数学建模 —— 人工神经网络（6）

一、人工神经网络

1.1 人工神经网络结构

1.2 神经元/感知器

1.3 激活函数

1.3.1 sign函数

1.3.2 sigmoid函数（Logistic函数）

1.输出映射在 ( 0 ， 1 ) 之间，输出范围有限

2.单调连续，易于求导

3.优化效果稳定

4.适合用于输出层感知器的激活函数。

1.因为 sigmoid 函数具有的饱和性，容易产生梯度消失，导致训练失效

2.输出并不是以 0 为中心

可以看出，sigmoid函数的导数只有在x=0附近的时候有比较好的激活性，在正负饱和区的梯度都接近于0，造成梯度弥散，无法完成深层网络的训练。

1.3.3 tanh双曲正切函数

1.取值范围为 [- 1 ， 1]

2.在特征相差明显时的应用效果较好，在循环训练过程中会不断扩大特征效果

3.是 0 均值的

4.应用中比 sigmoid 函数有更强的应用性

5.同样具有饱和性，也会造成梯度消失

1.3.4 ReLU函数

1.用于某些算法（如随机梯度下降）时，收敛速度较快

2.当 x <0 时， ReLU 硬饱和；当 x > 0 时，则不存在饱和问题

3.在 x > 0 时保持梯度不衰减，从而缓解梯度消失问题。但随着训练推进，部分输入会落入硬饱和区，导致对应权重无法更新，导致神经元死亡

4.输出均值也大于 0

5.偏移现象和神经元死亡会共同影响网络的收敛性。

1.4 分类

（1）拓扑结构划分

两层、三层、多层神经网络

（2）结点间的连接方式划分

层间连接、层内连接

（3）结点间的连接方向划分

前馈式神经网络BP（Back Propagation）、反馈式神经网络（Feedback）

二、BP人工神经网络

2.1 概述

BP人工神经网络是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一

BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程

2.2 处理过程

（1）初始化网络权值和处理单元的阈值

最简单的办法就是随机初始化，分别为wij，wjk，…，wkl和bij，bjk，…，bkl赋随机值。

（2）信号的前向传播，计算各处理单元的输出

按照网络连接以及组合函数和激活函数关系公式，逐层计算隐藏层处理单元和输出层处理单元的输入和输出。

（3）误差后向传播

对于训练数据xi，输出应为yl，与人工神经网络实际输出Ol存在差异。

定义系统的总输出误差为系统输出层各处理单元输出误差的平均值

（即各输出Ol与训练数据yl的差异），

是输出与其期望值的均方差：

需要根据差异的情况对系统内各连接的权值进行调整，使二者相等或逼近 yl。

（4）模型评估

（5）模型应用

2.3 例题

2.4 Matlab实现

2.4.1 一个简单程序

P=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];          %输入
T=[0 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4];           %期望输出
ff=newff(P,T,20);                    %建立一个BP网络，包含20个节点的隐含层
ff.trainParam.epochs=50;             %最大训练次数
ff=train(ff,P,T);                    %训练
Y1=sim(ff,P);                        %仿真
plot(P,T,'o-');

2.4.2 newff——BP神经网络参数设置函数

功能：构建一个BP神经网络

（1）net=newff(P, T, S)

P: R*Q1矩阵，表示创建的神经网络中，输入层有R个神经元。每行对应一

个神经元输入数据的典型值，实际应用中常取其最大最小值。

T: SN*Q2矩阵，表示创建的网络有SN个输出层节点，每行是输出值的典型

值。

S: 标量或向量，用于指定隐藏层神经元个数，若隐藏层多于一层，则写成

行向量的形式。

（2）net=newff(P, T, S, TF, BTF, BLF, PF, IPF, OPF, DDF)

TFi: 第i层节点的传递函数，包括线性传递函数purelin, 正切S型传递函数

tansig，对数S型传递函数logsig，默认为“tansig”；

BTF: 训练函数，用于网络权值和阈值的调整，默认为基于莱文贝格-马夸

特共轭梯度法的训练函数trainlm，其他参数见下表所示；

一般在使用过程中设置这2个参数，后面5个参数采用系统默认参数。

BP神经网络训练函数

训练函数的意义	MATLAB中相应的函数
梯度下降法	traingd
动量反传的梯度下降法	traingdm
动态自适应学习率的梯度下降法	traingda
带动量动态自适应学习率的梯度下降法	traingdx
弹性梯度下降法	trainrp
量化共轭梯度法	traincg
莱文贝格-马夸特共轭梯度法	trainlm
弗莱彻-里夫斯共轭梯度法	traingf
波拉克-里比埃共轭梯度法	traingp
鲍威尔-比尔共轭梯度法	traingb

2.4.3 train——BP神经网络训练函数

功能：用训练函数训练BP神经网络

[net, tr]=train(NET, P, T)

NET: 待训练网络；

P: 输入数据矩阵；

T: 期望输出数据矩阵；

net: 训练好的网络；

tr: 训练过程记录。

BP神经网络训练函数

训练参数名称及默认值	属性
net.trainParam.epochs=100	最大训练次数
net.trainParam.goal=0	训练目标
net.trainParam.show=25	两次显示之间的训练次数（无显示时取NAN）
net.trainParam.time=inf	最大训练时间（秒）
net.trainParam.max_fail=5	确认失败的最大次数
net.trainParam.min_grad=1e-6	最小性能梯度
net.trainParam.lr=0.2	学习速率