光子晶体概述

光子晶体定义和分类 [P4-5]

光子晶体是一种在一维、二维或三维空间内周期性排列的多层介质。这些结构通过在光子尺度上排列的重复单元，可以对光进行调控和控制。具体来说，光子晶体是指那些在空间上具有周期性排列的介质结构，它们通过这种周期性排列形成光子带隙，从而控制特定波长范围的光传播。

一维光子晶体 (1D)

一维光子晶体是指沿一个方向上具有周期性结构的介质，例如：

• 光栅：可以反射特定角度入射的光波。
• 滤波器：选择性地反射某些频率的光波。

二维光子晶体 (2D)

二维光子晶体是在两个方向上具有周期性结构的介质，例如：

• 平行棒阵列
• 圆柱形孔阵列：如改变光纤特性的孔状光纤（holey fibers）。

三维光子晶体 (3D)

三维光子晶体是指在三维空间内具有周期性结构的介质，例如：

• 立方体、球体或各种形状的孔，这些结构类似于天然晶体的晶格排列。

光子晶体的特征

1. 尺度：

   • 光波本质上是周期性的，当光波与具有相似尺度的周期性介质相互作用时，会产生特定的物理现象。光子晶体的周期性结构与光的波长处于相同量级，这种匹配是实现光子带隙效应的基础。

2. 光子带隙 (Photonic Bandgaps)：

   • 光子晶体最显著的特征之一是光子带隙，即某些频率范围内的光在光子晶体中无法传播。这种现象类似于半导体中的电子带隙，对光的传播形成有效的控制和调节。光子带隙适用于所有方向，使得光子晶体可以用于制造各种光学器件。

光子晶体中电磁波的传播特性求解的基本方法框架[P6]

波动方程的本征值问题
在非均匀介电介质中，波动方程具有以下一般形式：

$$\nabla \times (\eta (r)\nabla \times \mathbf{E})=\frac{{\omega }^2}{c_0^2}\mathbf{E}$$

$$\nabla \times [\eta (r)\nabla \times \mathbf{H}]=\frac{{\omega }^2}{c_0^2}\mathbf{H}$$

其中：

• $\mathbf{E}$ 是电场强度。
• $\mathbf{H}$ 是磁场强度。
• $\eta (r)=\frac{{ϵ}_0}{ϵ(r)}$ 表示位置 $r$ 处的介电常数的倒数，${ϵ}_0$ 是自由空间的介电常数，$ϵ(r)$ 是介质的介电常数。
• $\omega$ 是角频率。
• $c_0$ 是光速。

这些方程式描述了电磁波在具有位置依赖性介电常数的介质中传播时的行为。

在这些波动方程中，我们遇到一个典型的本征值问题：

本征值问题： 微分算子作用在场函数上等于一个常数乘以场函数。

数学上，这表示为：
$$\mathcal{L}\mathbf{E}=\lambda \mathbf{E}$$

其中 $\mathcal{L}$ 是一个微分算子，$\lambda$ 是本征值，$\mathbf{E}$ 是对应的本征函数。

• 本征值 (${\omega }^2/c_0^2$)：

  • 本征值反映了系统中允许的频率（$\omega$）范围，这些频率对应于波动在介质中传播时的特征值。

• 本征函数：

  • 本征函数描述了传播场的模式的空间分布。这些模式决定了波动在介质中如何分布和传播。

布洛赫模态（Bloch modes): 在周期结构中，光传播的形式

在具有周期性结构的介质中（如光子晶体），波动的传播不再是简单的平面波，而是被调制成布洛赫模态（Bloch modes）。布洛赫模态是指在周期性结构中，传播波被驻波调制的结果。

• 布洛赫波：在周期性结构中传播的波，其波函数可以表示为：
  $$\psi (\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}u(\mathbf{r})$$
  其中 $e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}$ 是平面波，$u(\mathbf{r})$ 是与晶格周期一致的周期函数。
• 驻波调制：布洛赫模态中，传播波被周期性结构调制，形成一种由驻波和行波的叠加。即，光波在周期性结构中不再是简单的行波或驻波，而是二者的结合。
• 不再是平面波：由于布洛赫模态的存在，光在这种结构中的传播特性变得更加复杂，波的相位和幅度都受周期性结构的影响。

矩阵理论 (Matrix Theory of Multilayer Optics)

多层介质中的光波可以分为两类：前向波（forward waves）和后向波（backward waves）。这些波的总和可以分别表示为单一的前向合成波 $U^{(+)}$ 和单一的后向波 $U^{(-)}$。这意味着我们可以通过确定这对波的振幅来描述介质中任何位置的波动情况。

波传输矩阵 (Wave-Transfer Matrix)

**波传输矩阵 $M$ 用于描述多层介质中前向和后向波之间的关系。**波传输矩阵的基本公式如下：

$$\left(\begin{array}{c}{U}_2^{(+)}\\ U_2^{(-)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_1^{(+)}\\ U_1^{(-)}\end{array}\right)$$

矩阵 $M$ 的元素 $A,B,C,D$ 称为传输矩阵的元素，它们描述了波在介质层之间传输时的振幅变化。通过将各层的波传输矩阵相乘，可以得到整个多层结构的总传输矩阵：

$$M=M_N\cdot \dots \cdot M_2\cdot M_1$$

这表示每层介质的传输矩阵的级联乘积。

散射矩阵 (Scattering Matrix)

散射矩阵 $S$ 描述了光波在介质层之间反射和透射的情况散射矩阵的定义如下：

$$\left(\begin{array}{c}{U}_2^{(+)}\\ U_1^{(-)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{t}_{12}& r_{21}\\ r_{12}& t_{21}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_1^{(+)}\\ U_2^{(-)}\end{array}\right)$$

其中，$t_{12}$ 和 $t_{21}$ 分别表示从介质 1 到介质 2 和从介质 2 到介质 1 的透射系数；$r_{12}$ 和 $r_{21}$ 分别表示从介质 1 到介质 2 和从介质 2 到介质 1 的反射系数。散射矩阵的元素直接反映了光在介质界面上的物理参数。

需要注意的是，多个元素的散射矩阵不能简单地通过相乘来得到总的散射矩阵，这与波传输矩阵不同。

例 7.1-1：光在均匀介质中的传播公式矩阵化

该习题讨论了光波通过一个均匀介质层的传播特性。介质层的厚度为 $d$，折射率为 $n$。在这种情况下，光波在介质层两端的复振幅关系为：

$$U_2^{(+)}=e^{-j\phi }{U}_1^{(+)}$$

$$U_1^{(-)}=e^{-j\phi }{U}_2^{(-)}$$

其中 $\phi =n{k}_{0}d$， $k_0$ 为真空中的波数。
以上公式非常重要！！！

在这种情况下，波传输矩阵 $M$ 和散射矩阵 $S$ 分别为：

$$M=\left(\begin{array}{cc}\exp (-j\phi )& 0\\ 0& \exp (j\phi )\end{array}\right)$$

$$S=\left(\begin{array}{cc}\exp (-j\phi )& 0\\ 0& \exp (-j\phi )\end{array}\right)$$

物理意义：

• 当光波通过均匀介质层时，前向波和后向波都会经历一定的相移，这个相移与介质的物理特性（厚度和折射率）有关。
• 波传输矩阵和散射矩阵提供了一种简便的方法来描述和计算这些相移，从而理解和预测光在多层介质中的传播行为。

Relation between Scattering Matrix and Wave-Transfer Matrix

艾里公式 (Airy Formulas)

描述两个级联介质系统中的透射和反射特性。

通过将这两个系统的波传输矩阵 $M$ 相乘，然后将结果转换为散射矩阵 $S$，我们可以得到整个级联系统的透射系数 $t_{13}$ 和反射系数 $r_{13}$。

无损对称系统中S矩阵的化简[P14-17]

由能量守恒出发，无损对称系统最终的矩阵参数有以下关系：

斜入射波的传输特性 Off-Axis Waves

例题

角度和相位变化

• 入射波以角度 ${\theta }_1$ 进入第一层介质，进入第二层时角度变为 ${\theta }_2$。
• 角度和相位变化关系为：
  $$\phi =n_2{k}_{0}d\cos {\theta }_2$$
  波传输矩阵 $M$

波传输矩阵 $M$ 用于描述斜入射波在层状介质中的传播行为。该矩阵的具体形式为：

$$M=\frac{1}{4{\tilde{n}}_1{\tilde{n}}_2}\left(\begin{array}{cc}{\tilde{n}}_1+{\tilde{n}}_2& {\tilde{n}}_1-{\tilde{n}}_2\\ {\tilde{n}}_1-{\tilde{n}}_2& {\tilde{n}}_1+{\tilde{n}}_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{e}^{-j\tilde{\phi }}& 0\\ 0& e^{j\tilde{\phi }}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\tilde{n}}_2+{\tilde{n}}_1& {\tilde{n}}_2-{\tilde{n}}_1\\ {\tilde{n}}_2-{\tilde{n}}_1& {\tilde{n}}_2+{\tilde{n}}_1\end{array}\right)$$

