , q ) \frac{1}{2} d \left( p,q \right) 21d(p,q)
因为 K K K是紧,所以在 K K K中有有限个多个点 q 1 , q 2 , ⋯ , q n q_1,q_2, \cdots, q_n q1,q2,,qn使得
K ⊂ W q 1 ∪ ⋯ ∪ W q n = W K \subset W_{q_{1}} \cup \cdots \cup W_{q_{n}}=W KWq1Wqn=W
V = V q 1 ∩ ⋯ ∩ V V q n V = V_{q_{1}} \cap \cdots \cap V_{V_{q_{n}}} V=Vq1VVqn,那么 V V V p p p的邻域,并且 V ∩ W = ∅ V \cap W = \emptyset VW=,因此 V ⊂ K c V \subset K^{c} VKc
也就是说 p p p K c K^{c} Kc的内点,证毕

2.35 定理 凡紧集的闭子集都是紧集
证明:
F ⊂ K ⊂ X F \subset K \subset X FKX F F F是关于 X X X是闭的, K K K关于 X X X是紧的
{ V α } \left\{ V_{\alpha} \right\} {Vα} F F F的开覆盖。令 Ω = { F c } ∪ { V α } \Omega = \left\{ F^c \right\} \cup \left\{ V_{\alpha} \right\} Ω={Fc}{Vα} Ω \Omega Ω K K K的开覆盖
因为 K K K是紧的,所以 Ω \Omega Ω的一个有限子覆盖 Φ \Phi Φ能覆盖 K K K,从而也能覆盖 F F F
如果 F c F^c Fc也是 Φ \Phi Φ的成员,把它从 Φ \Phi Φ里去掉,剩下的仍然是 K K K的开覆盖。这就证明了 { V α } \left\{ V_{\alpha} \right\} {Vα}的一个有限子组覆盖了 F F F
推论:如果 F F F是闭的,而 K K K是紧的,那么 F ∩ K F \cap K FK是紧的
证明:
K K K是紧的,从而 K K K是闭得,于是 F ∩ K F\cap K FK是闭的
F ∩ K ⊂ K F \cap K \subset K FKK,从而 F ∩ K F\cap K FK是紧的

2.36 定理 如果 { K α } \left\{ K_{\alpha} \right\} {Kα}是度量空间 X X X的一组紧子集,并且 { K α } \left\{ K_{\alpha} \right\} {Kα}中任意有限个集的交都不是空集,那么 ∩ K α \cap K_{\alpha} Kα也不是空集
证明:
取定 { K α } \left\{ K_{\alpha} \right\} {Kα}的一个集 K 1 K_{1} K1,令 G α = K α c G_{\alpha}=K_{\alpha}^c Gα=Kαc
假定 K 1 K_{1} K1中没有同时属于每个 K α K_{\alpha} Kα的点,那么 G α G_{\alpha} Gα便形成 K 1 K_{1} K1的一个开覆盖。因为 K 1 K_{1} K1是紧的,所以有有限多个指标 α 1 , ⋯ , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,,αn,使得 K 1 ⊂ G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n K_{1}\subset G_{\alpha_{1}}\cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}} K1Gα1Gαn,然而这意味着
K 1 ∩ K α 1 ∩ ⋯ ∩ K α n = ∅ K_{1}\cap K_{\alpha_{1}}\cap \cdots \cap K_{\alpha_{n}}=\emptyset K1Kα1Kαn=
矛盾
推论: 设 { K n } \left\{ K_{n} \right\} {Kn}是非空紧集的序列并且 K n ⊃ K n + 1 K_{n} \supset K_{n+1} KnKn+1,那么 ∩ n = 1 ∞ K n \cap_{n=1}^{\infty}K_{n} n=1Kn是非空的

2.37 定理 E E E是紧集 K K K的无限子集,那么 E E E K K K中有极限点
证明:如果 K K K里没有 E E E的极限点,那么每个 q ∈ K q \in K qK酱油一个邻域 V q V_{q} Vq,它最多含有 E E E的一个点.
显然,没有 { V q } \left\{ V_{q} \right\} {Vq}的有限子组能够覆盖 E E E(毕竟你现在一个集合就一个点,无限个点可不得无限个集合)
这对于 K K K也一样,因为 E ⊂ K E \subset K EK。这与 K K K的紧性矛盾

