简介

得到矩阵 Q, K, V之后就可以计算出 Self-Attention 的输出了，计算的公式如下:
$$Attention(Q,K,V)=Softmax(\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d_k}})V$$

好处

除以维度的开方,可以将数据向0方向集中,使得经过softmax后的梯度更大.
从数学上分析,可以使得QK的分布和Q/K保持一致,

推导

对于两个独立的正态分布而言，两者的加法的期望和方差就是两个独立分布的期望和方差。
qk_T的计算过程为[len_q,dim][dim,len_k]=[len_q,len_k]，qk的元素等于dim个乘积的和。对于0-1分布表乘积不会影响期望和方差，但是求和操作会使得方差乘以dim，因此对qk元素除以sqrt(dim)把标准差压回1.

这里展示一个不严谨的采样可视化过程
假设在query在(0,1)分布，key在(0,1)分布，随机采样lengthdim个点，然后统计querykey_T的散点的分布

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef plot_curve(mu=0, sigma =1):import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.stats import norm# 设置正态分布的参数# mu, sigma = 0, 1  # 均值和标准差# 创建一个x值的范围，覆盖正态分布的整个区间x = np.linspace(mu - 4 * sigma, mu + 4 * sigma, 1000)# 计算对应的正态分布的概率密度值y = norm.pdf(x, mu, sigma)# 我们可以选择y值较高的点来绘制散点图，以模拟概率密度的分布# 这里我们可以设置一个阈值，只绘制y值大于某个值的点threshold = 0.01  # 可以根据需要调整这个阈值selected_points = y > thresholdplt.plot(x, y, 'r-', lw=2, label='Normal dist. (mu={}, sigma={})'.format(mu, sigma))plt.title('Normal Distribution Scatter Approximation')plt.xlabel('Value')plt.ylabel('Probability Density')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()def plot_poins(x):# 因为这是一个一维的正态分布，我们通常只绘制x轴上的点# 但为了模拟二维散点图，我们可以简单地将y轴设置为与x轴相同或固定值（例如0）y = np.zeros_like(x)# 绘制散点图plt.figure(figsize=(8, 6))plt.scatter(x, y, alpha=0.5)  # alpha控制点的透明度plt.title('Normal (0, 1) Distribution Scatter Plot')plt.xlabel('Value')plt.ylabel('Value (or Frequency if binned)')plt.grid(True)plt.show()if __name__ == '__main__':# 设置随机种子以便结果可复现np.random.seed(0)len = 10000dim = 100query = np.random.normal(0, 1, len*dim).reshape(len,dim)key = np.random.normal(0, 1, len*dim).reshape(dim,len)qk = np.matmul(query,key) / math.sqrt(dim)mean_query = query.mean()std_query = np.std(query,ddof=1)mean_key = key.mean()std_key = np.std(key,ddof=1)mean_qk = qk.mean()std_qk = np.std(qk,ddof=1)plot_poins(query)plot_curve(mean_query,std_query)