基础拓扑
有限集、可数集和不可数集
2.1 定义 考虑两个集 A A A和 B B B,他们的元素可以是任何东西。假定对于 A A A的每个元素 x x x,按照某种方式,与集 B B B的一个元素联系着,这个元素记作 f ( x ) f\left( x \right) f(x);那么,就说 f f f是从 A A A到 B B B的一个函数(或将 A A A映入 B B B内的一个映射)。集 A A A叫做 f f f的定义域(domain, 或者说 f f f定义在 A A A上),而元素 f ( x ) f\left( x \right) f(x)叫做 f f f的值(value)。 f f f的一切值得集叫做 f f f得值域(range)
2.2 定义 设 A A A和 B B B是两个集, f f f是 A A A到 B B B内的一个映射。如果 E ⊂ A E \subset A E⊂A, f ( E ) = { f ( x ) : x ∈ E } f\left( E \right)=\left\{ f\left( x \right): x \in E\right\} f(E)={f(x):x∈E}。我们称 f ( E ) f \left( E \right) f(E)为 E E E在 f f f之下的象(image)。按这个记法来说, f ( A ) f\left( A \right) f(A)就是 f f f的值域。显然 f ( A ) ⊂ B f\left( A \right) \subset B f(A)⊂B.如果 f ( A ) = B f\left( A \right)=B f(A)=B,就说 f f f将 A A A映满 B B B(也是离散里的满射)
E ⊂ B E \subset B E⊂B时, f − 1 ( E ) = { x ∈ A : f ( x ) ∈ E } f^{-1} \left( E \right)=\left\{ x\in A: f\left( x \right)\in E \right\} f−1(E)={x∈A:f(x)∈E}。称 f − 1 ( E ) f^{-1}\left( E \right) f−1(E)为 f f f之下的逆象(inverse image)。 y ∈ B y \in B y∈B时, f − 1 ( y ) = { x ∈ A : f ( x ) = y } f^{-1}\left( y \right)=\left\{x\in A: f\left( x \right)=y \right\} f−1(y)={x∈A:f(x)=y}。如果 f − 1 ( y ) f^{-1}\left( y \right) f−1(y)对于每个 y ∈ B y\in B y∈B至多含有 A A A中的一个元素,那么就称 f f f是 A A A到 B B B内的1-1(一对一的)映射。这句话也可以这么表述如下:如果对于 x 1 ∈ A , x 2 ∈ B x_{1} \in A,x_{2} \in B x1∈A,x2∈B,当 x 1 ≠ x 2 x_{1}\neq x_{2} x1=x2时, f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) f\left( x_{1} \right)\neq f\left( x_{2} \right) f(x1)=f(x2),那么 f f f就是 A A A到 B B B内的一个1-1映射(也是离散里面的单射)
(后面双射=单射+满射)
2.3 定义 如果存在 A A A到 B B B上的双射,那么就说 A A A和 B B B可以建立1-1对应,或者说 A A A和 B B B具有相同的基数,或者就简单地说 A A A和 B B B等价,并且记作 A ∼ B A\sim B A∼B这个关系显然具有下列性质
自反性: A ∼ A A \sim A A∼A
对称性:如果 A ∼ B A \sim B A∼B,就有 B ∼ A B \sim A B∼A
传递性:如果 A ∼ B A \sim B A∼B并且 B ∼ C B \sim C B∼C,就有 A ∼ C A \sim C A∼C
任何具有这三个性质的关系都叫做等价关系
2.4 定义 对于任意正整数 n n n,令 J n = { 1 , 2 , ⋯ , n } J_{n}=\left\{ 1,2,\cdots, n \right\} Jn={1,2,⋯,n},令 J = N + J=\mathbb{N}_{+} J=N+,设 A A A是任意一个集,我们说
(a) A A A是有限的,如果对于某个 n n n, A ∼ J n A \sim J_{n} A∼Jn(空集也认为是有限集)
(b) A A A是无限的,如果 A A A不是有限的
© A A A是可数的(countable),如果 A ∼ J A \sim J A∼J
(d) A A A是不可数的(uncountable),如果 A A A既不是有限的,也不是可数的
(e) A A A是至多可数的(at most countable),如果 A A A或为有限或为可数的
可数集有时候也叫做可枚举集(enumerable)或可列集(denumerable)
2.7 定义 定义在 J J J上的函数叫做一个序列,如果对于一切 n ∈ J , f ( n ) = x n n \in J, f\left( n \right)=x_{n} n∈J,f(n)=xn,习惯上就把序列 f f f用符号 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn}来表示,或者用 x 1 , x 2 , ⋯ x_{1},x_{2},\cdots x1,x2,⋯来表示。 f f f的值,即元素 x n x_n xn,叫做这个序列的项。设 A A A是一个集并且对一切 n ∈ J , x n ∈ A n \in J, x_{n}\in A n∈J,xn∈A,那么 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn}就叫做 A A A里的一个序列,或者叫做 A A A的元素的一个序列。
注意,一个序列的项不一定各不相同
2.8 定理 可数集 A A A的每个无限子集也是可数集
证明:
设 E ⊂ A E \subset A E⊂A,并且 E E E是无限集。把 A A A的元素 x x x排成一个不同元素的序列 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn}。按以下方式作序列 { n k } \left\{ n_{k} \right\} {nk}
令 n 1 n_{1} n1是使 x n 1 ∈ E x_{n_1}\in E xn1∈E的最小正整数。当 n 1 , ⋯ , n k − 1 n_{1}, \cdots, n_{k-1} n1,⋯,nk−1选定以后, n k n_{k} nk是大于 n k − 1 n_{k-1} nk−1并且使 x n k ∈ E x_{n_{k}}\in E xnk∈E的最小正整数
令 f ( k ) = x n k f\left( k \right)=x_{n_{k}} f(k)=xnk,我们得到了 E E E和 J J J之间的一个双射
2.9 定义 设 A A A和 Ω \Omega Ω都是集。假定对于 A A A的每个元素 α \alpha α,与 Ω \Omega Ω的一个子集联系着,这个子集记作 E α E_{\alpha} Eα
用 { E α } \left\{ E_{\alpha} \right\} {Eα}来表示以集 E α E_{\alpha} Eα为元素的集。我们有时不说集的集,而说一组集或一簇集。
许多集 E α E_{\alpha} Eα的并是指这样一个集合 S S S: x ∈ S x \in S x∈S当且仅当至少对于一个 α ∈ A \alpha \in A α∈A,有 x ∈ E α x \in E_{\alpha} x∈Eα,表示并的记号是
S = ⋃ α ∈ A E α S = \bigcup_{\alpha \in A}E_{\alpha} S=α∈A⋃Eα
如果由整数 1 , 2 , ⋯ , n 1,2,\cdots, n 1,2,⋯,n组成,又往往写作:
S = ⋃ m = 1 n E m S = \bigcup_{m=1}^{n}E_{m} S=m=1⋃nEm
或
S = E 1 ∪ E 2 ∪ ⋯ ∪ E n S = E_{1} \cup E_{2}\cup \cdots \cup E_{n} S=E1∪E2∪⋯∪En