2.38 定理 { I n } \left\{ I_{n} \right\} {In} R 1 \mathbb{R}^1 R1中的闭区间序列,并且 I n ⊃ I n + 1 I_{n} \supset I_{n+1} InIn+1,那么 ∩ n = 1 ∞ I n \cap_{n=1}^{\infty}I_{n} n=1In不是空集
证明:
I n = [ a n , b n ] I_{n}=\left[ a_{n},b_{n} \right] In=[an,bn],令 E E E是一切 a n a_{n} an所构成的集。那么 E E E是非空的且有上界 b 1 b_{1} b1
x = sup ⁡ E x=\sup E x=supE。如果 m , n ∈ N + m,n\in \mathbb{N}_{+} m,nN+,那么
a n ≤ a m + n ≤ x ≤ b m + n ≤ b m a_{n}\le a_{m+n}\le x \le b_{m+n} \le b_{m} anam+nxbm+nbm
因此对于每个 m m m,有 x ∈ I m x \in I_{m} xIm

2.39 定理 k k k是正整数。如果 { I n } \left\{ I_{n} \right\} {In} k k k-放个的序列,并且 I n ⊃ I n + 1 I_{n} \supset I_{n+1} InIn+1,那么 ∩ n = 1 ∞ I n \cap_{n=1}^{\infty}I_{n} n=1In不是空集
证明:
(其实拆成 k k k个区间用一下定理2.38就出来了)
I n I_n In由一切
a n , j ≤ x j ≤ b n , j a_{n,j} \le x_{j} \le b_{n,j} an,jxjbn,j
的点 x \mathbf{x} x组成,令 I n , j = [ a n , j , b n , j ] I_{n,j} = \left[ a_{n,j},b_{n,j} \right] In,j=[an,j,bn,j]
由定理2.38,存在实数 x j ∗ x_{j}^{*} xj,满足
a n , j ≤ x j ∗ ≤ b n , j a_{n,j}\le x_{j}^{*}\le b_{n,j} an,jxjbn,j
对于每个 n n n,有 x ∗ ∈ I n \mathbf{x}^{*} \in I_{n} xIn

2.40 定理 每个 k k k方格是紧集
证明:令 I I I k k k-方格。令
δ = ∥ a − b ∥ \delta = \|\mathbf{a}-\mathbf{b}\| δ=ab
x , y ∈ I \mathbf{x}, \mathbf{y}\in I x,yI,有 ∥ x − y ∥ ≤ δ \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|\le \delta xyδ

假定存在 I I I的一个开覆盖 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα},它不含 I I I的任何有限子覆盖。令 c j = a j + b j 2 c_{j} = \frac{a_{j}+b_{j}}{2} cj=2aj+bj,那么闭区间 [ a j , c j ] \left[ a_{j},c_{j} \right] [aj,cj] [ c j , b j ] \left[ c_{j},b_{j} \right] [cj,bj]确定 2 k 2^k 2k k k k方格 Q i Q_i Qi,显然 I = ∪ i = 1 2 k Q i I = \cup_{i=1}^{2^k}Q_{i} I=i=12kQi
存在 I 1 = Q i I_1=Q_{i} I1=Qi,不能被 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα}的任何有限子组覆盖。
再分 I 1 I_{1} I1,并且继续分下去,我们得到一个序列 { I n } \left\{ I_{n} \right\} {In},它具有以下性质
(a) I ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ ⋯ I \supset I_{1} \supset I_{2} \supset \cdots II1I2
(b) I n I_n In不能被 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα}的任何有限子组覆盖
© 如果 x , y ∈ I n \mathbf{x},\mathbf{y}\in I_{n} x,yIn,那么 ∥ x − y ∥ ≤ 2 − n δ \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|\le 2^{-n}\delta xy2nδ
存在一点 x ∗ \mathbf{x}^{*} x,它在每个 I n I_n In之内。对于某个 α , x ∗ ∈ G α \alpha, \mathbf{x}^{*} \in G_{\alpha} α,xGα
因为 G α G_{\alpha} Gα是开的,所以存在一个 r > 0 r >0 r>0,使得由 ∥ x − y ∥ < r \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| <r xy<r推出 y ∈ G α \mathbf{y}\in G_{\alpha} yGα
如果 n n n大到了出现 2 − n δ < r 2^{-n}\delta <r 2nδ<r时(这样的 n n n一定存在,否则将对一切正整数 n n n 2 n ≤ δ r 2^{n}\le \frac{\delta}{r} 2nrδ,由 R \mathbb{R} R的阿基米德性,这是不可能的)因此©就得出 I n ⊂ G α I_{n}\subset G_{\alpha} InGα,与(b)矛盾