• $\tilde{\phi }=n_2{k}_{0}d\cos {\theta }_2$
• ${\tilde{n}}_1=n_1\cos {\theta }_1$ 和 ${\tilde{n}}_2=n_2\cos {\theta }_2$ （对于 TE 偏振，即电场垂直于入射面）
• ${\tilde{n}}_1=n_1\sec {\theta }_1$ 和 ${\tilde{n}}_2=n_2\sec {\theta }_2$ （对于 TM 偏振，即电场平行于入射面）

Fabry-Perot腔（Fabry-Perot Etalon）

Fabry-Perot腔（Fabry-Perot Etalon）是一种光学干涉仪器，广泛应用于光谱学和光学滤波等领域。该设备利用光在两个平行反射镜之间的多次反射，形成干涉图样，从而实现高分辨率的光谱分析。

Fabry-Perot腔由两个平行放置的部分反射镜（Lossless Partially Reflective Mirror）组成，镜间的空隙为自由空间（Free Space）。光波在两个镜面之间来回反射，产生干涉现象。

传输矩阵

在Fabry-Perot腔中，传输矩阵用于描述光波在反射镜和自由空间之间的传输过程。

传输矩阵M可以表示为：
$$M=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{t_1^{\ast }}& \frac{r_1}{t_1}\\ \frac{r_1^{\ast }}{t_1^{\ast }}& \frac{1}{t_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\exp (-j\phi )& 0\\ 0& \exp (j\phi )\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{t_2^{\ast }}& \frac{r_2}{t_2}\\ \frac{r_2^{\ast }}{t_2^{\ast }}& \frac{1}{t_2}\end{array}\right]$$

为三个矩阵的乘积，在自由空间中，光的相位变化可以表示为：
$$M_{fs}=\left[\begin{array}{cc}\exp (-j\phi )& 0\\ 0& \exp (j\phi )\end{array}\right]$$

相位调制和共振

通过调节反射镜之间的距离，可以控制光在腔中的相位变化，从而调制腔的共振频率。共振条件下，光的相位变化满足：
$$\phi =\frac{2\pi d}{\lambda }=m\pi$$
其中，$d$是反射镜之间的距离，$\lambda$是光的波长，$m$是整数

振幅透射率和强度透射率

振幅透射率（Amplitude Transmittance）描述光波通过Fabry-Perot腔的振幅变化。其公式为：
$$t=\frac{t_1{t}_2\exp (-j\phi )}{1-r_1{r}_2\exp (-j2\phi )}$$

假设入射光振幅为$E_0$，通过腔后的透射光振幅为$E_t$，则：
$$E_t=t{E}_0=\frac{t_1{t}_2\exp (-j\phi )}{1-r_1{r}_2\exp (-j2\phi )}{E}_0$$

强度透射率（Intensity Transmittance）则描述光波通过腔后的强度变化。其公式为：
$$\mathcal{T}=|t{|}^2=\frac{|t_1{t}_2{|}^2}{|1-r_1{r}_2\exp (-j2\phi ){|}^2}$$

最大强度透射率${\mathcal{T}}_{\text{max}}$的公式如下：
$${\mathcal{T}}_{\text{max}}=\frac{|t_1{t}_2{|}^2}{(1-|r_1{r}_2|{)}^2}=\frac{(1-|r_1{|}^2)(1-|r_2{|}^2)}{(1-|r_1{r}_2|{)}^2}$$

该公式表示当光的相位条件完全共振时，腔的最大透射率。

腔的品质因数（Finesse）

品质因数$\mathcal{F}$是衡量Fabry-Perot腔质量的一个重要参数。它表示腔的共振峰的锐利程度。品质因数的公式为：
$$\mathcal{F}=\frac{\pi \sqrt{|r_1{r}_2|}}{1-|r_1{r}_2|}$$

这个公式表明品质因数与两个反射镜的反射系数有关。当反射系数越高（即反射镜越好），品质因数越大，表明腔的共振峰越尖锐。

假设反射系数的乘积的相位为零，即：
$$\text{arg}(r_1{r}_2)=0$$

在这种情况下，可以简化强度透射率的表达式。假设满足这一条件后，强度透射率$\mathcal{T}$可以进一步简化为：
$$\mathcal{T}=\frac{{\mathcal{T}}_{\text{max}}}{1+{\left(\frac{2\mathcal{F}}{\pi }\right)}^2{\sin }^2\phi }$$

自由光谱范围（Free Spectral Range, FSR）

Fabry-Perot腔的自由光谱范围（Free Spectral Range, FSR）以及其与腔的相位条件和品质因数（Finesse）之间的关系。

相位条件
相位$\phi$由以下公式表示：
$$\phi =n{k}_{0}d=\left(\frac{\omega }{c}\right)d$$

当相位条件$\phi =\pi$时，对应的角频率$\omega ={\omega }_F$或频率$\nu ={\nu }_F$：

$${\nu }_F=\frac{c}{2d},{\omega }_F=\frac{\pi c}{d}$$

这里，${\nu }_F$是自由光谱范围的频率，$c$是光速，$d$是两个反射镜之间的距离。

强度透射率的频率依赖性
在这一条件下，强度透射率的频率依赖公式为：

$$\mathcal{T}=\frac{{\mathcal{T}}_{\text{max}}}{1+{\left(\frac{2\mathcal{F}}{\pi }\right)}^2{\sin }^2\phi }$$

进一步表达为频率$\nu$的函数：

$$\mathcal{T}(\nu )=\frac{{\mathcal{T}}_{\text{max}}}{1+{\left(\frac{2\mathcal{F}}{\pi }\right)}^2{\sin }^2\left(\frac{\pi \nu }{{\nu }_F}\right)}$$

最大强度透射率${\mathcal{T}}_{\text{max}}$的公式为：

$${\mathcal{T}}_{\text{max}}=\frac{|t_1{t}_2{|}^2}{(1-|r_1{r}_2|{)}^2}$$

自由光谱范围（FSR）

自由光谱范围${\nu }_F$定义为：

$${\nu }_F=\frac{c}{2d}$$

它表示在两个相邻共振峰之间的频率间隔。在图中，${\nu }_F$显示为两个透射峰之间的间隔。

与品质因数（Finesse）的关系

品质因数$\mathcal{F}$与自由光谱范围之间的关系为：

$$\delta \nu =\frac{{\nu }_F}{\mathcal{F}}$$

图示中显示了透射率$\mathcal{T}$随频率$\nu$的
变化。可以看到，在共振频率处，透射率达到最大值${\mathcal{T}}_{\text{max}}$，而在共振频率之间，透射率显著降低。品质因数$\mathcal{F}$越大，透射峰越窄，意味着腔的选择性越高。

调节两个镜子之间距离d的影响

谐振频率的变化

谐振频率的公式为：

$${\nu }_q=\frac{qc}{2d}$$

这里：

• ${\nu }_q$ 是谐振频率
• $q$ 是谐振模数
• $c$ 是光速
• $d$ 是两个镜子之间的距离

当镜子间距离发生微小变化时，谐振频率会发生变化。频率的变化量可以通过以下公式计算：

$$\Delta {\nu }_q=-\left(\frac{qc}{2d^2}\right)\Delta d=-{\nu }_q\frac{\Delta d}{d}$$

这个公式显示了谐振频率变化与距离变化成反比关系。也就是说，距离的微小变化会导致频率的微小变化。

自由光谱范围变化

自由光谱范围（Free Spectral Range, FSR）是指相邻谐振模之间的频率间隔。其计算公式为：

$${\nu }_F=\frac{c}{2d}$$

当镜子间距离变化时，自由光谱范围也会变化，其变化量为：

$$\Delta {\nu }_F=-{\nu }_F\frac{\Delta d}{d}$$

例题

在本页的例子中，假设镜子间的距离为 $d=1.5$ cm，这对应的自由光谱范围 ${\nu }_F$ 为 10 GHz。当镜子间的距离发生微小变化时，如变化 $10^{-4}$ 倍（即 $\Delta d=1.5\mu m$），我们可以计算谐振频率和自由光谱范围的变化：

1. 谐振频率的变化：

   对于典型的光学频率 $\nu =10^{14}$ Hz，对应的谐振模数 $q=10^4$，距离变化 $\Delta d=1.5\mu m$ 导致谐振频率的变化量：

   $$\Delta {\nu }_q=-{\nu }_q\frac{\Delta d}{d}=-10^{14}\frac{1.5\times 10^{-6}}{1.5\times 10^{-2}}=-10^{10}\text{ Hz}=-10\text{ GHz}$$

2. 自由光谱范围的变化：

   自由光谱范围从 10 GHz 变为 9.999 GHz：

   $$\Delta {\nu }_F=-{\nu }_F\frac{\Delta d}{d}=-10\times 10^9\frac{1.5\times 10^{-6}}{1.5\times 10^{-2}}=-1\text{ MHz}$$