如果 A A A是一切正整数的集,通常的记号是
S = ⋃ m = 1 ∞ E m S = \bigcup_{m=1}^{\infty}E_{m} S=m=1⋃∞Em
注意这里的 ∞ \infty ∞仅仅表示对于集的可数组来取并
如果 A ∩ B A\cap B A∩B不空,就说 A A A与 B B B相交,否则就说他们不相交
2.12 定理 设 { E n } \left\{ E_{n} \right\} {En}是可数集组成的序列,令
S = ⋃ n = 1 ∞ E n S = \bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n} S=n=1⋃∞En
那么 S S S是可数的
证明:把每个集 E n E_n En排成一个序列 { x n k } \left\{ x_{nk} \right\} {xnk},而来考虑无限阵列
在这个阵列里, E n E_{n} En的元素构成第 n n n行。这个阵列含有 S S S的一切元素,这些元素可以按照箭头所指出的顺序排列称成一个序列
x 11 ; x 21 , x 12 ; x 31 , x 22 , x 13 ; x 41 , x 32 , x 23 , x 14 ; ⋯ x_{11};x_{21},x_{12};x_{31},x_{22},x_{13};x_{41},x_{32},x_{23},x_{14};\cdots x11;x21,x12;x31,x22,x13;x41,x32,x23,x14;⋯
这些集 E n E_{n} En的任何两个两个,如果有公共元素,那么这些元素将在这个序列中出现不止一次。因此一切正整数的集里有一个子集 T T T,使得 S ∼ T S \sim T S∼T这就证明了 S S S是至多可数的。因为 E 1 ⊂ S E_{1}\subset S E1⊂S,而 E 1 E_1 E1是无限多的,所以 S S S也是无限的,从而使可数的
推论 假定 A A A是至多可数的,并且对应于每个 α ∈ A \alpha \in A α∈A的 B α B_{\alpha} Bα是至多可数的。令
T = ⋃ α ∈ A B α T = \bigcup_{\alpha \in A}B_{\alpha} T=α∈A⋃Bα
那么 T T T是至多可数的
2.13 定理 设 A A A是可数集。又假设 B n B_{n} Bn是一切 n n n元素组 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \left( a_{1},a_{2},\cdots,a_{n} \right) (a1,a2,⋯,an)的集,这里 a k ∈ A a_{k} \in A ak∈A,并且元素 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_{1},a_{2},\cdots, a_{n} a1,a2,⋯,an不一定相同,那么 B n B_{n} Bn是至多可数的
证明:
B 1 B_1 B1显然是可数的,因为 B 1 = A B_{1}=A B1=A。假设 B n − 1 B_{n-1} Bn−1是可数的,那么, B n B_n Bn的元素具有形式
( b , a ) ( b ∈ B n − 1 , a ∈ A ) \left( b,a \right) \left( b \in B_{n-1},a \in A \right) (b,a)(b∈Bn−1,a∈A)
对于每个固定的 b b b,元素对 ( b , a ) \left( b,a \right) (b,a)的集与 A A A等价,因而是可数的。
于是 B n = ⋃ b ∈ B n − 1 { ( b , a 1 ) , ⋯ , ( b , a n ) , ⋯ } B_n= \bigcup_{b\in B_{n-1}}\left\{ \left( b,a_{1} \right),\cdots,\left( b,a_{n} \right),\cdots \right\} Bn=⋃b∈Bn−1{(b,a1),⋯,(b,an),⋯}是可数集
于是由归纳法证明了这个定理
推论 一切有理数的集是可数的
证明:
每个有理数 r = b a r = \frac{b}{a} r=ab,这里 a , b ∈ Z a,b \in Z a,b∈Z,一切数对 ( b , a ) \left( b,a \right) (b,a)的集是可数的。从而一切分数 b a \frac{b}{a} ab的集是可数的
实际上一切代数数的集也是可数的
2.14 定理 设 A A A是由数码 0 0 0和 1 1 1构成的一切序列的集,这个集 A A A是不可数的
A A A的元素都是像 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 , ⋯ 1,0,0,1,0,1,1,1,\cdots 1,0,0,1,0,1,1,1,⋯这样的序列
证明:设 E E E是 A A A的一个可数子集,并且设 E E E由一列元素 s 1 , s 2 , s 3 , ⋯ s_{1},s_{2},s_{3},\cdots s1,s2,s3,⋯组成
现在构造一个序列如下,如果在 s n s_n sn里,第 n n n个数码是 1 1 1,就令 s s s的第 n n n个数码取0,否则就取 1 1 1。于是序列 s s s与 E E E里的每个序列至少有一位不同,从而 s ∉ E s \not\in E s∈E。然而显然 s ∈ A s \in A s∈A,所以 E E E是 A A A的真子集
这就证明了 A A A的每个可数子集是 A A A的真子集,因此 A A A是不可数集(否则 A A A将是它自己的一个真子集,这是不可能的)
以上证法的思想是Cantor首先使用的,并且称为Cantor的对角线手法
度量空间
2.15 定义:设 X X X是一个集。他的元素叫做点,如果 X X X的任意两点 p p p和 q q q,联系于一个实数 d ( p , q ) d\left( p, q \right) d(p,q),叫做从 p p p到 q q q的距离,它合乎条件:
(a) 如果 p ≠ q p \neq q p=q,那么 d ( p , q ) > 0 ; d ( p , p ) = 0 d \left( p, q \right) > 0; d \left( p, p \right) = 0 d(p,q)>0;d(p,p)=0
(b) d ( p , q ) = d ( q , p ) d\left( p, q \right) = d \left( q, p \right) d(p,q)=d(q,p)
© 对于任意 r ∈ X , d ( p , q ) ≤ d ( p , r ) + d ( r , q ) r \in X, d \left( p,q \right) \le d\left( p, r \right) + d \left( r, q \right) r∈X,d(p,q)≤d(p,r)+d(r,q)
就称 X X X是一个度量空间
具有这三条性质的函数叫做距离函数或度量
2.18 定义:设 X X X是一个度量空间,下面提到的一切点和一切集,都理解为 X X X的点和集
(a) 点 p p p的邻域 N r ( p ) N_{r}\left( p \right) Nr(p)指的是满足条件 d ( p , q ) < r d\left( p, q \right) < r d(p,q)<r的一切点 q q q所成的集,数 r r r叫做 N r ( p ) N_{r} \left( p \right) Nr(p)的半径
(b) 点 p p p叫做集 E E E的极限点,如果 p p p的邻域都含有一点 q ∈ E q \in E q∈E而 q ≠ p q\neq p q=p
© 如果 p ∈ E p\in E p∈E并且 p p p不是 E E E的极限点,那么 p p p就叫做 E E E的孤立点
(d) E E E叫做闭的,如果 E E E的每个极限点都是 E E E的点
(e) 点 p p p叫做 E E E的一个内点,如果存在 p p p的一个邻域 N N N,有 N ⊂ E N \subset E N⊂E
(f) E E E叫做开的,如果 E E E的每个点都是 E E E的内点
(g) E E E的余集(记作 E c E^c Ec)指的是一切合于 p ∈ X p\in X p∈X及 p ∉ E p \not\in E p∈E的点 p p p的集
(h) E E E叫做完全的(perfect),如果 E E E是闭集,并且 E E E的每个点都是 E E E的极限点