下面定理中(a)和(b)的等价性就是又名的Heine-Borel定理
2.41 定理 如果 R k \mathbb{R}^k Rk中一个集 E E E具有下列三个性质之一,那么它具有其他两个性质
(a) E E E是闭且有界的
(b) E E E是紧的
© E E E的每个无限子集在 E E E内有极限点
证明:
如果(a)成立,这时存在某个 k k k-方格 I I I使 E ⊂ I E \subset I EI,于是根据定理2.40和2.35(b)成立
由定理2.37,(b)可以推出©.接下来证明©推(a)

‌‌‌‌  如果 E E E不是有界的,那么 E E E会有一些点 x n \mathbf{x}_{n} xn合于
∥ x n ∣ ∣ > n \|\mathbf{x}_{n}\left| \right| >n xn>n
由这些 x n x_n xn所组成的集 S S S是一个无限集,并且显然在 R k \mathbb{R}^k Rk中没有极限点,因而在 E E E中没有极限点,因此 E E E是有界的
‌‌‌‌  如果 E E E不是闭集,那么存在一点 x 0 ∈ R k \mathbf{x}_{0}\in\mathbb{R}^k x0Rk,它是 E E E的极限点,但是不在 E E E内。对于 n = 1 , 2 , 3. ⋯ n=1,2,3.\cdots n=1,2,3.,存在点 x n ∈ E x_{n} \in E xnE,使得 ∣ x n − x 0 ∣ < 1 n \left| x_{n}-x_{0} \right|<\frac{1}{n} xnx0<n1.(这里不会选的点都一样,因为 n n n越来越大)
S S S是这些 x n x_{n} xn所成的集。那么 S S S是无限集(不然的话, ∣ x n − x 0 ∣ \left| x_{n}-x_{0} \right| xnx0将对于无限个多个 n n n,取一个固定的正值)。 S S S x 0 x_{0} x0为极限点,并且 S S S R k \mathbb{R}^k Rk中没有其他的极限点。事实上,如果 y ∈ R k , y ≠ x 0 \mathbf{y} \in \mathbb{R}^k,\mathbf{y}\neq \mathbf{x}_{0} yRk,y=x0。那么除了有限几个 n n n以外,
∣ x n − y ∣ ≥ ∣ x 0 − y ∣ − ∣ x n − x 0 ∣ ≥ ∣ x 0 − y ∣ − 1 n ≥ 1 2 ∣ x 0 − y ∣ \begin{aligned} \left| \mathbf{x_{n}} - \mathbf{y} \right| &\ge \left| \mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| -\left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{x}_{0}\right| \\ &\ge \left| \mathbf{x}_{0}- \mathbf{y} \right| -\frac{1}{n}\\ &\ge \frac{1}{2}\left| \mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| \end{aligned} xnyx0yxnx0x0yn121x0y
r < 1 2 ∣ x 0 − y ∣ r<\frac{1}{2}\left| \mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| r<21x0y,那么 N r ( y ) N_{r}\left( \mathbf{y} \right) Nr(y)只有有限个 S S S中的点(或者空集),这就证明了 y \mathbf{y} y不是 S S S的极限点
‌‌‌‌  这样一来, S S S E E E里没有极限点。因此,如果© 成立,那么 E E E一定是闭集
‌‌‌‌  在这一点上我们应当注意,在任何度量空间里(b)和©是等价的,然而一般来说,(a)不能推出(b)和©

2.42 定理(Weierstrass) R k \mathbb{R}^k Rk中每个有界无限子集在 R k \mathbb{R}^k Rk中由极限点
证明:所说的这个集 E E E既然有界,必是一个 k k k-方格 I ⊂ R k I \subset \mathbb{R}^k IRk的子集。
I I I是紧集,因此 E E E I I I里由极限点