Fabry-Perot干涉仪的离轴透射率（Off-Axis Transmittance of the Fabry-Perot Etalon）

在离轴情况下，Fabry-Perot干涉仪的透射率不仅取决于入射光的频率，还受到入射角度的显著影响。通过调整入射角度，可以选择性地改变干涉条件，从而控制透射率的峰值位置和强度。

已知强度透射率的频率依赖公式为：

$$\mathcal{T}=\frac{{\mathcal{T}}_{\text{max}}}{1+{\left(\frac{2\mathcal{F}}{\pi }\right)}^2{\sin }^2\phi }$$

离轴时，相位 $\phi$ 被替换为：

$$\tilde{\phi }=n{k}_{0}d\cos \theta$$
这个替换表明入射角度会影响光在干涉仪中的相位变化，从而影响干涉条件和透射率。

最大透射率出现在：

$$\nu =q{\nu }_F\sec \theta$$

其中 $q=1,2,\dots$ 是谐振模数。这意味着在特定的角度 $\theta$ 下，频率 $\nu$ 满足上述条件时，透射率达到最大值。

• 图(a)展示了光在两个部分反射镜之间的多次反射路径，入射角为 $\theta$。这些反射光线在干涉后会影响透射率。
• 图(b)展示了干涉仪的横截面图，表示光在透射后形成的干涉环。这些环的颜色表示不同的透射率。
• 图©展示了透射率随频率和角度变化的等值线图。横轴是频率与自由光谱范围的比值（$\nu /{\nu }_F$），纵轴是入射角度 $\theta$。图中曲线表示在不同入射角度下，透射率达到最大值的频率。

广义Bragg光栅（Generalized Bragg Grating）

广义Bragg光栅包括一组均匀间隔的相同多层段。这种结构可以在光纤通信和光学滤波器等应用中实现高效的光反射和选择性滤波。当满足Bragg条件时，光在特定角度和波长下会产生强反射。

两个假设

对于这些设备，有两个关键假设：

1. 镜子是弱反射的：即每个反射镜的反射率较低。
2. 次级反射可以忽略：次级反射不显著影响总反射。

反射强度公式

反射强度的计算公式为：

$$R_N=\frac{{\sin }^2(N\phi )}{{\sin }^2(\phi )}R$$

这里：

• $R_N$ 是总反射强度。
• $N$ 是反射镜的数量。
• $\phi$ 是相位变化。
• $R$ 是单个反射镜的反射强度。

这个公式表明，总反射强度最多是单个段反射强度的 $N^2$ 倍。这意味着，随着反射镜数量 $N$ 的增加，总反射强度显著增加。

Bragg条件（什么时候得到最大反射强度）

Bragg条件是指特定入射角度和波长下的反射现象，满足以下关系：

$$\cos \theta =q\frac{\lambda }{2\Lambda }=q\frac{{\omega }_B}{\omega }=q\frac{{\nu }_B}{\nu }$$

其中：

• $\theta$：入射角度。
• $q$：谐振模数。
• $\lambda$：波长。
• $\Lambda$：光栅周期。
• $\omega$：角频率。
• ${\omega }_B=\frac{\pi c}{\Lambda }$：Bragg角频率。
• $\nu$：频率。
• ${\nu }_B=\frac{c}{2\Lambda }$：Bragg频率。

该公式表明，入射角度 $\theta$、波长 $\lambda$ 和光栅周期 $\Lambda$ 的特定组合会满足Bragg条件，从而导致强反射。

也可以用Bragg角形式代替bragg频率形式表现：
$${\theta }_B={\sin }^{-1}(\lambda /2\Lambda )$$

当入射光满足Bragg条件时，会在此角度下发生强反射。

分段分析

• 当 $\theta =0^{\circ }$ 时：在Bragg频率的整数倍处，反射率达到峰值。这种情况下，入射光垂直于光栅表面。
• 当 $\nu <{\nu }_B$ 时：没有Bragg反射条件，即此时不会发生强反射。
• 当 ${\nu }_B<\nu <2{\nu }_B$ 时：在特定角度 $\theta ={\cos }^{-1}(\lambda /2\Lambda )={\cos }^{-1}({\nu }_B/\nu )$ 处满足Bragg条件。此时的Bragg角为 ${\theta }_B=\pi /2-\theta$。
• 当 $\nu \ge 2{\nu }_B$ 时：在多个角度下满足Bragg条件，这意味着可以在不同角度实现强反射。

数据图说明

• 左侧图：展示了不同频率（$\nu /{\nu }_B$）下反射强度随入射角度（$\theta$）的变化情况。等值线表示在不同角度和频率下的反射强度分布。

级联Bragg光栅矩阵理论分析

反射率

对于每一层的传输矩阵 $M_0$，其形式为：

$$M_0=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{t^{\ast }}& \frac{r}{t}\\ \frac{r^{\ast }}{t^{\ast }}& \frac{1}{t}\end{array}\right]$$

对于包含 $N$ 层的结构，总传输矩阵 $M$ 可以通过每层的传输矩阵 $M_0$ 的乘积表示：

$$M=M_0^N$$

在多层系统中，传输矩阵的计算可以进一步简化。假设每一层的传输矩阵是相同的，可以使用以下公式：

$$M_0^N={\Psi }_N{M}_0-{\Psi }_{N-1}I$$

其中：

• ${\Psi }_N=\frac{\sin N\Phi }{\sin \Phi }$
• $\Phi$ 是相位变化，满足 $\cos \Phi =\text{Re}\left\{\frac{1}{t}\right\}$
• $I$ 是单位矩阵。

这个公式表示，通过相位变化和单层传输矩阵 $M_0$ 的组合，可以计算出多层结构的传输矩阵。

对于多层结构，总反射率 $R_N$ 的计算公式为：

$$R_N=\frac{{\Psi }_N^{2}R}{1-R+{\Psi }_N^{2}R}$$

这里：

• $R$ 是单层的反射率。
• ${\Psi }_N=\frac{\sin N\Phi }{\sin \Phi }$。

这个公式表明，总反射率与单层反射率和相位变化有关，并且随着层数 $N$ 的增加，总反射率也会增加。

在不同的近似条件下，反射率 $R_N$ 可以简化为不同的形式：

1. 当 $R\ll 1$ 且 ${\Psi }_N^{2}R\ll 1$ 时：

   在这种情况下，单层反射率 $R$ 和干涉因子 ${\Psi }_N$ 的贡献都很小。公式可以简化为：

   $$R_N\approx {\Psi }_N^{2}R=\frac{{\sin }^{2}N\Phi }{{\sin }^2\Phi }R$$

   这意味着总反射率主要由干涉因子和单层反射率的乘积决定。

2. 当 ${\Psi }_N^{2}R\gg 1$ 时：

   在这种情况下，干涉因子 ${\Psi }_N$ 的贡献很大。公式可以简化为：

   $$R_N\approx \frac{{\Psi }_N^{2}R}{1+{\Psi }_N^{2}R}$$

   这表明总反射率趋近于 1，这是因为干涉因子显著增加了反射。

3. 当 ${\Psi }_N^{2}R\gg 1$ 且 $R\ll 1$ 时：

   在这种极端情况下，总反射率 $R_N$ 将接近于 1，表示多层结构表现出接近于完美反射镜的行为。

干涉因子${\Psi }_N$的定义及其作用

干涉因子${\Psi }_N$定义为：

$${\Psi }_N=\frac{\sin N\Phi }{\sin \Phi }$$

干涉因子${\Psi }_N$取决于$\Phi$，其中 Φ = cos ⁡ − 1 ( Re { 1 / t } ) \Phi = \cos^{-1}(\text{Re}\{1/t\}) Φ=cos−1(Re{1/t})。这里$\Phi$可以是实数也可以是复数，这使得系统具有两种不同的行为模式：

1. 常规模式：$\Phi$为实数，此时光栅表现出部分反射和透射。
2. 异常模式：$\Phi$为复数，${\Psi }_N$可能非常大，对应于全反射情况。

这里为了便于理解，在数学形式上解释一下：

1. 实数$\Phi$的情况：

   • 如果$\Phi$为实数，$\sin \Phi$也是实数。此时，${\Psi }_N$是$\sin N\Phi$与$\sin \Phi$的比值，通常情况下，这个比值不会非常大，意味着多层结构中的干涉效应是有限的，反射和透射相对平衡。

2. 复数$\Phi$的情况：
   如果$\Phi =\alpha +j\beta$（其中$\alpha$和$\beta$为实数，且$\beta \ne 0$），则：
   $$\sin \Phi =\sin (\alpha +j\beta )=\sin \alpha \cosh \beta +j\cos \alpha \sinh \beta$$ $$\sin N\Phi =\sin (N\alpha +jN\beta )=\sin (N\alpha )\cosh (N\beta )+j\cos (N\alpha )\sinh (N\beta )$$

