首先用一道题引出单调栈

码蹄集 (matiji.net)

首先画一个图演示山的情况：

最暴力的做法自然是O(n方)的双循环遍历，这么做的思想是求出当前山右侧有多少座比它小的山，遇见第一个高度大于等于它的就停止。

但是对于我们所求的答案数，可以换一个想法，即对于一座山，求出它左侧有多少座山可以看到它。

对于5；7可以看到它。

对于3；7，5可以看到它。

对于4；7，5可以看到它。

可以发现，即求左侧有多少比当前值大的山的个数，那么我们可以维护一个数据结构，使得每次加进来一个数，都保持递减的顺序，然后每次加入前，都计算它的size大小，进行累加。比如：

一开始7进入；

然后5准备进入，进入前检查是否进入后会破坏单调性，发现不会，那么将当前的size累加到sum里，sum当前为1。5进入，现在数据结构为7，5；

然后3准备进入，检查发现不会破坏单调性，sum累加当前size(2),sum现在为(3)。3进入，现在数据结构为7，5，3;

然后4准备进入，检查发现会破坏单调性，就把比4小的全部扔出，于是3出去了。这时候sum累加当前size(2)，sum现在为(5)，然后4进入，数据结构现在为7，5，4；

结果也符合手算结果。

发现此过程进和出都是在同一侧进行，那么最适合的数据结构自然是栈了。这样的思想就是单调栈。

以下是代码：

#include<iostream>
#include<stack>
#define int long long
using namespace std;
signed main() {int n, num, sum=0;//n为山脉个数；num为每次读入的山脉高度，sum为总和stack<int> stk;//栈，我们要使它单调cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> num;//下面的while循环即用来维护单调性，本题要严格单调递减//每次检查栈顶元素是否小于等于当前高度，如果是则弹出，直到为空或者栈顶高度大于当前高度while (!stk.empty() && stk.top() <= num)stk.pop();//总和累加，stk.size即左侧比当前山脉高的山脉，也即能看到当前山的个数sum += stk.size();//入栈，栈此时满足单调性stk.push(num);}cout << sum;
}

（因为数据范围的要求，得用long long）

下面还有几道练习题

码蹄集 (matiji.net)

这道题需要我们脑补出究竟是哪种情况可以使海报数变少。

最多的情况自然是墙的个数n，考虑下面的情况：

如果出现这种情况，即低-高-低，并且左侧和右侧低的墙高度相同，那么就可以减少一张海报了。

注意中间高的墙可以不止一道，只要是被两个同高且相对低的墙夹住，整体就可以减少一张海报。

同样，可以没有所谓的高墙，即两道相连的墙同高，那自然也可以减少一张海报数。

而如果是这种情况：（涂橙色的代表墙）

那么即使左右两侧高度相同，还是需要用三张海报，因为题目要求海报不能超出边界。

我们同样维护一个数据结构，如果新输入的墙高于当前墙，那么就可以加入；而如果小于当前墙，那么就需要检查是否存在低-高-低的情况了。低的墙的高度即取决于新输入的墙的高度，将数据结构里所有比低墙要高的墙都弹出；若遇到同高的墙，则代表海报数可以减1，同时也弹出在数据结构里的那个同高的墙；若遇到比我们选定的低墙还低的墙，就结束弹出操作，并把新输入的墙加入。

以下面的数据为例，数字代表墙的高度：

2，2，3，4，2；以下是数据结构内容的变化

• 2（第一个2加入）
• 2（读入第二个2，发现同高，把前一个弹出，同时记录可以减1个海报）
• 2-3（读入3，直接加入）
• 2-3-4（读入4，直接加入）
• 2（读入最后一个2，发现比顶部的墙小，开始弹出，发现4，3，2都要弹出，并且记录可以减1个海报数）

最后发现可以减少两个海报，那么就需要5-2=3个海报，就可以覆盖上述例子。

最终我们发现，维护的数据结构最终依然是单调的，并且操作在同侧进行，所以依然是单调栈的做法。

代码如下，代码量是很少的，但是需要知道其中的思想

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int n,ans,d,w;
stack<int> st;
int main( )
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>d>>w;//只要栈顶的墙的高度大于等于墙的高度，都需要弹出while(!st.empty()&&w<=st.top()){if(st.top()==w)//如果遇见同高的墙，记录可以减少一个海报数ans++;st.pop();//弹出}st.push(w);//此时栈里的墙都比当前墙矮（或者栈为空），此时可以加入，就不会破坏单调性}cout<<n-ans;//最终结果为n-ansreturn 0;
}

下一道题

码蹄集 (matiji.net)

以样例为例，这道题也可用单调栈完成

维护一个单调递增的栈，一旦新增系数不满足单调性，即代表它是第一个小于栈顶元素系数的值。

按步骤拆解：

一开始1，3入栈

之后读入-3，开始检查，发现-3小于栈顶元素，于是x三次方的系数就变成-3，然后弹出3；之后-3与栈顶1对比，发现-3小于栈顶元素，于是x四次方的系数就是-3，然后弹出1 。-3入栈。

6入栈

读入1，比6小，所以x的系数是1 。但是比下一个栈顶元素-3大，于是入栈，现在栈里有-3，1；

最后x的平方和x的0次方系数为0.

这里有个问题，就是如果栈里存放系数的话，经过弹栈入栈，就判断不了这个系数是属于哪个x次幂的了，所以我们栈里改为存放下标i，通过下标读入存放在数组的系数。

以下是代码：

#include<bits/stdc++.h> 
#define ll long long
const int MOD=99887765;
const int N=5e6+7;
using namespace std;
stack<int> st;
//a是原系数数组，b是新的系数数组
int n,x,a[N],b[N];
ll ans;
int main( )
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n>>x;for(int i=1;i<=n+1;i++){cin>>a[i];//如果读入的系数小于栈顶的系数(注意栈里存放的是下标，于是通过a[st.top()]来获得栈顶的系数)while(!st.empty()&&a[i]<a[st.top()]){b[st.top()]=a[i];//栈顶位置的x次幂的系数设置为当前读入的系数（是第一个小于原系数的值）//弹栈st.pop();}//注意如入栈的是下标st.push(i);}//其实最好是显式初始化一下b数组，把初始值都设为0，虽然不这样做默认初值也是0.这样没处理的下标的保存的新系数自动设为0//这里就是计算多项式了for(int i=1;i<=n+1;i++){ans=ans*x+b[i];ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;}cout<<ans;return 0;
}

以上就是一些单调栈的简单示例了。

似乎可以总结出一个模板了：

1.循环读入新元素

2.用一个while循环，通过对比栈顶和新元素，来把不满足单调性的栈顶弹出

3.新元素压栈，保持单调性

至于题目有什么要求，就要在模板里进行一些其他操作了