试题 A: 握手问题 题解

题目描述

小蓝组织了一场算法交流会议，共有50人参加。按照惯例，每个人都要与除自己外的其他所有人握手一次。但有7个人彼此之间没有握手（这7人与其他43人正常握手）。求实际发生的握手总次数。

解题思路

常规握手问题模型

对于 n人 参与的会议，握手总次数可以用组合数公式计算：
$$C(n,2)=\frac{n(n-1)}{2}$$
因为每两人之间仅握手一次，共有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 种组合。

本题特殊情况

存在 7人 彼此之间不握手，这意味着我们需要从总握手次数中扣除这7人之间的理论握手次数。即：

1. 计算50人全握手的总次数
   $$C(50,2)=\frac{50\times 49}{2}=1225$$

2. 计算7人之间的理论握手次数
   $$C(7,2)=\frac{7\times 6}{2}=21$$

3. 实际握手次数
   实际握手次数等于总次数扣除未发生的7人握手次数：
   $$1225-21=1204$$

关键点分析

• 组合数应用：本题核心在于正确应用组合数公式建立数学模型。
• 特殊条件处理：正确处理7人组内部握手缺失的情况，避免重复计算或漏算。
• 数值计算：注意大数运算时的准确性，避免计算错误。

代码验证（C++）

#include <iostream>int main() {// 计算50人的总握手次数int total = 50 * 49 / 2;// 计算7人未发生的握手次数int exclude = 7 * 6 / 2;// 输出实际握手次数std::cout << total - exclude << std::endl;return 0;
}