完全集

2.43 定理 P P P R k \mathbb{R}^k Rk中的非空完全集,那么 P P P是不可数的
证明:因为 P P P有极限点,所以 P P P是无限集。如果 P P P可数,将 P P P中的点记作 x 1 , x 2 , ⋯ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\cdots x1,x2,,我们按下面的方式构造一个邻域序列 { V n } \left\{ V_{n} \right\} {Vn}
‌‌‌‌  令 V 1 V_{1} V1 x 1 \mathbf{x}_{1} x1的任意一个邻域。如果 V 1 = { y ∈ R k : ∣ y − x 1 ∣ < r } V_{1}=\left\{ \mathbf{y}\in \mathbb{R}^k:\left| \mathbf{y}-\mathbf{x_{1}} \right| < r \right\} V1={yRk:yx1<r} V 1 V_{1} V1的闭包 V ˉ 1 = { y ∈ R k : ∣ y − x 1 ∣ ≤ r } \bar{V}_{1}=\left\{ \mathbf{y}\in \mathbb{R}^k:\left| \mathbf{y}-\mathbf{x_{1}} \right| \le r \right\} Vˉ1={yRk:yx1r}
‌‌‌‌  假定已经作出 V n V_{n} Vn,那么 V n ∩ P ≠ ∅ V_{n} \cap P \neq \emptyset VnP=。因为 P P P的每个点都是 P P P的极限点,所以存在一个邻域 V n + 1 V_{n+1} Vn+1,使得(i) V ˉ n + 1 ⊂ V n \bar{V}_{n+1}\subset V_{n} Vˉn+1Vn,(ii) x n ∉ V ˉ n + 1 \mathbf{x}_{n} \not\in \bar{V}_{n+1} xnVˉn+1,(iii) V n + 1 ∩ P ≠ ∅ V_{n+1}\cap P\neq \emptyset Vn+1P=,由(iii)来看, V n + 1 V_{n+1} Vn+1满足归纳法的假设,因此,这种构造法可以继续进行。
‌‌‌‌  令 K n = V ˉ n ∩ P K_{n}=\bar{V}_{n}\cap P Kn=VˉnP。因为 V ˉ n \bar{V}_{n} Vˉn是有界闭集,所以 V ˉ n \bar{V}_{n} Vˉn是紧集。因为 x n ∉ K n + 1 \mathbf{x}_{n} \not\in K_{n+1} xnKn+1,所以 ⋂ i = 1 ∞ K n \bigcap_{i=1}^{\infty}K_{n} i=1Kn没有 P P P的点。因为 K n ⊂ P K_{n}\subset P KnP,这意味着 ⋂ i = 1 ∞ K n = ∅ \bigcap_{i=1}^{\infty}K_{n}=\emptyset i=1Kn=。然而由(iii),每个 K n ≠ ∅ K_{n}\neq \emptyset Kn=。并且由(i), K n ⊃ K n + 1 K_{n}\supset K_{n+1} KnKn+1;这与定理2.36的推论矛盾
推论 每个闭区间 [ a , b ] ( a < b ) \left[ a,b \right]\left( a<b \right) [a,b](a<b)是不可数的,特别地, R \mathbb{R} R是不可数的

2.44 Cantor集 我们将要构造出的这个集表明,在 R 1 \mathbb{R}^1 R1中存在不包含开区间的完全集
E 0 = [ 0 , 1 ] E_{0}=\left[ 0,1 \right] E0=[0,1],去掉开区间 ( 1 3 , 2 3 ) \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) (31,32),并令
E 1 = [ 0 , 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 1 ] E_{1} = \left[ 0, \frac{1}{3}\right] \cup \left[ \frac{2}{3}, 1 \right] E1=[0,31][32,1]
将这两个闭区间都三等分,并去掉中间的那个开区间。令
E 2 = [ 0 , 1 9 ] ∪ [ 2 9 , 3 9 ] ∪ [ 6 9 , 7 9 ] ∪ [ 8 9 , 1 ] E_{2}=\left[ 0, \frac{1}{9}\right] \cup \left[ \frac{2}{9}, \frac{3}{9} \right] \cup \left[ \frac{6}{9}, \frac{7}{9} \right] \cup \left[ \frac{8}{9},1 \right] E2=[0,91][92,93][96,97][98,1]
按照这个方式进行下去,就得到紧集 E n E_{n} En的一个序列,显然
(a) E 1 ⊃ E 2 ⊃ ⋯ E_{1} \supset E_{2} \supset \cdots E1E2
(b) E n E_n En 2 n 2^n 2n个区间的并,每个闭区间的长度为 3 − n 3^{-n} 3n