(i) E E E叫做有界的,如果有一个实数 M M M和一个点 q ∈ X q\in X q∈X,使得一切 p ∈ E p \in E p∈E都满足 d ( p , q ) < M d \left( p, q \right) < M d(p,q)<M
(j) E E E叫做在 X X X中稠密的,如果 X X X额每个点都是 E E E的极限点,或是 E E E的点(或兼此二者)
2.19 定理:邻域必是开集
证明:
设 E = N r ( p ) E=N_r \left( p \right) E=Nr(p), 令 q q q是 E E E的任意一点。于是又一正实数 h h h,使得
d ( p , q ) = r − h d \left( p, q \right) = r- h d(p,q)=r−h
对于一切合适条件 d ( q , s ) < h d \left( q, s \right) < h d(q,s)<h的点 s s s,我们有
d ( p , s ) ≤ d ( p , q ) + d ( q , s ) < r − h + h = r d \left( p,s \right) \le d \left( p, q \right) + d \left( q, s \right) < r - h + h = r d(p,s)≤d(p,q)+d(q,s)<r−h+h=r
所以 s ∈ E s \in E s∈E,因此, q q q是 E E E的内点
2.20 定理:如果 p p p是集 E E E的一个极限点,那么 p p p的每个邻域含有 E E E的无限多个点
证明:
假设有 p p p的某个邻域 N N N只含有 E E E的有限个点,令 q 1 , ⋯ , q n q_1, \cdots, q_{n} q1,⋯,qn是 N ∩ E N\cap E N∩E中哲有限个异于 p p p的点
又令
r = min 1 ≤ m ≤ n d ( p , q m ) r = \min\limits_{1 \le m \le n} d \left( p, q_{m} \right) r=1≤m≤nmind(p,qm)
显然 r > 0 r >0 r>0
邻域 N r ( p ) N_{r} \left( p \right) Nr(p)不能再含有 E E E的点 q q q而 q ≠ p q \neq p q=p的了,所以 p p p不是 E E E的极限点,矛盾
推论:有限的点集没有极限点
2.22 定理:设 { E α } \left\{ E_{\alpha} \right\} {Eα}是若干(有限个或无限多个)集 E α E_{\alpha} Eα的一个组,那么
( ⋃ α E α ) c = ⋂ α ( E α c ) \left( \bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^c = \bigcap_{\alpha}\left( E_{\alpha}^c \right) (α⋃Eα)c=α⋂(Eαc)
证明:
令 A = ( ⋃ α E α ) c , B = ⋂ α ( E α c ) A = \left( \bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^c, B = \bigcap_{\alpha}\left( E_{\alpha}^c \right) A=(⋃αEα)c,B=⋂α(Eαc)
如果 x ∈ A x \in A x∈A,那么 x ∉ ⋃ α E α x \notin \bigcup_{\alpha}E_{\alpha} x∈/⋃αEα ,因此 ∀ α , x ∉ E α \forall \alpha, x \notin E_{\alpha} ∀α,x∈/Eα,从而 ∀ α , x ∈ E α c \forall \alpha, x \in E_{\alpha}^c ∀α,x∈Eαc,因此 x ∈ B x \in B x∈B, 即 A ⊂ B A \subset B A⊂B
如果 x ∈ B x \in B x∈B,那么 ∀ α , x ∈ E α c \forall \alpha, x \in E_{\alpha}^c ∀α,x∈Eαc,因此 ∀ a , x ∉ E α \forall a, x \not\in E_{\alpha} ∀a,x∈Eα,从而 ∀ α , x ∉ ⋃ α E α \forall \alpha, x \not\in \bigcup_{\alpha} E_{\alpha} ∀α,x∈⋃αEα,于是 x ∈ A x \in A x∈A,即 B ⊂ A B\subset A B⊂A
这就证明了 A = B A=B A=B
2.23 定理: E E E是开集当且仅当它的余集是闭集
证明:首先设 E c E^c Ec是闭集,取 x ∈ E x \in E x∈E,那么 x ∉ E c x \not\in E^c x∈Ec,于是存在 x x x的邻域 N N N,使得 E c ∩ N E^c \cap N Ec∩N为空集,这就是说 N ⊂ E N \subset E N⊂E, 所以 x x x是 E E E的内点
其次,设 E E E是开集,令 x x x是 E c E^c Ec的极限点,那么 x x x的每个邻域含有 E c E^c Ec的点,,所以 x x x不是 E E E的内点,因为 E E E是开集,这就是说 x ∈ E c x \in E^c x∈Ec,因此 E c E^c Ec是闭集
推论: F F F是闭集当且仅当它的余集是开集
2.24 定理:
(a) 任意一组开集 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα}的并 ⋃ α G α \bigcup_{\alpha} G_{\alpha} ⋃αGα是开集
(b) 任意一组闭集 { F α } \left\{ F_{\alpha} \right\} {Fα}的交 ⋂ α F α \bigcap_{\alpha} F_{\alpha} ⋂αFα是闭集
© 任意一组有限个开集 G 1 , ⋯ , G n G_{1}, \cdots, G_{n} G1,⋯,Gn的交 ⋂ i = 1 n G i \bigcap_{i=1}^n G_{i} ⋂i=1nGi是开集
(d) 任意一组有限个闭集 F 1 , ⋯ , F n F_{1}, \cdots, F_{n} F1,⋯,Fn的并 ⋃ i = 1 n F i \bigcup_{i=1}^n F_{i} ⋃i=1nFi是闭集
证明:
令 G = ⋃ α G α G=\bigcup_{\alpha}G_{\alpha} G=⋃αGα。如果 x ∈ G x \in G x∈G,就有某个 α \alpha α,使得 x ∈ G α x \in G_{\alpha} x∈Gα.因为 x x x是 G α G_{\alpha} Gα的一个内点,所以 x x x也是 G G G的一个内点,从而 G G G是开集
由
( ⋂ α F α ) c = ⋃ α ( F α c ) \left( \bigcap_{\alpha}F_{\alpha} \right)^c = \bigcup_{\alpha} \left( F_{\alpha}^c \right) (α⋂Fα)c=α⋃(Fαc)
(b)成立
其次,令 H = ⋂ i = 1 n G i H = \bigcap_{i=1}^{n}G_{i} H=⋂i=1nGi,对于 x ∈ H x \in H x∈H, 存在 x ∈ H x \in H x∈H,存在 x x x的邻域 N i N_{i} Ni,其半径为 r i r_{i} ri,使得 N i ⊂ G i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) N_{i} \subset G_{i} \left( i=1,2,\cdots ,n \right) Ni⊂Gi(i=1,2,⋯,n)
令
r = min ( r 1 , r 2 , ⋯ , r n ) r = \min \left( r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n} \right) r=min(r1,r2,⋯,rn)
又令 N N N是 x x x的以 r r r为半径的邻域。于是对于 i = 1 , 2 , ⋯ , n , N ⊂ G i i=1,2, \cdots, n, N \subset G_{i} i=1,2,⋯,n,N⊂Gi,从而 N ⊂ H N \subset H N⊂H,所以 H H H是开集