   由于$\cosh$和$\sinh$函数的指数增长性质，当$\beta$（即虚部）较大时，$\sin N\Phi$的值会迅速增加，导致${\Psi }_N$的值变得非常大。这种情况下，多层结构中的干涉效应被显著放大，总的反射率${\mathcal{R}}_N$趋近于1，即全反射。

部分和零反射条件

在部分和零反射条件下，满足 ∣ Re { 1 / t } ∣ ≤ 1 |\text{Re}\{1/t\}| \leq 1 ∣Re{1/t}∣≤1，干涉因子是实数。此时反射率${\mathcal{R}}_N$和透射率${\mathcal{T}}_N$的计算如下：

• 反射率${\mathcal{R}}_N$:
  $${\mathcal{R}}_N=\frac{{\Psi }_N^2\mathcal{R}}{1-\mathcal{R}+{\Psi }_N^2\mathcal{R}}$$
  其中，当干涉因子${\Psi }_N$取最大值 $N$时，最大反射率 ${\mathcal{R}}_N$ 为：
  $${\mathcal{R}}_N=\frac{N^2\mathcal{R}}{1-\mathcal{R}+N^2\mathcal{R}}$$
  但 ${\mathcal{R}}_N$ 不能完全等于 1，除非 $\mathcal{R}=1$。

• 干涉因子${\Psi }_N$:
  $${\Psi }_N=\frac{\sin N\Phi }{\sin \Phi }$$

• 全透射:
  当${\Psi }_N=0$时，即 $\sin N\Phi =0$，此时$\Phi =q\pi /N$ 其中 $q=0,1,\dots ,N-1$。

全反射条件

在全反射条件下，满足 ∣ Re { 1 / t } ∣ = ∣ cos ⁡ Φ ∣ > 1 |\text{Re}\{1/t\}| = |\cos \Phi| > 1 ∣Re{1/t}∣=∣cosΦ∣>1，即进入了不同的模式：

• 反射率${\mathcal{R}}_N$:
  $${\mathcal{R}}_N=\frac{{\Psi }_N^2\mathcal{R}}{1-\mathcal{R}+{\Psi }_N^2\mathcal{R}}$$

• $\cosh {\Phi }_I$ 的定义:
  cosh ⁡ Φ I = ∣ Re { 1 / t } ∣ \cosh \Phi_I = |\text{Re}\{1/t\}| coshΦI​=∣Re{1/t}∣

• 干涉因子${\Psi }_N$:
  $${\Psi }_N=\pm \frac{\sinh N{\Phi }_I}{\sinh {\Phi }_I}$$

止带（Stop bands）：对应全反射条件，所有入射光被反射。
通带（Passbands）：对应部分反射和零反射条件，在特定谐振频率下实现完全透射（零反射）。

例子 7.1-7：一维光子晶体中布拉格光栅的传输矩阵

我们考虑一个由$N$个相同的部分反射镜（光束分离器）组成的光栅。这些反射镜相互之间隔着距离$\Lambda$，并嵌入在一个折射率为$n$的均匀介质中。每个单段包括在均匀介质中传播一段距离$\Lambda$，然后遇到一个具有振幅透射率$t$和振幅反射率$r$的部分反射镜。

传输矩阵 $M_0$

传输矩阵 $M_0$ 描述了光在布拉格光栅中的传播特性：

$$M_0=\frac{1}{|t|}\left(\begin{array}{cc}{e}^{-j\phi }& j|r|e^{j\phi }\\ -j|r|e^{-j\phi }& e^{j\phi }\end{array}\right)$$

其中，传输系数 $t=|t|e^{j\phi }$，相位 $\phi$ 定义为：

$$\phi =n{k}_o\Lambda =\pi \nu /{\nu }_B$$

这里，${\nu }_B=c/2\Lambda$ 是布拉格频率。

1. 部分反射和透射状态：

$$\cos \Phi =\frac{1}{|t|}\cos \phi \text{for}|\cos \phi |\le |t|$$

2. 全反射状态：

$$\cosh {\Phi }_I=\frac{1}{|t|}|\cos \phi |\text{for}|\cos \phi |>|t|$$

图(b): 相位$\Phi$与相位延迟$\phi$的关系

图(b)展示了相位$\Phi$随反射镜间相位延迟$\phi =n{k}_o\Lambda$的变化关系。虚线表示$\Phi$的虚部${\Phi }_I$，阴影区域表示$\Phi$为复数的区域。

• 实部$\Phi$：实线表示相位的实部，当$|\cos \phi |\le |t|$时，$\Phi$是实数。
• 虚部${\Phi }_I$：虚线表示相位的虚部，当$|\cos \phi |>|t|$时，$\Phi$是复数。
• 阴影区域：这些区域表示$\Phi$为复数，对应于强烈反射带隙。

具体关系为：
$$\cos \Phi =\frac{1}{|t|}\cos \phi \text{for}|\cos \phi |\le |t|$$
$$\cosh {\Phi }_I=\frac{1}{|t|}|\cos \phi |\text{for}|\cos \phi |>|t|$$

图©: 反射率$\mathcal{R}$随频率$\nu$的变化

图©展示了反射率$\mathcal{R}$随频率（以布拉格频率${\nu }_B$为单位）的变化。阴影区域对应于反射带隙，表示在这些频率范围内反射率接近1。

• 反射带隙：这些带隙表示频率范围内光的强烈反射，光不能通过光栅，被完全反射回来。
• 反射率峰值：在每个带隙中心，反射率达到最大值，接近1。
• 频率轴：频率以布拉格频率${\nu }_B$为单位，展示了在${\nu }_B$、2${\nu }_B$和3${\nu }_B$处的带隙位置。

例子 7.1-8：双层布拉格光栅

介电布拉格光栅（Dielectric Bragg Grating）是一种由 $N$ 层具有不同折射率的介电材料构成的光栅结构。每一层的折射率为 $n_2$，宽度为 $d_2$，嵌入在折射率为 $n_1$ 的介质中，层与层之间的距离为 $d_1$。如图 7.1-11 所示，这种多层系统是由 $N$ 个相同的双层叠加而成，每个双层如示例 7.1-3 所描述。

波传递矩阵 ${\mathbf{M}}_0$ 的元素 $A=1/t^{\ast }$ 的实部由下式给出：
$$\text{Re}\left\{\frac{1}{t}\right\}=\frac{(n_1+n_2{)}^2}{4n_1{n}_2}\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)-\frac{(n_2-n_1{)}^2}{4n_1{n}_2}\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)$$
其中，${\phi }_1=n_1{k}_0{d}_1$ 和 ${\phi }_2=n_2{k}_0{d}_2$ 分别是由两个层引入的相位。

反射率的谱依赖性可以通过以下公式计算：
$${\phi }_1+{\phi }_2=k_0(n_1{d}_1+n_2{d}_2)=\pi \nu /{\nu }_B$$
其中，布拉格频率 ${\nu }_B$ 为：
$${\nu }_B=\left(\frac{c_0}{\bar{n}}\right)/2\Lambda$$
而平均折射率 $\bar{n}$ 为：
$$\bar{n}=\frac{n_1{d}_1+n_2{d}_2}{\Lambda }$$
布拉格频率 ${\nu }_B$ 是单段双层系统的回程相位 $2k_0(n_1{d}_1+n_2{d}_2)=2\pi$ 的频率。

相位差 ${\phi }_1-{\phi }_2=\zeta \pi \nu /{\nu }_B$，其中 $\zeta =(n_1{d}_1-n_2{d}_2)/(n_1{d}_1+n_2{d}_2)$，也与频率成正比。

图 7.1-11 提供了反射率作为频率的函数的例子。这个图示了由 $N=10$ 段组成的介电布拉格光栅的功率反射率， 每段有两层，厚度分别为 $d_1$ 和 $d_2$，折射率分别为 $n_1=1.5$ 和 $n_2=3.5$。光栅被置于折射率为 $n_1$ 的匹配介质中。反射率大约在布拉格频率的整数倍 ${\nu }_B=c/2\Lambda$ 处达到最大值。

对于由 $N$ 个相同介质层组成的布拉格光栅，当入射光的频率为 ${\nu }_B$ 的整数倍时，反射率接近 1。在这些频率下，布拉格光栅会完全反射入射光。这些频率称为布拉格频率。当频率不在这些整数倍时，反射率会降低，这就形成了光栅的反射带和停止带。

图 7.1-11 的反射率图显示了在不同频率下光栅的反射特性。在布拉格频率 ${\nu }_B$ 及其整数倍 2${\nu }_B$，3${\nu }_B$ 等位置，反射率达到最大，这些区域称为停止带（Stop band），而在这些频率之间的区域反射率较低，称为通过带（Pass band）