P = ⋂ n = 1 ∞ E n P = \bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n} P=n=1En
叫做Cantor集。显然 P P P是紧集。并且按照定理2.36表明, P P P不是空集
如果 k , m ∈ N + k,m\in \mathbb{N}_{+} k,mN+,那么没有一个形式为
( 3 k + 1 3 m , 3 k + 2 3 m ) \left( \frac{3k+1}{3^m}, \frac{3k+2}{3^m} \right) (3m3k+1,3m3k+2)
的开区间能够和 P P P有公共点。因为每个开区间 ( α , β ) \left( \alpha, \beta \right) (α,β),一定含有上面这种开区间,只要
3 − m < β − α 6 3^{-m}< \frac{\beta-\alpha}{6} 3m<6βα
所以 P P P不能含开区间
‌‌‌‌  为了证明 P P P是完全集,需要证明 P P P没有孤立点。令 x ∈ P x \in P xP,而 S S S是包含 x x x的任意一个开区间。令 I n I_n In E n E_n En中包含 x x x的那个开区间,选择足够大的 n n n,使得 I n ⊂ S I_{n} \subset S InS。令 x n x_{n} xn I n I_{n} In的那个不等于 x x x的端点。
‌‌‌‌  从构造 P P P的方法知道 x n ∈ P x_{n} \in P xnP,因此 x x x P P P的一个极限点,从而 P P P是完备的。
‌‌‌‌  Cantor集是一个测度为零的不可数集

连通集

2.45 定义 A , B A, B A,B是度量空间 X X X的两个子集。如果 A ∩ B ˉ A \cap \bar{B} ABˉ以及 A ˉ ∩ B \bar{A} \cap B AˉB都是空集,即如果 A A A的点不在 B B B的闭包中, B B B的点也不在 A A A的闭包中,就说 A A A B B B是分离的(seperated)
如果集 E ⊂ X E \subset X EX不是两个非空分离集的并,就说 E E E是连通集(connected set)

2.46 评注 分离的两个集是不相交的,但是不相交的集不一定是分离集。 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)不是分离的。 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)是分离的

2.47 定理 实数轴 R 1 \mathbb{R}^1 R1的子集 E E E是连通的,当且仅当它有以下性质:如果 x ∈ E , y ∈ E x \in E, y \in E xE,yE,并且 x < z < y x < z < y x<z<y,那么 z ∈ E z \in E zE
证明:
‌‌‌‌   E E E是连通的。假设存在 x ∈ E , y ∈ E x \in E, y \in E xE,yE以及某个 z ∈ ( x , y ) z \in \left( x,y \right) z(x,y) z ∉ E z \not\in E zE,那么 E = A z ∪ B z E = A_{z} \cup B_{z} E=AzBz,这里
A z = E ∩ ( − ∞ , z ) , B z = E ∩ ( z , ∞ ) A_{z} = E \cap \left( -\infty, z \right) ,\quad B_{z} = E \cap \left( z, \infty \right) Az=E(,z),Bz=E(z,)
因为 x ∈ A z , y ∈ B z x \in A_{z}, y \in B_{z} xAz,yBz A , B A,B A,B都不为空。因为 A z ⊂ ( − ∞ , z ) , B z ⊂ ( z , ∞ ) A_{z}\subset \left( -\infty,z \right), B_{z} \subset \left( z, \infty \right) Az(,z),Bz(z,),他们是分离的。由此 E E E不是连通的,矛盾
‌‌‌‌  反过来,假设 E E E不连通,那么, E E E就等于某两个不空分离集 A , B A,B A,B的并,即 E = A ∪ B E = A \cup B E=AB.
x ∈ A , y ∈ B x \in A, y \in B xA,yB,不妨假设 x < y x <y x<y,定义
z = sup ⁡ ( A ∩ [ x , y ] ) z = \sup \left( A \cap \left[ x,y \right] \right) z=sup(A[x,y])
根据定理2.28, z ∈ A ˉ z \in \bar{A} zAˉ;因此 z ∉ B z \not\in B zB,特别有 x ≤ z < y x \le z < y xz<y
‌‌‌‌  如果 z ∉ A z \not\in A zA,那么 x < z < y x < z < y x<z<y,而 z ∉ E z \not\in E zE,矛盾
‌‌‌‌  如果 z ∈ A z \in A zA,那么 z ∉ B ˉ z \not\in \bar{B} zBˉ,因此存在 z 1 z_{1} z1使得 z < z 1 < y z < z_{1} < y z<z1<y z 1 ∉ B z_{1} \not\in B z1B.于是 x < z 1 < y x < z_{1} < y x<z1<y z 1 ∉ E z_{1}\not\in E z1E,矛盾