由
( ⋂ i = 1 n F i ) c = ⋃ i = 1 n ( F i c ) \left( \bigcap_{i=1}^{n}F_{i} \right)^c = \bigcup_{i=1}^{n} \left( F_{i}^c \right) (i=1⋂nFi)c=i=1⋃n(Fic)
(d)成立
2.25 例子:©,(d)中的有限个是必不可少的。
令 G n = ( − 1 n , 1 n ) G_{n}= \left( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) Gn=(−n1,n1), 那么 G n G_n Gn是 R 1 R^1 R1的开子集
令 G = ⋂ n = 1 ∞ G n = { 0 } G = \bigcap_{n=1}^{\infty}G_{n}= \left\{ 0 \right\} G=⋂n=1∞Gn={0},不是 R 1 R^1 R1的开子集
因此无限个开集的交不一定是开集
同理,无限个闭集的并不一定是闭集
2.26 定义:设 X X X是度量空间,如果 E ⊂ X E \subset X E⊂X, E ′ E^{\prime} E′表示 E E E在 X X X中所有极限点组成的集。那么 E ˉ = E ∪ E ′ \bar{E} = E \cup E^{\prime} Eˉ=E∪E′叫做 E E E的闭包
2.27 定理:设 X X X是度量空间,而 E ⊂ X E \subset X E⊂X,那么
(a) E ˉ \bar{E} Eˉ闭
(b) E = E ˉ E = \bar{ E} E=Eˉ当且仅当 E E E闭
© 如果闭集 F ⊂ X F \subset X F⊂X且 E ⊂ F E \subset F E⊂F,那么 E ˉ ⊂ F \bar{E} \subset F Eˉ⊂F
由(a)和©, E ˉ \bar{E} Eˉ是 X X X中包含 E E E的最小闭子集
证明:
(a)如果 p ∈ X p\in X p∈X而 p ∉ E ˉ p \notin \bar{E} p∈/Eˉ,那么 p p p既不是 E E E的点,又不是 E E E的极限点,因此 p p p有某个邻域与 E E E不交,所以 E ˉ c \bar{E}^c Eˉc是开集,进而 E ˉ \bar{E} Eˉ闭
(b)如果 E = E ˉ E= \bar{E} E=Eˉ,则 E E E闭。如果 E E E闭,则 E ′ ⊂ E E^{\prime} \subset E E′⊂E,由此 E = E ˉ E = \bar{E} E=Eˉ
©如果 F F F闭且 F ⊃ E F \supset E F⊃E,那么 F ⊃ F ′ F \supset F^{\prime} F⊃F′,因此 F ⊃ E ′ F \supset E^{\prime} F⊃E′。于是 F ⊃ E ˉ F \supset \bar{E} F⊃Eˉ
(这是因为 E E E的极限点同样是 F F F的极限点)
2.28 定理:设 E E E是一个不空实数集,上有界,令 y = sup E y = \sup E y=supE,那么 y ∈ E ˉ y \in \bar{E} y∈Eˉ.因此如果 E E E闭,那么 y ∈ E y \in E y∈E
证明:
如果 y ∈ E y \in E y∈E,则 y ∈ E ˉ y \in \bar{E} y∈Eˉ
如果 y ∉ E y \not\in E y∈E, ∀ h > 0 , ∃ x ∈ E , y − h < x < y \forall h >0, \exists x \in E, y-h < x < y ∀h>0,∃x∈E,y−h<x<y
( ∀ x ∈ E , x ≤ y \forall x \in E, x \le y ∀x∈E,x≤y, 如果 x = y x=y x=y,则 y ∈ E y \in E y∈E,如果 y − h ≥ x y-h \ge x y−h≥x,则 y − h y-h y−h也是 E E E的上界,与 y y y是最小上界矛盾)
所以 y y y是 E E E的极限点,因此 y ∈ E ˉ y \in \bar{E} y∈Eˉ
2.29 定义:如果能给每个 p ∈ E p \in E p∈E配备一个 r > 0 r >0 r>0,凡当 d ( p , q ) < r d \left( p, q \right) < r d(p,q)<r且 q ∈ Y q \in Y q∈Y时,就有 q ∈ E q \in E q∈E,我们就说 E E E关于 Y Y Y是开的。
例如 ( a , b ) \left( a,b \right) (a,b)关于 R 1 R^1 R1是开的,但是关于 R 2 R^2 R2就不是
2.30 定理:设 Y ⊂ X Y \subset X Y⊂X, Y Y Y的子集 E E E关于 Y Y Y是开的,当且仅当 X X X有某个开子集 G G G,使得 E = Y ∩ G E = Y \cap G E=Y∩G
证明:
设 E E E关于 Y Y Y是开的,那么对于每个 p ∈ E p \in E p∈E,有正数 r p r_{p} rp的使得当 d ( p , q ) < r p d \left( p,q \right) < r_{p} d(p,q)<rp与 q ∈ Y q \in Y q∈Y时,有 q ∈ E q \in E q∈E
令 V p = { q ∈ X : d ( p , q ) < r p } = N r p ( p ) V_{p} =\left\{ q \in X:d \left( p,q \right) < r_{p} \right\}=N_{r_{p}}\left( p \right) Vp={q∈X:d(p,q)<rp}=Nrp(p),并定义
G = ⋃ p ∈ E V p G = \bigcup_{p \in E}V_{p} G=p∈E⋃Vp
G G G是 X X X的开子集
因为一切 p ∈ E p \in E p∈E都有 p ∈ V p p \in V_p p∈Vp,显然 E ⊂ G ∩ Y E \subset G \cap Y E⊂G∩Y
按照 V p V_{p} Vp的选取,对于每个 p ∈ E p \in E p∈E,我们有 V p ∩ Y ⊂ E V_{p} \cap Y \subset E Vp∩Y⊂E,从而 G ∩ Y ⊂ E G \cap Y \subset E G∩Y⊂E。因此 E = Y ∩ G E = Y \cap G E=Y∩G
反过来,如果 G G G是 X X X的一个开集,而 E = G ∩ Y E = G \cap Y E=G∩Y,那么每个 p ∈ E p \in E p∈E有一个邻域 V p ⊂ G V_{p} \subset G Vp⊂G
于是 V p ∩ Y ⊂ E V_{p} \cap Y \subset E Vp∩Y⊂E,所以 E E E关于 Y Y Y是开集
紧集
2.31 定义:设 E E E是度量空间 X X X的一个集, E E E的开覆盖(open cover)指的是 X X X的一组开子集 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα},使得 E ⊂ ⋃ α G α E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha} E⊂⋃αGα
2.32 定义:度量空间 X X X的子集 K K K叫做紧的(compact),如果 K K K的每个开覆盖总含有一个有限子覆盖
说的更准确一些,这个要求就是,如果 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα}是 K K K的一个开覆盖,那么总有有限多个指标 α 1 , ⋯ , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,⋯,αn使得
K ⊂ G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n K \subset G_{\alpha_{1}}\cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}} K⊂Gα1∪⋯∪Gαn
2.33 定理:设 K ⊂ Y ⊂ X K \subset Y \subset X K⊂Y⊂X,那么 K K K关于 X X X是紧的当且仅当 K K K关于 Y Y Y是紧的
证明:
设 K K K关于 X X X是紧的,并且设 { V α } \left\{ V_{\alpha} \right\} {Vα}是一组关于 Y Y Y的开的集,使得 K ⊂ ⋃ α V α K \subset \bigcup_{\alpha} V_{\alpha} K⊂⋃αVα
由于 V α V_{\alpha} Vα是 Y Y Y的开子集,因此 X X X有某个开子集 G α G_{\alpha} Gα,使得 V α = Y ∩ G α V_{\alpha} = Y \cap G_{\alpha} Vα=Y∩Gα
K ⊂ ⋃ α V α = ⋃ α ( Y ∩ G α ) ⊂ ⋃ α G α K \subset \bigcup_{\alpha}V_{\alpha}=\bigcup_{\alpha} \left( Y \cap G_{\alpha} \right) \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha} K⊂⋃αVα=⋃α(Y∩Gα)⊂⋃αGα,因此 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα}是 E E E的开覆盖
又因为 K K K关于 X X X是紧的,我们可以选出有限多个指标 α 1 , ⋯ , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,⋯,αn,使得
K ⊂ G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n K\subset G_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}} K⊂Gα1∪⋯∪Gαn
又因为 K ⊂ Y K \subset Y K⊂Y,那么
K ⊂ ( G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n ) ∩ Y = V α 1 ∪ ⋯ ∪ V α n K\subset (G_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}})\cap Y=V_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup V_{\alpha_{n}} K⊂(Gα1∪⋯∪Gαn)∩Y=Vα1∪⋯∪Vαn
反过来,设 K K K关于 Y Y Y是紧的。令 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα}是 X X X的一组开子集,并且能覆盖 K K K
令 V α = Y ∩ G α V_{\alpha}=Y \cap G_{\alpha} Vα=Y∩Gα,那么便能选出若干 α \alpha α,使得
K ⊂ V α 1 ∪ ⋯ ∪ V α n K\subset V_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup V_{\alpha_{n}} K⊂Vα1∪⋯∪Vαn
又因为 V α ⊂ G α V_{\alpha} \subset G_{\alpha} Vα⊂Gα,因此
K ⊂ G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n K\subset G_{\alpha_{1}} \cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}} K⊂Gα1∪⋯∪Gαn
2.34 定理:凡度量空间的紧子集都是闭集
证明:设 K K K是度量空间 X X X的紧子集。接着证明 K K K的余集是开集
设 p ∈ X , p ∉ K p \in X, p \not\in K p∈X,p∈K。如果 q ∈ K q \in K q∈K,令 V q V_{q} Vq和 W q W_q Wq分别是 p p p和 q q q的邻域,他们的半径小于 1 2 d ( p , q ) \frac{1}{2} d \left( p,q \right) 21d(p,q)
因为 K K K是紧,所以在 K K K中有有限个多个点 q 1 , q 2 , ⋯ , q n q_1,q_2, \cdots, q_n q1,q2,⋯,qn使得
K ⊂ W q 1 ∪ ⋯ ∪ W q n = W K \subset W_{q_{1}} \cup \cdots \cup W_{q_{n}}=W K⊂Wq1∪⋯∪Wqn=W
令 V = V q 1 ∩ ⋯ ∩ V V q n V = V_{q_{1}} \cap \cdots \cap V_{V_{q_{n}}} V=Vq1∩⋯∩VVqn,那么 V V V是 p p p的邻域,并且 V ∩ W = ∅ V \cap W = \emptyset V∩W=∅,因此 V ⊂ K c V \subset K^{c} V⊂Kc
也就是说 p p p是 K c K^{c} Kc的内点,证毕
2.35 定理 凡紧集的闭子集都是紧集
证明:
设 F ⊂ K ⊂ X F \subset K \subset X F⊂K⊂X, F F F是关于 X X X是闭的, K K K关于 X X X是紧的
令 { V α } \left\{ V_{\alpha} \right\} {Vα}是 F F F的开覆盖。令 Ω = { F c } ∪ { V α } \Omega = \left\{ F^c \right\} \cup \left\{ V_{\alpha} \right\} Ω={Fc}∪{Vα}, Ω \Omega Ω是 K K K的开覆盖
因为 K K K是紧的,所以 Ω \Omega Ω的一个有限子覆盖 Φ \Phi Φ能覆盖 K K K,从而也能覆盖 F F F
如果 F c F^c Fc也是 Φ \Phi Φ的成员,把它从 Φ \Phi Φ里去掉,剩下的仍然是 K K K的开覆盖。这就证明了 { V α } \left\{ V_{\alpha} \right\} {Vα}的一个有限子组覆盖了 F F F
推论:如果 F F F是闭的,而 K K K是紧的,那么 F ∩ K F \cap K F∩K是紧的
证明:
K K K是紧的,从而 K K K是闭得,于是 F ∩ K F\cap K F∩K是闭的
F ∩ K ⊂ K F \cap K \subset K F∩K⊂K,从而 F ∩ K F\cap K F∩K是紧的
2.36 定理 如果 { K α } \left\{ K_{\alpha} \right\} {Kα}是度量空间 X X X的一组紧子集,并且 { K α } \left\{ K_{\alpha} \right\} {Kα}中任意有限个集的交都不是空集,那么 ∩ K α \cap K_{\alpha} ∩Kα也不是空集
证明:
取定 { K α } \left\{ K_{\alpha} \right\} {Kα}的一个集 K 1 K_{1} K1,令 G α = K α c G_{\alpha}=K_{\alpha}^c Gα=Kαc
假定 K 1 K_{1} K1中没有同时属于每个 K α K_{\alpha} Kα的点,那么 G α G_{\alpha} Gα便形成 K 1 K_{1} K1的一个开覆盖。因为 K 1 K_{1} K1是紧的,所以有有限多个指标 α 1 , ⋯ , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,⋯,αn,使得 K 1 ⊂ G α 1 ∪ ⋯ ∪ G α n K_{1}\subset G_{\alpha_{1}}\cup \cdots \cup G_{\alpha_{n}} K1⊂Gα1∪⋯∪Gαn,然而这意味着
K 1 ∩ K α 1 ∩ ⋯ ∩ K α n = ∅ K_{1}\cap K_{\alpha_{1}}\cap \cdots \cap K_{\alpha_{n}}=\emptyset K1∩Kα1∩⋯∩Kαn=∅
矛盾
推论: 设 { K n } \left\{ K_{n} \right\} {Kn}是非空紧集的序列并且 K n ⊃ K n + 1 K_{n} \supset K_{n+1} Kn⊃Kn+1,那么 ∩ n = 1 ∞ K n \cap_{n=1}^{\infty}K_{n} ∩n=1∞Kn是非空的
2.37 定理 设 E E E是紧集 K K K的无限子集,那么 E E E在 K K K中有极限点
证明:如果 K K K里没有 E E E的极限点,那么每个 q ∈ K q \in K q∈K酱油一个邻域 V q V_{q} Vq,它最多含有 E E E的一个点.