一维光子晶体（One-dimensional photonic crystals, 1D PhCs）

一维光子晶体（One-dimensional photonic crystals, 1D PhCs）是一种在一个方向上折射率周期性变化的介电结构，这个方向被称为周期轴，而在正交方向上折射率是恒定的。

亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）

对于沿 $z$ 轴传播并在 $x$ 方向极化的波，亥姆霍兹方程的形式如下所示。这个方程用于描述在周期性介质中波的行为，其形式类似于经典力学中的波动方程，但包含了介质折射率的周期性变化。
$$-\frac{d}{dz}\left[\eta (z)\frac{d}{dz}{H}_y\right]=\frac{{\omega }^2}{c_0^2}{H}_y$$

其中：

• $\eta (z)$ 是折射率的周期性函数。
• $H_y$ 是沿 $y$ 方向的磁场分量。
• $\omega$ 是角频率。
• $c_0$ 是光在真空中的传播速度。

对于在 $x-z$ 平面内传播的离轴波，亥姆霍兹方程变得更加复杂，其形式如下：
$$\left\{-\frac{\partial }{\partial z}\left[\eta (z)\frac{\partial }{\partial z}\right]+\eta (z)\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\right\}{H}_y=\frac{{\omega }^2}{c_0^2}{H}_y$$

这个方程说明了离轴波在周期性介质中的传播特性，考虑了沿 $x$ 和 $z$ 方向的变化。与轴上波相比，离轴波的传播还涉及到 $x$ 方向的空间导数项。

Bloch 模式

Bloch 模式描述了在周期性结构（如光子晶体）中波的传播特性。它建立在 Bloch 定理基础上，指出在周期性介质中，波函数可以表示为一个平面波和一个周期函数的乘积。

关于平移操作本征值的说明

考虑一个沿 ( z ) 轴传播的平面波 ( \exp(-jkz) )，当这个波经过一个周期 ( d ) 的平移后，其表达式变为：
[ \exp[-jk(z + d)] = \exp(-jkd) \exp(-jkz) ]

这个表达式表明，平面波在经过一个周期的平移后，只是多了一个相位因子 ( \exp(-jkd) )。这个相位因子 ( \exp(-jkd) ) 就是平移操作的本征值。

在数学和物理学中，本征值（Eigenvalue）是一个线性变换作用于一个向量时，使得向量仅在尺度上发生变化而不改变方向的标量。对应的向量称为本征向量（Eigenvector）。

Bloch 模式的数学表示

根据 Bloch 定理，在周期性结构中，波函数 ( U(z) ) 可以表示为一个平面波和一个周期函数的乘积：
[ U(z) = p_K(z) \exp(-jKz) ]

其中：

• ( p_K(z) ) 是周期函数，其周期与介质的周期相同。
• ( \exp(-jKz) ) 是平面波成分。
• ( K ) 是 Bloch 波数，描述了波在周期性介质中的传播特性。

布里渊区 (Brillouin zone)

周期为 $\Lambda$ 的周期函数可以展开为傅里叶级数，即一组谐波函数的叠加形式：
$$\exp (-jmgz),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

这里的 $g$ 定义为：
$$g=\frac{2\pi }{\Lambda }$$

Bloch 波可以看作是多个空间频率的平面波的叠加。这些空间频率由 $K$ 和 $mg$ 组成，其中 $K$ 是 Bloch 波数，$m$ 是整数：
$$\text{Bloch 波}=\sum _m{A}_m\exp [j(K+mg)z]$$

图 (b) 中展示了 Bloch 波的空间频率分布，显示了空间频率为 $K-g$、$K$ 和 $K+g$ 等等。这说明了 Bloch 波由不同谐波成分组成，每个成分的空间频率为 $K+mg$。

为了完整地描述所有模式，只需要考虑 Bloch 波数 $K$ 在宽度为 $g=2\pi /\Lambda$ 的空间频率区间内的取值。这个区间通常称为第一布里渊区：
$$\left[-\frac{g}{2},\frac{g}{2}\right]=\left[-\frac{\pi }{\Lambda },\frac{\pi }{\Lambda }\right]$$

布里渊区是波矢空间的一个基本区域，它反映了周期性结构中的对称性和周期性特性。对于一维晶格，布里渊区的边界条件确保了在这个区间内波矢的所有独立取值都被包含在内，不重复地描述了系统的所有物理模式。 通过限制波矢 $K$ 在布里渊区内，我们能够简化对周期性介质中波动行为的分析。这种简化利用了周期性和对称性，避免了冗余的计算。

分析方法总览和比较

色散是指光波或电磁波在介质中传播时，不同频率的波以不同的速度传播，导致波的各个频率分量发生分离的现象。分
色散关系 $\omega -K$ 图描述了波矢 $K$ 与频率 $\omega$ 之间的依赖关系。以下是色散关系的一些重要特性：

1. 多值性：

   • 在周期性介质中，对于每一个波矢 $K$，可能存在多个对应的频率 $\omega$。这些频率形成不同的“带”（bands），每个带对应一种波在介质中的传播模式。

2. 周期性：

   • 色散关系在布里渊区内是周期性的。布里渊区的边界通常定义为 $[-\pi /\Lambda ,\pi /\Lambda ]$，其中 $\Lambda$ 是介质的周期。色散关系在布里渊区外的部分可以通过平移回到布里渊区内进行描述。

3. 光子带隙：

   • 色散关系图中的带隙（band gaps）是频率范围内没有传播模式存在的区域。带隙的出现意味着在这些频率范围内，波无法在介质中传播。

关键概念解析

特征值问题（Eigenvalue Problem）

特征值问题涉及寻找特定波矢量 $K$ 下的一组离散频率 $\omega$。对于每个特定的波矢 $K$，可以找到一组离散的频率 $\omega$，这些频率对应于介质中的正常模式。

特征函数（Eigenfunctions）

特征函数 $p_K(z)$ 是每个特定 $\omega$ 和 $K$ 下的空间分布函数。这些特征函数描述了波在介质中的空间分布模式。

色散关系（Dispersion Relation）

色散关系 $\omega -K$ 图是一个周期性多值函数，描述了波矢 $K$ 与频率 $\omega$ 之间的关系。在布里渊区内，这种关系是周期性的，可以表示为 $g$ 周期的函数。图示展示了这种色散关系在布里渊区内的多值性。

光子带隙（Photonic Bandgaps）

光子带隙是频率 $\omega$ 在特定波矢 $K=n\cdot g/2$ 处的离散跳跃，这些跳跃形成了频率带隙，在这些频率范围内没有传播模式存在，波不能在介质中传播。

能量最小化（Minimization of Energy）

在周期性介质中，波动能量趋于在折射率较高的位置集中。这意味着高位移场 $D(r)$ 倾向于分布在折射率较高的位置，从而使系统能量最小化。

分析方法对比

在周期性介质（如光子晶体）中，求解特征值问题是理解波在这些介质中传播特性的关键步骤。这一页讨论了两种主要的方法：傅里叶光学方法和矩阵光学方法。

傅里叶光学方法（Fourier Optics Approach）

傅里叶光学方法利用傅里叶级数展开来解决特征值问题。具体步骤如下：

1. 傅里叶级数展开：

   • 将介质的折射率分布 $\eta (z)$ 和 Bloch 模式的空间分布 $p_K(z)$ 展开为傅里叶级数。
   • 对于周期性函数 $\eta (z)$ 和 $p_K(z)$，它们可以表示为谐波函数的叠加：
     $$\eta (z)=\sum _m{\eta }_m\exp (jmgz)$$
     $$p_K(z)=\sum _n{p}_{Kn}\exp (jnz)$$
   • 其中 $m$ 和 $n$ 是整数，表示不同的谐波分量，$g$ 是基本空间频率。

2. 矩阵特征值问题：

   • 将上述傅里叶级数代入到波动方程中，得到一个矩阵特征值问题。
   • 这个矩阵特征值问题的形式为：
     $$\mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v}$$
     • 其中 $\mathbf{A}$ 是包含傅里叶系数的矩阵，$\mathbf{v}$ 是特征向量，$\lambda$ 是特征值，对应于频率 $\omega$。

通过求解这个矩阵特征值问题，可以得到介质中的特征频率和对应的空间模式。

矩阵光学方法（Matrix Optics Approach）

矩阵光学方法是一种更为简化和直接的方法，适用于一些特定的周期性介质结构。具体步骤如下：

1. 传递矩阵：

   • 定义介质层的传递矩阵 $\mathbf{M}$，它描述了波在一个周期内的传播特性。
   • 对于每一层，传递矩阵可以表示为一个 2 × 2 矩阵，其元素依赖于层的厚度、折射率和波长等参数。

2. 整体传递矩阵：

   • 对于整个周期性结构，通过逐层传递矩阵的乘积，可以得到整体的传递矩阵：
     $${\mathbf{M}}_{\text{total}}={\mathbf{M}}_1{\mathbf{M}}_2\cdots {\mathbf{M}}_N$$
   • 其中 ${\mathbf{M}}_i$ 是第 $i$ 层的传递矩阵。