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题目描述 给定一个二叉搜索树的根节点 root 和一个值 key&#xff0c;删除二叉搜索树中的 key 对应的节点&#xff0c;并保证二叉搜索树的性质不变。返回二叉搜索树&#xff08;有可能被更新&#xff09;的根节点的引用。 一般来说&#xff0c;删除节点可分为两个步骤&#xf…

链表(C语言)

前言&#xff1a;前面几篇文章我们详细介绍了顺序表&#xff0c;以及基于顺序表来实现的通讯录。今天我们连介绍一下链表的下一个结构链表。那么链表和顺序表究竟有什么区别呢&#xff1f;他们两个的优缺点分别是什么。今天这篇文章就带大家了解一下链表。 目录 一.链表的概念…

瑞芯微RK3328(ROC-RK3328-PC)buildroot 开发QT的hello world

第一部分&#xff1a;编译rk3328 sdk 0. 环境 - EC-R3328PC&#xff08;ROC-RK3328-PC&#xff09; - ubuntu18&#xff08;100GB&#xff09; 1. 安装依赖 sudo apt-get updatesudo apt-get install repo git-core gitk git-gui gcc-arm-linux-gnueabihf u-boot-tools devi…

【系统移植三】uboot移植

开发板类型&#xff1a;emmc、7寸屏 1 NXP官方开发板uboot编译测试 1.1 获取源码 1&#xff09;源码路径&#xff1a;1、例程源码->4、NXP 官方原版 Uboot 和 Linux -> uboot-imx-rel_imx_4.1.15_2.1.0_ga.tar.bz2。 2&#xff09;将源码拷贝到ubuntu中的~/linux/IMX6…

Linux 目录结构与基础查看命令

介绍 目录结构如下 /bin&#xff1a;存放着用户最经常使用的二进制可执行命令&#xff0c;如cp、ls、cat等。这些命令是系统管理员和普通用户进行日常操作所必需的。 /boot&#xff1a;存放启动系统使用的一些核心文件&#xff0c;如引导加载器&#xff08;bootstrap loader…

采用C#.Net +JavaScript 开发的云LIS系统源码 二级医院应用案例有演示

采用C#.Net JavaScript 开发的云LIS系统源码 二级医院应用案例有演示 一、系统简介 云LIS是为区域医疗提供临床实验室信息服务的计算机应用程序&#xff0c;可协助区域内所有临床实验室相互协调并完成日常检验工作&#xff0c;对区域内的检验数据进行集中管理和共享&#xff0…

4*5的矩阵(C语言)

一、N-S流程图&#xff1b; 二、运行结果&#xff1b; 三、源代码&#xff1b; # define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS # include <stdio.h>int main() {//初始化变量值&#xff1b;int i 0;int j 0;int result 0;//嵌套循环输出&#xff1b;for (i 1; i < 4; i){//列…

L2正则化——解释为什么可以减少模型的复杂度

L2正则化是一种用于机器学习模型的技术&#xff0c;旨在减少模型的复杂度&#xff0c;从而提高其泛化能力。在L2正则化中&#xff0c;通过添加一个惩罚项&#xff0c;模型的权重被迫保持较小的值&#xff0c;这有助于防止过拟合&#xff0c;即模型在训练数据上表现良好但在未见…