显然,没有 { V q } \left\{ V_{q} \right\} {Vq}的有限子组能够覆盖 E E E(毕竟你现在一个集合就一个点,无限个点可不得无限个集合)
这对于 K K K也一样,因为 E ⊂ K E \subset K E⊂K。这与 K K K的紧性矛盾
2.38 定理 设 { I n } \left\{ I_{n} \right\} {In}是 R 1 \mathbb{R}^1 R1中的闭区间序列,并且 I n ⊃ I n + 1 I_{n} \supset I_{n+1} In⊃In+1,那么 ∩ n = 1 ∞ I n \cap_{n=1}^{\infty}I_{n} ∩n=1∞In不是空集
证明:
设 I n = [ a n , b n ] I_{n}=\left[ a_{n},b_{n} \right] In=[an,bn],令 E E E是一切 a n a_{n} an所构成的集。那么 E E E是非空的且有上界 b 1 b_{1} b1
令 x = sup E x=\sup E x=supE。如果 m , n ∈ N + m,n\in \mathbb{N}_{+} m,n∈N+,那么
a n ≤ a m + n ≤ x ≤ b m + n ≤ b m a_{n}\le a_{m+n}\le x \le b_{m+n} \le b_{m} an≤am+n≤x≤bm+n≤bm
因此对于每个 m m m,有 x ∈ I m x \in I_{m} x∈Im
2.39 定理 设 k k k是正整数。如果 { I n } \left\{ I_{n} \right\} {In}是 k k k-放个的序列,并且 I n ⊃ I n + 1 I_{n} \supset I_{n+1} In⊃In+1,那么 ∩ n = 1 ∞ I n \cap_{n=1}^{\infty}I_{n} ∩n=1∞In不是空集
证明:
(其实拆成 k k k个区间用一下定理2.38就出来了)
设 I n I_n In由一切
a n , j ≤ x j ≤ b n , j a_{n,j} \le x_{j} \le b_{n,j} an,j≤xj≤bn,j
的点 x \mathbf{x} x组成,令 I n , j = [ a n , j , b n , j ] I_{n,j} = \left[ a_{n,j},b_{n,j} \right] In,j=[an,j,bn,j]
由定理2.38,存在实数 x j ∗ x_{j}^{*} xj∗,满足
a n , j ≤ x j ∗ ≤ b n , j a_{n,j}\le x_{j}^{*}\le b_{n,j} an,j≤xj∗≤bn,j
对于每个 n n n,有 x ∗ ∈ I n \mathbf{x}^{*} \in I_{n} x∗∈In
2.40 定理 每个 k k k方格是紧集
证明:令 I I I是 k k k-方格。令
δ = ∥ a − b ∥ \delta = \|\mathbf{a}-\mathbf{b}\| δ=∥a−b∥
当 x , y ∈ I \mathbf{x}, \mathbf{y}\in I x,y∈I,有 ∥ x − y ∥ ≤ δ \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|\le \delta ∥x−y∥≤δ
假定存在 I I I的一个开覆盖 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα},它不含 I I I的任何有限子覆盖。令 c j = a j + b j 2 c_{j} = \frac{a_{j}+b_{j}}{2} cj=2aj+bj,那么闭区间 [ a j , c j ] \left[ a_{j},c_{j} \right] [aj,cj]和 [ c j , b j ] \left[ c_{j},b_{j} \right] [cj,bj]确定 2 k 2^k 2k个 k k k方格 Q i Q_i Qi,显然 I = ∪ i = 1 2 k Q i I = \cup_{i=1}^{2^k}Q_{i} I=∪i=12kQi
存在 I 1 = Q i I_1=Q_{i} I1=Qi,不能被 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα}的任何有限子组覆盖。
再分 I 1 I_{1} I1,并且继续分下去,我们得到一个序列 { I n } \left\{ I_{n} \right\} {In},它具有以下性质
(a) I ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ ⋯ I \supset I_{1} \supset I_{2} \supset \cdots I⊃I1⊃I2⊃⋯
(b) I n I_n In不能被 { G α } \left\{ G_{\alpha} \right\} {Gα}的任何有限子组覆盖
© 如果 x , y ∈ I n \mathbf{x},\mathbf{y}\in I_{n} x,y∈In,那么 ∥ x − y ∥ ≤ 2 − n δ \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|\le 2^{-n}\delta ∥x−y∥≤2−nδ
存在一点 x ∗ \mathbf{x}^{*} x∗,它在每个 I n I_n In之内。对于某个 α , x ∗ ∈ G α \alpha, \mathbf{x}^{*} \in G_{\alpha} α,x∗∈Gα
因为 G α G_{\alpha} Gα是开的,所以存在一个 r > 0 r >0 r>0,使得由 ∥ x − y ∥ < r \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| <r ∥x−y∥<r推出 y ∈ G α \mathbf{y}\in G_{\alpha} y∈Gα
如果 n n n大到了出现 2 − n δ < r 2^{-n}\delta <r 2−nδ<r时(这样的 n n n一定存在,否则将对一切正整数 n n n, 2 n ≤ δ r 2^{n}\le \frac{\delta}{r} 2n≤rδ,由 R \mathbb{R} R的阿基米德性,这是不可能的)因此©就得出 I n ⊂ G α I_{n}\subset G_{\alpha} In⊂Gα,与(b)矛盾
下面定理中(a)和(b)的等价性就是又名的Heine-Borel定理
2.41 定理 如果 R k \mathbb{R}^k Rk中一个集 E E E具有下列三个性质之一,那么它具有其他两个性质
(a) E E E是闭且有界的
(b) E E E是紧的
© E E E的每个无限子集在 E E E内有极限点
证明:
如果(a)成立,这时存在某个 k k k-方格 I I I使 E ⊂ I E \subset I E⊂I,于是根据定理2.40和2.35(b)成立
由定理2.37,(b)可以推出©.接下来证明©推(a)
如果 E E E不是有界的,那么 E E E会有一些点 x n \mathbf{x}_{n} xn合于
∥ x n ∣ ∣ > n \|\mathbf{x}_{n}\left| \right| >n ∥xn∣∣>n
由这些 x n x_n xn所组成的集 S S S是一个无限集,并且显然在 R k \mathbb{R}^k Rk中没有极限点,因而在 E E E中没有极限点,因此 E E E是有界的