3. 特征值问题：

   • 整体传递矩阵的特征值和特征向量反映了波在整个结构中的传播特性。
   • 特征值对应于波的传播常数，特征向量对应于波的空间模式。

通过求解 2 × 2 矩阵的特征值问题，可以得到波在整个周期性结构中的频率和传播模式。

方法比较

• 傅里叶光学方法：

  • 优点：适用于任意复杂的周期性结构，能够精确描述各种不同的空间频率分量。
  • 缺点：计算复杂度较高，特别是对于高阶傅里叶分量较多的情况。

• 矩阵光学方法：

  • 优点：计算简单，特别适用于层状周期性介质，计算效率高。
  • 缺点：适用范围较窄，主要适用于结构规则的层状介质，对于复杂的周期性结构可能不够精确。

矩阵光学方法（Matrix Optics Approach）

特征值与特征向量

对于周期性介质中的波传播，波的正向和反向振幅可以通过传递矩阵来描述。对于第 $m$ 个单元格，我们有：
$$\left[\begin{array}{c}{U}_{m+1}^{(+)}\\ U_{m+1}^{(-)}\end{array}\right]={\mathbf{M}}_0\left[\begin{array}{c}{U}_m^{(+)}\\ U_m^{(-)}\end{array}\right]$$

其中：

• $U_m^{(+)}$ 和 $U_m^{(-)}$ 分别是第 $m$ 个单元格中正向和反向传播波的振幅。
• ${\mathbf{M}}_0$ 是单元格的传递矩阵。

周期性介质中的模式是自再生波，这意味着这些波在经过一个单元格后，其振幅的变化仅仅是一个相位因子：
$$\left[\begin{array}{c}{U}_{m+1}^{(+)}\\ U_{m+1}^{(-)}\end{array}\right]=e^{-j\Phi }\left[\begin{array}{c}{U}_m^{(+)}\\ U_m^{(-)}\end{array}\right],m=1,2,\dots$$

• $e^{-j\Phi }$ 是特征值。
• $\left[\begin{array}{c}{U}_0^{(+)}\\ U_0^{(-)}\end{array}\right]$ 是特征向量，对应于波在初始单元格中的振幅。

要确定特征值 $e^{-j\Phi }$，我们需要求解以下特征值方程：
$${\mathbf{M}}_0-e^{-j\Phi }\mathbf{I}=0$$
其中 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵。为方便计算，假设 $|t{|}^2+|r{|}^2=1$，即介质是无损耗的。

通过矩阵运算，我们可以求得特征值 $e^{-j\Phi }$ 的表达式：
$$e^{-j\Phi }=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{t^{\ast }}\right)\pm j{\left\{1-{\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{t^{\ast }}\right)\right]}^2\right\}}^{1/2}$$

这一表达式展示了特征值 $e^{-j\Phi }$ 是复数，其实部和虚部分别由 $t$ 和 $t^{\ast }$ 决定。

特征值 $e^{-j\Phi }$ 满足以下关系：
$$\cos \Phi =\text{Re}\left\{\frac{1}{t}\right\}$$

这意味着特征值的实部决定了 Bloch 模式的相位变化。

由于 ${\mathbf{M}}_0$ 是一个 $2\times 2$ 矩阵，它有两个特征值。这两个特征值在区间 $[-\pi ,\pi ]$ 内具有相同的模数但符号相反，表示波在前向和后向传播方向上的相位变化。

特征向量描述了波在介质中的空间分布模式。对于传递矩阵 ${\mathbf{M}}_0$，特征向量可以写成以下形式：
$$\left[\begin{array}{c}{U}_0^{(+)}\\ U_0^{(-)}\end{array}\right]\propto \left[\begin{array}{c}\frac{r}{t}\\ e^{-j\Phi }-\frac{1}{t^{\ast }}\end{array}\right]$$

求解 $p_K(z)$

Bloch 模式 $p_K(z)$ 可以通过传播波的振幅来确定。假设初始单元格中的第一层是一个均匀介质，其折射率为 $n_1$，宽度为 $d_1$，则在该层内距离 $z$ 处的波可以表示为：
$$p_K(z)e^{-jKz}=U_0^{(+)}{e}^{-j{n}_1{k}_{0}z}+U_0^{(-)}{e}^{j{n}_1{k}_{0}z},0<z<d_1$$

根据前述特征向量的表达式，初始振幅 $U_0^{(+)}$ 和 $U_0^{(-)}$ 可以表示为：
$$\left[\begin{array}{c}{U}_0^{(+)}\\ U_0^{(-)}\end{array}\right]\propto \left[\begin{array}{c}\frac{r}{t}\\ e^{-j\Phi }-\frac{1}{t^{\ast }}\end{array}\right]$$

将初始振幅带入 Bloch 模式的表达式中，我们得到：
$$p_K(z)\propto \left[-r{e}^{-j{n}_1{k}_{0}z}+\left(e^{-jK\Lambda }-1\right)e^{j{n}_1{k}_{0}z}\right]e^{jKz},0<z<d_1$$

这一表达式描述了波在第一层介质中的空间分布。

对于单元格中的后续层，我们可以通过适当的传递矩阵 $\mathbf{M}$ 进一步传播波的振幅。每一层的传递矩阵描述了波在该层中的传播和相位变化。

色散关系与光子带结构 (Dispersion Relation and Photonic Band Structure)

色散关系两种状态

色散关系揭示了波在周期性介质中的传播特性，特别是频率 $\omega$ 和波矢 $K$ 之间的依赖关系。通过色散关系，我们可以确定光子带结构，即不同频率和波矢下波在介质中的传播和反射特性。

1. 光子带隙：

   • 在特定频率范围内，波不能在介质中传播，这些频率范围形成光子带隙。这种现象在色散关系中表现为没有实数解 $K$ 的区域。

2. 传播模式：

   • 对于能在介质中传播的频率，色散关系提供了 $\omega$ 和 $K$ 的具体值，描述了这些波的传播模式。

已知：

• Bloch 相位定义为 $\Phi =K\Lambda$，其中 $\Lambda$ 是介质的周期。
• 传递矩阵的特征值公式给出 $\cos \Phi$ 的表达式：
  $$\cos \Phi =\text{Re}\left\{\frac{1}{t}\right\}$$
• 基本空间频率定义为 $g=\frac{2\pi }{\Lambda }$，是周期性介质的基本频率。

色散关系可以重写为：
利用基本空间频率 $g$ 和 Bloch 相位的关系，可以将色散关系重写为：
$$\cos \left(\frac{2\pi K}{g}\right)=\text{Re}\left\{\frac{1}{t(\omega )}\right\}$$

色散关系图（如右侧图示）展示了波在周期性介质中的两种主要传播状态：

1. 传播状态（Propagation Regime）：

   • 当波矢 $K$ 是实数时，对应于传播模式。这时，波能够在介质中自由传播。
   • 这种状态的特征是：
     $$|\text{Re}\left\{\frac{1}{t(\omega )}\right\}|\le 1$$

2. 光子带隙状态（Photonic Bandgap Regime）：

   • 当波矢 $K$ 是复数时，对应于衰减波（evanescent wave）。这种波不能在介质中自由传播，而是呈现指数衰减。
   • 这种状态的特征是：
     $$|\text{Re}\left\{\frac{1}{t(\omega )}\right\}|>1$$

色散关系图详细分析

• 传播状态（Propagation Regime）：当 $|\text{Re}\left\{\frac{1}{t(\omega )}\right\}|\le 1$ 时，波矢 $K$ 是实数，波可以在介质中传播。这对应图中的绿色频带区域。
• 光子带隙状态（Photonic Bandgap Regime）：当 $|\text{Re}\left\{\frac{1}{t(\omega )}\right\}|>1$ 时，波矢 $K$ 是复数，波不能在介质中传播，而是呈现指数衰减。这对应图中的粉色带隙区域。

例 7.2.1 反射镜的周期堆栈

在该示例中，我们考虑一列沿z轴方向周期性排列的、具有相同反射率和透射率的部分反射无损镜。镜面之间的距离为Λ。光波在这种周期结构中的传播受到镜面反射和透射的共同作用，其色散关系可以用如下公式来描述：
$$\cos \left(2\pi \frac{K}{g}\right)=\frac{1}{|t|}\cos \left(\pi \frac{\omega }{{\omega }_B}\right)$$
其中，$K$ 是波矢量，$g=\frac{2\pi }{\Lambda }$ 是周期结构的空间频率，${\omega }_B=\frac{c\pi }{\Lambda }$ 是布拉格频率，$|t|$ 是透射系数的模。
描述了光波在周期性部分反射镜堆栈中的色散关系。这个关系式表明，对于特定的 $\omega$ 和 $K$ ，光波在该周期性结构中的传播受到周期性反射镜的强烈调制，形成带隙结构。

