题目 有边数限制的最短路

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从 1 号点到 n号点的最多经过 k条边的最短距离，如果无法从 1号点走到 n号点，输出 impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式
第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x到点 y的有向边，边长为 z。

点的编号为 1∼n。

输出格式
输出一个整数，表示从 1号点到 n号点的最多经过 k条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。

数据范围
1 ≤ n,k ≤ 500,
1 ≤ m ≤ 10000,
1 ≤ x,y ≤ n，
任意边长的绝对值不超过 10000。

输入样例：
3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3
输出样例：
3

算法分析

1、问题：为什么Dijkstra不能使用在含负权的图中？

（这是以前错误的分析，若看完这个例子分析觉得正确的说明对最短路理解得还不够透彻，这里不做删除）

分析：如图所示：
若通过Dijkstra算法可以求出从1号点到达4号点所需的步数为3 (每次选择离源点最短距离的点更新其他点)
但实际上从 1 号点到达 4 号点所需步数为 1 (1 –> 2 –> 3),因此不能使用 Dijkstra 解决含负权图的问题

正确的分析
Dijkstra算法的3个步骤

1. 找到当前未标识的且离源点最近的点t
2. 对t号点点进行标识
3. 用t号点更新其他点的距离
   反例
   

结果：

dijkstra算法在图中走出来的最短路径是1 -> 2 -> 4 -> 5，算出 1 号点到 5 号点的最短距离是2 + 2 + 1 = 5，然而还存在一条路径是1 -> 3 -> 4 -> 5，该路径的长度是5 + (-2) + 1 = 4，因此 dijkstra 算法失效

dijkstra详细步骤

1. 初始dist[1] = 0
2. 找到了未标识且离源点1最近的结点1，标记1号点，用1号点更新其他所有点的距离，2号点被更新成dist[2] = 2，3号点被更新成dist[3] = 5
3. 找到了未标识且离源点1最近的结点2，标识2号点，用2号点更新其他所有点的距离，4号点被更新成dist[4] = 4
4. 找到了未标识且离源点1最近的结点4，标识4号点，用4号点更新其他所有点的距离，5号点被更新成dist[5] = 5
5. 找到了未标识且离源点1最近的结点3，标识3号点，用3号点更新其他所有点的距离，4号点被更新成dist[4] = 3
6. 结束
7. 得到1号点到5号点的最短距离是5，对应的路径是1 -> 2 -> 4 -> 5，并不是真正的最短距离

2、什么是bellman - ford算法？

Bellman - ford 算法是求含负权图的单源最短路径的一种算法，效率较低，代码难度较小。其原理为连续进行松弛，在每次松弛时把每条边都更新一下，若在 n-1 次松弛后还能更新，则说明图中有负环，因此无法得出结果，否则就完成。
(通俗的来讲就是：假设 1 号点到 n 号点是可达的，每一个点同时向指向的方向出发，更新相邻的点的最短距离，通过循环 n-1 次操作，若图中不存在负环，则 1 号点一定会到达 n 号点，若图中存在负环，则在 n-1 次松弛后一定还会更新)

3、bellman - ford算法的具体步骤

for n次for 所有边 a,b,w (松弛操作)dist[b] = min(dist[b],back[a] + w)

注意：back[] 数组是上一次迭代后 dist[] 数组的备份，由于是每个点同时向外出发，因此需要对 dist[] 数组进行备份，若不进行备份会因此发生串联效应，影响到下一个点

4、在下面代码中，是否能到达n号点的判断中需要进行if(dist[n] > INF/2)判断，而并非是if(dist[n] == INF)判断，原因是INF是一个确定的值，并非真正的无穷大，会随着其他数值而受到影响，dist[n]大于某个与INF相同数量级的数即可

5、bellman - ford算法擅长解决有边数限制的最短路问题

时间复杂度 O(nm)
其中n为点数，m为边数

C ++ 代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 510, M = 10010;struct Edge
{int a, b, c;
}edges[M];int n, m, k;
int dist[N];
int last[N];void bellman_ford()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;for (int i = 0; i < k; i ++ ){memcpy(last, dist, sizeof dist);for (int j = 0; j < m; j ++ ){auto e = edges[j];dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c);}}
}int main()
{scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);for (int i = 0; i < m; i ++ ){int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);edges[i] = {a, b, c};}bellman_ford();if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible");else printf("%d\n", dist[n]);return 0;
}

Java 代码

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;public class Main {static int N = 510;static int M = 100010;static int n;//总点数static int m;//总边数static int k;//最多经过k条边static int[] dist = new int[N];//从1到点到n号点的距离static Node[] list = new Node[M];//结构体static int INF = 0x3f3f3f3f;static int[] back = new int[N];//备份dist数组public static void bellman_ford(){Arrays.fill(dist, INF);dist[1] = 0;for(int i = 0;i < k;i++){back = Arrays.copyOf(dist, n + 1);//由于是从1开始存到nfor(int j = 0;j < m;j++){Node node = list[j];int a = node.a;int b = node.b;int c = node.c;dist[b] = Math.min(dist[b], back[a] + c);}}if(dist[n] > INF/2) System.out.println("impossible");else System.out.println(dist[n]);}public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));String[] str1 = reader.readLine().split(" ");n = Integer.parseInt(str1[0]);m = Integer.parseInt(str1[1]);k = Integer.parseInt(str1[2]);for(int i = 0;i < m;i++){String[] str2 = reader.readLine().split(" ");int a = Integer.parseInt(str2[0]);int b = Integer.parseInt(str2[1]);int c = Integer.parseInt(str2[2]);list[i] = new Node(a,b,c);}bellman_ford();}}
class Node
{int a, b, c;public Node(int a,int b,int c){this.a = a;this.b = b;this.c = c;}
}