如果 E E E不是闭集,那么存在一点 x 0 ∈ R k \mathbf{x}_{0}\in\mathbb{R}^k x0∈Rk,它是 E E E的极限点,但是不在 E E E内。对于 n = 1 , 2 , 3. ⋯ n=1,2,3.\cdots n=1,2,3.⋯,存在点 x n ∈ E x_{n} \in E xn∈E,使得 ∣ x n − x 0 ∣ < 1 n \left| x_{n}-x_{0} \right|<\frac{1}{n} ∣xn−x0∣<n1.(这里不会选的点都一样,因为 n n n越来越大)
令 S S S是这些 x n x_{n} xn所成的集。那么 S S S是无限集(不然的话, ∣ x n − x 0 ∣ \left| x_{n}-x_{0} \right| ∣xn−x0∣将对于无限个多个 n n n,取一个固定的正值)。 S S S以 x 0 x_{0} x0为极限点,并且 S S S在 R k \mathbb{R}^k Rk中没有其他的极限点。事实上,如果 y ∈ R k , y ≠ x 0 \mathbf{y} \in \mathbb{R}^k,\mathbf{y}\neq \mathbf{x}_{0} y∈Rk,y=x0。那么除了有限几个 n n n以外,
∣ x n − y ∣ ≥ ∣ x 0 − y ∣ − ∣ x n − x 0 ∣ ≥ ∣ x 0 − y ∣ − 1 n ≥ 1 2 ∣ x 0 − y ∣ \begin{aligned} \left| \mathbf{x_{n}} - \mathbf{y} \right| &\ge \left| \mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| -\left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{x}_{0}\right| \\ &\ge \left| \mathbf{x}_{0}- \mathbf{y} \right| -\frac{1}{n}\\ &\ge \frac{1}{2}\left| \mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| \end{aligned} ∣xn−y∣≥∣x0−y∣−∣xn−x0∣≥∣x0−y∣−n1≥21∣x0−y∣
若 r < 1 2 ∣ x 0 − y ∣ r<\frac{1}{2}\left| \mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| r<21∣x0−y∣,那么 N r ( y ) N_{r}\left( \mathbf{y} \right) Nr(y)只有有限个 S S S中的点(或者空集),这就证明了 y \mathbf{y} y不是 S S S的极限点
这样一来, S S S在 E E E里没有极限点。因此,如果© 成立,那么 E E E一定是闭集
在这一点上我们应当注意,在任何度量空间里(b)和©是等价的,然而一般来说,(a)不能推出(b)和©
2.42 定理(Weierstrass) R k \mathbb{R}^k Rk中每个有界无限子集在 R k \mathbb{R}^k Rk中由极限点
证明:所说的这个集 E E E既然有界,必是一个 k k k-方格 I ⊂ R k I \subset \mathbb{R}^k I⊂Rk的子集。
I I I是紧集,因此 E E E在 I I I里由极限点
完全集
2.43 定理 令 P P P是 R k \mathbb{R}^k Rk中的非空完全集,那么 P P P是不可数的
证明:因为 P P P有极限点,所以 P P P是无限集。如果 P P P可数,将 P P P中的点记作 x 1 , x 2 , ⋯ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\cdots x1,x2,⋯,我们按下面的方式构造一个邻域序列 { V n } \left\{ V_{n} \right\} {Vn}
令 V 1 V_{1} V1是 x 1 \mathbf{x}_{1} x1的任意一个邻域。如果 V 1 = { y ∈ R k : ∣ y − x 1 ∣ < r } V_{1}=\left\{ \mathbf{y}\in \mathbb{R}^k:\left| \mathbf{y}-\mathbf{x_{1}} \right| < r \right\} V1={y∈Rk:∣y−x1∣<r}。 V 1 V_{1} V1的闭包 V ˉ 1 = { y ∈ R k : ∣ y − x 1 ∣ ≤ r } \bar{V}_{1}=\left\{ \mathbf{y}\in \mathbb{R}^k:\left| \mathbf{y}-\mathbf{x_{1}} \right| \le r \right\} Vˉ1={y∈Rk:∣y−x1∣≤r}
假定已经作出 V n V_{n} Vn,那么 V n ∩ P ≠ ∅ V_{n} \cap P \neq \emptyset Vn∩P=∅。因为 P P P的每个点都是 P P P的极限点,所以存在一个邻域 V n + 1 V_{n+1} Vn+1,使得(i) V ˉ n + 1 ⊂ V n \bar{V}_{n+1}\subset V_{n} Vˉn+1⊂Vn,(ii) x n ∉ V ˉ n + 1 \mathbf{x}_{n} \not\in \bar{V}_{n+1} xn∈Vˉn+1,(iii) V n + 1 ∩ P ≠ ∅ V_{n+1}\cap P\neq \emptyset Vn+1∩P=∅,由(iii)来看, V n + 1 V_{n+1} Vn+1满足归纳法的假设,因此,这种构造法可以继续进行。
令 K n = V ˉ n ∩ P K_{n}=\bar{V}_{n}\cap P Kn=Vˉn∩P。因为 V ˉ n \bar{V}_{n} Vˉn是有界闭集,所以 V ˉ n \bar{V}_{n} Vˉn是紧集。因为 x n ∉ K n + 1 \mathbf{x}_{n} \not\in K_{n+1} xn∈Kn+1,所以 ⋂ i = 1 ∞ K n \bigcap_{i=1}^{\infty}K_{n} ⋂i=1∞Kn没有 P P P的点。因为 K n ⊂ P K_{n}\subset P Kn⊂P,这意味着 ⋂ i = 1 ∞ K n = ∅ \bigcap_{i=1}^{\infty}K_{n}=\emptyset ⋂i=1∞Kn=∅。然而由(iii),每个 K n ≠ ∅ K_{n}\neq \emptyset Kn=∅。并且由(i), K n ⊃ K n + 1 K_{n}\supset K_{n+1} Kn⊃Kn+1;这与定理2.36的推论矛盾
推论 每个闭区间 [ a , b ] ( a < b ) \left[ a,b \right]\left( a<b \right) [a,b](a<b)是不可数的,特别地, R \mathbb{R} R是不可数的
2.44 Cantor集 我们将要构造出的这个集表明,在 R 1 \mathbb{R}^1 R1中存在不包含开区间的完全集
E 0 = [ 0 , 1 ] E_{0}=\left[ 0,1 \right] E0=[0,1],去掉开区间 ( 1 3 , 2 3 ) \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) (31,32),并令