该示例中的图示提供了色散关系的可视化。右侧的色散图中，横轴为波矢量 $K$，纵轴为角频率 $\omega$。粉色区域表示光子带隙（Photonic Bandgap），其中光波无法传播。红色虚线表示传播在均匀介质中的情况，即 $\omega /K={\omega }_B(g/2)=c$。

例 7.2.2

Two- and three dimensional photonic crystals

2D 周期结构 (2D Periodic Structures)

基本定义与相关概念

基本定义

在二维光子晶体中，一组相同的平行杆、管或脉状结构被嵌入在均匀的主介质中。这些结构在横向方向（x和y方向）上是周期性的，在轴向方向（z方向）上是均匀的。数学上，这种周期性通过折射率的周期性变化来表示：

$$\eta (x,y)=\frac{{ϵ}_0}{ϵ(x,y)}$$

其中，${ϵ}_0$ 是主介质的介电常数，$ϵ(x,y)$ 是在横向方向（x和y方向）上周期性变化的介电常数。

对于二维周期性介质，有以下关系：

$$\eta (x+m_1{a}_1,y+m_2{a}_2)=\eta (x,y)$$

这意味着折射率函数 $\eta (x,y)$ 在每个周期 $a_1$ 和 $a_2$ 上重复。进一步，可以将 $\eta (x,y)$ 展开为傅里叶级数：

$$\eta (x,y)=\sum _{{\ell }_1=-\infty }^{\infty }\sum _{{\ell }_2=-\infty }^{\infty }{\eta }_{{\ell }_1,{\ell }_2}\exp (-j{\ell }_1{g}_{1}x)\exp (-j{\ell }_2{g}_{2}x)$$

其中，${\ell }_1$ 和 ${\ell }_2$ 是傅里叶系数的索引，$g_1=\frac{2\pi }{a_1}$ 和 $g_2=\frac{2\pi }{a_2}$ 是倒晶格矢量。

相关概念

• 倒晶格 (Reciprocal Lattice)
  倒晶格是实际晶格在傅里叶空间中的表示。在图 © 中，倒晶格的基本矢量 $g_1$ 和 $g_2$ 与实际晶格的基本矢量 $a_1$ 和 $a_2$ 正交。这意味着倒晶格中的点代表了实际晶格中周期性结构的频率分量。
• 光学模式 (Optical Modes)
  光学模式是电磁波在光子晶体中的传播形式。对于二维光子晶体，其模式是通过对一维情况的推广来定义的。一个典型的光学模式可以表示为：
  $$U(x,y)=p_{K_x,K_y}(x,y)\exp (-j{K}_{x}x)\exp (-j{K}_{y}y)$$
  其中，$p_{K_x,K_y}(x,y)$ 是一个周期函数，表示在 Bloch 波矢量 $K_x$ 和 $K_y$ 下的模式分布，而 $\exp (-j{K}_{x}x)\exp (-j{K}_{y}y)$ 是平面波的相位因子。
• 第一布里渊区 (First Brillouin Zone)
  第一布里渊区是倒晶格中的一个特殊区域，包含了所有唯一的 Bloch 波矢量。具体来说，第一布里渊区定义为：
  $$-\frac{g_1}{2}<K_x\le \frac{g_1}{2}\text{和}-\frac{g_2}{2}<K_y\le \frac{g_2}{2}$$
  这意味着布里渊区的范围在 $-\frac{g_1}{2}$ 到 $\frac{g_1}{2}$ 和 $-\frac{g_2}{2}$ 到 $\frac{g_2}{2}$ 之间。这个区域包含了所有 Bloch 波矢量的基本集合，其他的波矢量可以通过平移这个基本区域得到。
• 不可约布里渊区 (Irreducible Brillouin Zone)
  不可约布里渊区是通过利用所有对称性，将第一布里渊区中的独立 Bloch 波矢量减少到最小的区域。图 (d) 显示了不可约布里渊区，它通过利用晶格的对称性简化了计算，从而减少了需要考虑的 Bloch 波矢量的数量。

二维斜周期结构

这页主要介绍了二维斜周期结构（其特征是将一组平行的圆柱形孔放置在三角形晶格的各个点上。）的基本概念、其晶格和倒晶格的表示。

• 图 (a) 展示了二维周期结构的示意图，其中平行的圆柱形孔嵌入在一个均匀的基质中。x 和 y 方向上的周期性排列使得该结构在这两个方向上具有特定的周期性。

• 图 (b) 显示了这种结构的晶格，其中两个原矢量 $a_1$ 和 $a_2$ 形成了一个三角形晶格。原矢量 $a_1$ 和 $a_2$ 之间的夹角为 $\theta$。
  在这种三角形晶格中，晶格矢量 $\mathbf{R}$ 由两个基本矢量 $a_1$ 和 $a_2$ 的线性组合给出：
  $$\mathbf{R}=m_1{a}_1+m_2{a}_2$$
  其中 $m_1$ 和 $m_2$ 是整数。
  位置向量 ${\mathbf{r}}_{\mathbf{T}}=(x,y)$ 的介电常数满足：
  $$ϵ({\mathbf{r}}_{\mathbf{T}}+\mathbf{R})=ϵ({\mathbf{r}}_{\mathbf{T}})$$
  这表示介电常数在晶格周期 $\mathbf{R}$ 上是周期性的。

• 图 © 显示了倒晶格的示意图，其中 $g_1$ 和 $g_2$ 是与 $a_1$ 和 $a_2$ 正交的倒晶格矢量。倒晶格的大小由以下公式确定：
  $$g_1=\frac{2\pi }{a_1\sin \theta }$$
  $$g_2=\frac{2\pi }{a_2\sin \theta }$$
  倒晶格矢量 $g_1$ 和 $g_2$ 与原晶格矢量正交，其大小由上面的公式给出。倒晶格中的任意矢量 $\mathbf{G}$ 可以表示为：
  $$\mathbf{G}={\ell }_1{g}_1+{\ell }_2{g}_2$$
  其中 ${\ell }_1$ 和 ${\ell }_2$ 是整数。

• 图 (d) 显示了不可约布里渊区，通过对称性将独立的 Bloch 波矢量减少到最小的区域。在这种三角形晶格中，不可约布里渊区是一个六边形的区域，包含了所有独立的 Bloch 波矢量。

二维周期结构中的电磁波Bloch模式及其对应的光子带隙（Photonic Bandgaps）

Bloch模式

对于在x-y平面内传播的波，Bloch模式可以表示为：

$$U({\mathbf{r}}_{\mathbf{T}})=p_{{\mathbf{K}}_{\mathbf{T}}}({\mathbf{r}}_{\mathbf{T}})\exp (-j{\mathbf{K}}_{\mathbf{T}}\cdot {\mathbf{r}}_{\mathbf{T}})$$

其中，${\mathbf{K}}_{\mathbf{T}}=(K_x,K_y)$ 是Bloch波矢量，${\mathbf{r}}_{\mathbf{T}}=(x,y)$ 是位置矢量，$p_{{\mathbf{K}}_{\mathbf{T}}}({\mathbf{r}}_{\mathbf{T}})$ 是周期函数，描述了模式的空间分布。

对于相对于x-y平面传播的斜波，Bloch波可以表示为：

$$U({\mathbf{r}}_{\mathbf{T}})=p_{{\mathbf{K}}_{\mathbf{T}}}({\mathbf{r}}_{\mathbf{T}})\exp (-j{\mathbf{K}}_{\mathbf{T}}\cdot {\mathbf{r}}_{\mathbf{T}})\exp (-j{k}_{z}z)$$

这里，除了横向的Bloch波矢量 ${\mathbf{K}}_{\mathbf{T}}$ 之外，还引入了垂直方向的波矢量 $k_z$。

光子带隙（Photonic Bandgaps）

图中展示了TE（Transverse Electric）和TM（Transverse Magnetic）极化情况下的光子带隙图。这些图显示了频率（$\omega$）与波矢量（${\mathbf{K}}_{\mathbf{T}}$）之间的关系。

• 绿色区域表示允许带隙（allowed bands），即光子可以在这些频率范围内传播。
• 红色区域表示完全光子带隙（complete photonic bandgap），在这些频率范围内，光子无法传播。
• Bloch波矢量沿着$\Gamma$、$M$和$K$路径变化，展示了不同对称点之间的频率变化。

我们可以看到所有方向和所有极化状态下都存在一个频率范围，在这个频率范围内光不能传播。

频带结构 (Band Structure)

通过点缺陷（Point Defects）在光子晶体中实现光的局域化（Localization）

通过在光子晶体中引入扰动，可以在带隙中创建局域化模式。这种扰动通常通过以下方式实现：

• 移除一根柱子
• 替换为不同大小、形状或折射率的柱子

这种扰动会导致局部区域的电磁场分布发生变化，从而形成局域化的光模式。

局域模式 (Localized Modes)
通过在光子晶体中引入点缺陷，可以创建局域模式，这些模式在特定区域内局域化。常见的局域模式包括：

• Monopole Pattern: 通过减小折射率（Reducing Index）形成的单极模式，通常在中心点形成强烈的局域化电场。
• Quadrupole Pattern: 通过增加折射率（Increasing Index）形成的四极模式，在四个对称点形成电场分布。