【Python】OPC UA模拟服务器实现

目录 服务器模拟1. 环境准备2. 服务器设置3. 服务器初始化4. 节点操作5. 读取CSV文件6. 运行服务器 查看服务器客户端总结 在工业自动化和物联网&#xff08;IoT&#xff09;领域&#xff0c;OPC UA&#xff08;开放平台通信统一架构&#xff09;已经成为一种广泛采用的数据交换…

单链表的基本操作实现:初始化、尾插法、头插法、输出单链表、求表长、按序号查找、按值查找、插入结点、删除结点。

1.参考学习博文&#xff08;写的相当好的文章&#xff09;&#xff1a; http://t.csdnimg.cn/AipNl 2.关于我的总结&#xff1a; 定义单链表&#xff1a; typedef struct LNode {Elemtype data;struct LNode* next; }LNode; data用来存放元素值&#xff0c;next用来指向后…

【算法】反转链表

本题来源---《反转链表》 题目描述&#xff1a; 给你单链表的头节点 head &#xff0c;请你反转链表&#xff0c;并返回反转后的链表。 示例 1&#xff1a; 输入&#xff1a;head [1,2,3,4,5] 输出&#xff1a;[5,4,3,2,1]示例 2&#xff1a; 输入&#xff1a;head [1,2] 输…

医学图像三维重建与可视化系统 医学图像分割 区域增长

医学图像的三维重建与可视化&#xff0c;这是一个非常有趣且具有挑战性的课题&#xff01;在这样的项目中&#xff0c;可以探索不同的医学图像技术&#xff0c;比如MRI、CT扫描等&#xff0c;然后利用这些图像数据进行三维重建&#xff0c;并将其可视化以供医生或研究人员使用。…

C++中的继承与多态

一、继承&#xff1a; 1.什么是继承&#xff1f; 继承(inheritance)机制是面向对象程序设计使代码可以复用的最重要的手段&#xff0c;它允许程序员在保持原有类特性的基础上进行扩展&#xff0c;增加功能&#xff0c;这样产生新的类&#xff0c;称派生类。继承呈现了面向对象…

golang map总结

目录 概述 一、哈希表原理 哈希函数 哈希表和哈希函数的关系 哈希表的优势 哈希冲突 什么是哈希冲突 如何处理哈希冲突 链表法 开放寻址法 哈希表常见操作过程 存储数据 检索数据 删除数据 常用的哈希算法 哈希表的应用场景 二、golang map map的内部结构 h…

Docker Volume (存储卷)

什么是存储卷? 存储卷就是将宿主机的本地文件系统中存在的某个目录直接与容器内部的文件系统上的某一目录建立绑定关系。这就意味着&#xff0c;当我们在容器中的这个目录下写入数据时&#xff0c;容器会将其内容直接写入到宿主机上与此容器建立了绑定关系的目录。在宿主机上…

选课成绩管理系统

文章目录 员工管理系统一、项目演示二、项目介绍三、系统部分功能截图四、部分代码展示五、底部获取项目&#xff08;9.9&#xffe5;&#xff09; 员工管理系统 一、项目演示 课程管理系统 二、项目介绍 基于springbootvue的前后端分离选课成绩管理系统 该系统可做课程管理…

基础算法之二分算法

前言 本次博客&#xff0c;将要介绍二分算法的基本原理以及如何使用&#xff0c;深入浅出 二分可以针对整型以及浮点型接下来对其讲解希望对小白有所帮助吧 整型的二分法 一般要在一个数组中猜出一个数是否存在我们可以遍历一遍整个数组&#xff0c;判断是否存在&#xff0…

使用Windows11自带的WSL安装Ubuntu Linux系统教程

WSL介绍 WSL全称Windows Subsystem for Linux&#xff0c;它是Windows10带来的新特性&#xff0c;用于Windows系统上的Linux子系统。也就是说&#xff0c;可以在Windows系统中获取Linux系统&#xff0c;这个过程无需通过虚拟机&#xff0c;而是直连计算机硬件。 简而言之&#…