E 1 = [ 0 , 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 1 ] E_{1} = \left[ 0, \frac{1}{3}\right] \cup \left[ \frac{2}{3}, 1 \right] E1=[0,31]∪[32,1]
将这两个闭区间都三等分,并去掉中间的那个开区间。令
E 2 = [ 0 , 1 9 ] ∪ [ 2 9 , 3 9 ] ∪ [ 6 9 , 7 9 ] ∪ [ 8 9 , 1 ] E_{2}=\left[ 0, \frac{1}{9}\right] \cup \left[ \frac{2}{9}, \frac{3}{9} \right] \cup \left[ \frac{6}{9}, \frac{7}{9} \right] \cup \left[ \frac{8}{9},1 \right] E2=[0,91]∪[92,93]∪[96,97]∪[98,1]
按照这个方式进行下去,就得到紧集 E n E_{n} En的一个序列,显然
(a) E 1 ⊃ E 2 ⊃ ⋯ E_{1} \supset E_{2} \supset \cdots E1⊃E2⊃⋯
(b) E n E_n En是 2 n 2^n 2n个区间的并,每个闭区间的长度为 3 − n 3^{-n} 3−n
集
P = ⋂ n = 1 ∞ E n P = \bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n} P=n=1⋂∞En
叫做Cantor集。显然 P P P是紧集。并且按照定理2.36表明, P P P不是空集
如果 k , m ∈ N + k,m\in \mathbb{N}_{+} k,m∈N+,那么没有一个形式为
( 3 k + 1 3 m , 3 k + 2 3 m ) \left( \frac{3k+1}{3^m}, \frac{3k+2}{3^m} \right) (3m3k+1,3m3k+2)
的开区间能够和 P P P有公共点。因为每个开区间 ( α , β ) \left( \alpha, \beta \right) (α,β),一定含有上面这种开区间,只要
3 − m < β − α 6 3^{-m}< \frac{\beta-\alpha}{6} 3−m<6β−α
所以 P P P不能含开区间
为了证明 P P P是完全集,需要证明 P P P没有孤立点。令 x ∈ P x \in P x∈P,而 S S S是包含 x x x的任意一个开区间。令 I n I_n In是 E n E_n En中包含 x x x的那个开区间,选择足够大的 n n n,使得 I n ⊂ S I_{n} \subset S In⊂S。令 x n x_{n} xn是 I n I_{n} In的那个不等于 x x x的端点。
从构造 P P P的方法知道 x n ∈ P x_{n} \in P xn∈P,因此 x x x是 P P P的一个极限点,从而 P P P是完备的。
Cantor集是一个测度为零的不可数集
连通集
2.45 定义 设 A , B A, B A,B是度量空间 X X X的两个子集。如果 A ∩ B ˉ A \cap \bar{B} A∩Bˉ以及 A ˉ ∩ B \bar{A} \cap B Aˉ∩B都是空集,即如果 A A A的点不在 B B B的闭包中, B B B的点也不在 A A A的闭包中,就说 A A A和 B B B是分离的(seperated)
如果集 E ⊂ X E \subset X E⊂X不是两个非空分离集的并,就说 E E E是连通集(connected set)
2.46 评注 分离的两个集是不相交的,但是不相交的集不一定是分离集。 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]和 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)不是分离的。 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)和 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)是分离的
2.47 定理 实数轴 R 1 \mathbb{R}^1 R1的子集 E E E是连通的,当且仅当它有以下性质:如果 x ∈ E , y ∈ E x \in E, y \in E x∈E,y∈E,并且 x < z < y x < z < y x<z<y,那么 z ∈ E z \in E z∈E
证明:
E E E是连通的。假设存在 x ∈ E , y ∈ E x \in E, y \in E x∈E,y∈E以及某个 z ∈ ( x , y ) z \in \left( x,y \right) z∈(x,y)而 z ∉ E z \not\in E z∈E,那么 E = A z ∪ B z E = A_{z} \cup B_{z} E=Az∪Bz,这里
A z = E ∩ ( − ∞ , z ) , B z = E ∩ ( z , ∞ ) A_{z} = E \cap \left( -\infty, z \right) ,\quad B_{z} = E \cap \left( z, \infty \right) Az=E∩(−∞,z),Bz=E∩(z,∞)
因为 x ∈ A z , y ∈ B z x \in A_{z}, y \in B_{z} x∈Az,y∈Bz, A , B A,B A,B都不为空。因为 A z ⊂ ( − ∞ , z ) , B z ⊂ ( z , ∞ ) A_{z}\subset \left( -\infty,z \right), B_{z} \subset \left( z, \infty \right) Az⊂(−∞,z),Bz⊂(z,∞),他们是分离的。由此 E E E不是连通的,矛盾
反过来,假设 E E E不连通,那么, E E E就等于某两个不空分离集 A , B A,B A,B的并,即 E = A ∪ B E = A \cup B E=A∪B.
取 x ∈ A , y ∈ B x \in A, y \in B x∈A,y∈B,不妨假设 x < y x <y x<y,定义
z = sup ( A ∩ [ x , y ] ) z = \sup \left( A \cap \left[ x,y \right] \right) z=sup(A∩[x,y])
根据定理2.28, z ∈ A ˉ z \in \bar{A} z∈Aˉ;因此 z ∉ B z \not\in B z∈B,特别有 x ≤ z < y x \le z < y x≤z<y
如果 z ∉ A z \not\in A z∈A,那么 x < z < y x < z < y x<z<y,而 z ∉ E z \not\in E z∈E,矛盾
如果 z ∈ A z \in A z∈A,那么 z ∉ B ˉ z \not\in \bar{B} z∈Bˉ,因此存在 z 1 z_{1} z1使得 z < z 1 < y z < z_{1} < y z<z1<y且 z 1 ∉ B z_{1} \not\in B z1∈B.于是 x < z 1 < y x < z_{1} < y x<z1<y而 z 1 ∉ E z_{1}\not\in E z1∈E,矛盾