图中的模式展示了不同折射率变化下的电场分布情况，表明了如何通过调整材料的物理特性来实现光的局域化。

左上角的频带结构图展示了TM模式（Transverse Magnetic Modes）下光子晶体的频率（$\omega a/2\pi c$）与波矢量（${\mathbf{K}}_{\mathbf{T}}$）之间的关系。这些曲线展示了不同对称点（$\Gamma$、X、M）之间的频率变化。

• TM模式（蓝色曲线）：这些曲线表示不同波矢量下的电场模式。黄色阴影区域表示光子带隙，在这些频率范围内，没有模式允许光子传播。

右上角的图展示了频率（$\omega a/2\pi c$）与折射率对比（Index Contrast, $\Delta n$）之间的关系。图中展示了以下几个关键区域：

• 光子带隙（Photonic Band Gap）：黄色区域表示光子带隙，没有模式允许光子传播。

• 缺陷模式（Defect Modes）：

  • 倍重简并缺陷模式（Doubly Degenerate Defect Mode）：在较小的折射率对比下形成。
  • 非简并缺陷模式（Non-Degenerate Defect Mode）：在较高的折射率对比下形成。

  曲线显示了在不同折射率对比下，这些缺陷模式的频率变化。

图中还定义了折射率对比：

$$\Delta n=n_{\text{dielec}}-n_{\text{defect}}$$

其中，$n_{\text{dielec}}$ 是介电柱的折射率，$n_{\text{defect}}$ 是缺陷区域的折射率。

频带结构图 (Band Structure Diagram)

左侧的频带结构图展示了不同缺陷柱半径（$r/a$）下的频率（$\omega a/2\pi c$）与缺陷柱半径之间的关系。横坐标是缺陷柱半径 $r/a$，纵坐标是归一化频率 $\omega a/2\pi c$。

• Vacancy（空位）：当缺陷柱的半径接近0时，表示柱子被完全移除，这种情况被称为“空位”。
• Perfect Crystal（完美晶体）：当缺陷柱的半径接近0.2时，表示光子晶体处于完美晶体状态，没有明显的缺陷。

局域模式 (Localized Modes)

不同的曲线表示不同的局域模式，这些模式在不同的半径值下出现。例如：

• Monopole（单极模式）：黑色曲线表示单极模式，当半径接近0.1时，单极模式的频率降低。
• Dipole（双极模式）：绿色曲线表示双极模式，在0.3到0.5之间有明显变化。
• Quadrupole-xy（四极模式-xy）：红色曲线表示四极模式-xy，在0.4到0.6之间的频率变化。
• Hexapole（六极模式）：蓝色曲线表示六极模式，在半径为0.6到0.7之间有显著的频率变化。

这些模式展示了如何通过调节缺陷柱的半径来实现对光子晶体中光学模式的精细控制。

模式的电场分布 (Electric Field Distributions of Modes)

右侧的图展示了不同半径值下的电场分布模式：

1. r = 0（Monopole）：当半径为0时，单极模式的电场分布集中在中心点。
2. r = 0.34a（Dipole）：当半径为0.34a时，双极模式的电场在中心点形成两个对称的区域。
3. r = 0.55a（Quadrupole-xy）：当半径为0.55a时，四极模式的电场在中心点形成四个对称的区域。
4. r = 0.55a（Monopole-2）：在同样的半径下，另一个单极模式的电场分布集中在中心点。
5. r = 0.55a（Quadrupole-diag）：四极模式的电场在对角线上形成四个对称的区域。
6. r = 0.7a（Hexapole）：当半径为0.7a时，六极模式的电场在中心点形成六个对称的区域。
7. r = 0.7a（Dipole-2）：同样的半径下，另一个双极模式的电场在中心点形成两个对称的区域。

1. Linear Defects and Waveguides:

   • 线性缺陷带：引入线性缺陷后，形成了导波模式，这些模式在缺陷带中传播。频带结构图显示了这些模式在不同波矢量下的频率分布。
   • 电场分布：展示了在缺陷带中的电场强度和分布，表明了光在缺陷中的传播特性。

2. Surface Waves:

   • 表面波模式：展示了在空气和光子晶体交界处的不同状态（ED、DE、EE）的分布，这些状态表示了不同极化和排除效应下的传播模式。
   • 频带结构：图中显示了表面波在不同波矢量下的频率变化，特别是表面模式在交界处的传播特性。
   • 电场分布：展示了表面波在交界处的电场分布，表明了光的局域化效应。

三维周期结构 (3D Periodic Structure)

基础知识

这种周期性结构在三个方向上（x, y, z）都具有周期性，这使得光在这种介质中传播时，会表现出特殊的光学性质，例如光子带隙。

在三维光子晶体中，介电常数 $\eta (r)$ 满足以下周期性关系：

$$\eta (\mathbf{r}+\mathbf{R})=\eta (\mathbf{r})$$

这意味着介电常数在晶格矢量 $\mathbf{R}$ 处是周期性的。

$$\mathbf{R}=m_1{a}_1+m_2{a}_2+m_3{a}_3$$

倒晶格矢量 $\mathbf{g}$ 与基本矢量 $\mathbf{a}$ 的关系如下：

$${\mathbf{g}}_1=\frac{2\pi {\mathbf{a}}_2\times {\mathbf{a}}_3}{{\mathbf{a}}_1\cdot ({\mathbf{a}}_2\times {\mathbf{a}}_3)}$$
$${\mathbf{g}}_2=\frac{2\pi {\mathbf{a}}_3\times {\mathbf{a}}_1}{{\mathbf{a}}_1\cdot ({\mathbf{a}}_2\times {\mathbf{a}}_3)}$$
$${\mathbf{g}}_3=\frac{2\pi {\mathbf{a}}_1\times {\mathbf{a}}_2}{{\mathbf{a}}_1\cdot ({\mathbf{a}}_2\times {\mathbf{a}}_3)}$$

Bloch波

光子晶体讲义大纲

第一章：光子晶体概述

1. 引言

   • 光子晶体的定义
   • 光子晶体的历史背景与研究发展

2. 光子晶体的基本概念

   • 光子晶体的结构
   • 光子带隙的形成原理
   • 光子晶体的分类
     • 一维光子晶体
     • 二维光子晶体
     • 三维光子晶体

第二章：一维光子晶体

1. 介质分层光学

   • 介质层叠结构的光学特性
   • 反射和透射理论

2. 一维光子晶体结构

   • 光栅和光学滤波器
   • 布拉格反射器

3. 波动理论

   • 波动方程
   • 本征值和本征函数

4. 多层介质的传输矩阵

   • 波传输矩阵方法
   • 散射矩阵方法
   • 传输矩阵和散射矩阵的关系

5. 应用实例

   • Fabry-Perot干涉仪
   • 布拉格光栅

第三章：二维光子晶体

1. 二维周期结构

   • 平行棒、圆柱孔等结构
   • Reciprocal lattice（倒易晶格）
   • 第一布里渊区

2. Bloch模态

   • 波矢与频率的色散关系
   • Bloch波的性质

3. 缺陷与波导

   • 光子带隙中的点缺陷
   • 缺陷态的局域化
   • 线缺陷与波导的形成

4. 二维光子晶体的应用

   • 光纤中的光子晶体结构
   • 各向异性光传输

第四章：三维光子晶体

1. 三维光子晶体的结构

   • 立方、球形及孔状结构
   • 三维布拉格反射器

2. 三维光子晶体的理论分析

   • 三维波动方程
   • Bloch波与三维色散关系

3. 实验观察与实际应用

   • Yablonovite晶体
   • 3D光子带隙的实验观测

4. 制造技术

   • 底部向上和顶部向下制造方法
   • 胶体自组装
   • 激光全息光刻
   • 多光子显微光刻

第五章：光子晶体的应用

1. 光子晶体在光通信中的应用

   • 光子晶体光纤
   • 谐振腔与滤波器

2. 光子晶体在传感技术中的应用

   • 生物传感器
   • 环境监测

3. 未来的应用前景

   • 集成光学
   • 量子计算与信息处理

第六章：实验与计算方法

1. 计算光子晶体带结构的方法

   • 平面波展开法
   • 有限差分时间域法（FDTD）

2. 光子晶体实验技术

   • 结构的微观制造
   • 实验数据的分析与验证

结语

• 光子晶体研究的前景与挑战
• 学术研究与工业应用的融合

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该大纲旨在覆盖讲义的主要内容，并提供一个清晰的学习路径，帮助读者系统地理解和掌握光子晶体的基本理论和应用。每个章节和子章节都根据讲义内容进行详细划分，以确保知识点的全面性和逻辑性。