数据结构：图

前言

在自动化程序分析中，图和树的一些算法起到了至关重要的作用，所以在开始自动化程序分析的研究前，我用了两天复习了一遍数据结构中的图。本章主要内容有图的基本概念，图的存储和图相关的经典算法，并在附录中附带上完整代码的仓库链接。

注：文章中并不会提到关于图的所有概念和定理，只有和程序分析中相关性比较大的那部分。文章中若有错误请指出，代码也存在可优化的空间，欢迎把你的优化代码提到issue中。

概念

顶点、边和度

数据结构中说的图是平面图，也就是由顶点和顶点间的连线组成的。图的符号表达式为 $\textcolor{orange}{G=(V,E)}$ ，其中G就是图，V是顶点集是有限非空集合，E是边集是二元子集。

和顶点相关的概念有度（记作D），而在有向图中度再度被分化为出度（记作I_D）和入度（记作O_D）。

注：对于度的助记符号是我自定义的，没有官方的定义。

无向图

在这里插入图片描述

图2.2.1无向图

该图中

$\textcolor{orange}{D(A) = 2}$ ， $\textcolor{orange}{D(B) = 3}$ ， $\textcolor{orange}{D(D) = 3}$ ， $\textcolor{orange}{D(C) = 2}$ 。

$\textcolor{orange}{V = \{A,B,C,D\}}$

$\textcolor{orange}{E = \{<A,B>,<B,A>,<A,D>,<D,A>,<D,B>,<B,D>,<B,C>,<C,B>,<C,D>,<D,C>\}}$

有向图

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图2.3.1有向图

该图中

$\textcolor{orange}{I\_D(A) = 1}$ ， $\textcolor{orange}{O\_D(A) = 1}$ ， $\textcolor{orange}{I\_D(B) = 2}$ ， $\textcolor{orange}{O\_D(B) = 1}$ ， $\textcolor{orange}{I\_D(C) = 0}$ ， $\textcolor{orange}{O\_D(C) = 2}$ ， $\textcolor{orange}{I\_D(D) = 2}$ ， $\textcolor{orange}{O\_D(D) = 1}$ 。

$\textcolor{orange}{V = \{A,B,C,D\}}$

$\textcolor{orange}{E = \{<A,B>,<D,A>,<B,D>,<C,B>,<C,D>\}}$

权

权值是根据实际情况定义的。例如在程序分析中，我们可以把每个顶点看作是设置的探针，此时的权值可以表示为两个探针之间执行的时间，或者执行的指令数。通常在程序分析中用的是有向图，因为我们程序的指令执行都是有方向的，那么基于有向图，我们可以实现 $\textcolor{BrickRed}{数据流分析}$ 。而无向图可应用于城市的规划上，例如每个顶点就是一座城市，权值可代表城市间的距离。然后可以基于图做一些规划，例如寻找最短路径。

在这里插入图片描述

图2.4.1带权有向图

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图2.4.2带权无向图

完全图

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图2.5.1完全图

完全图是无向图中衍生的一个概念。完全图的定义是图中任意节点与其他所有节点都相连。因此，通过观察图2.1.5，能够得到判定一个无向图是否为完全图的方法：
$\forall v \in V,D(v) = N-1，（N表示图中所有顶点个数）。$
即，任意一个图中的顶点的度等于图中所有顶点数减1。

环

环的定义是从起始点出发沿着邻接点走最终又回到了起始点，所经过的顶点就形成了一个环。

在这里插入图片描述

图2.6.1无向图

在图2.6.1中，有3个环：

$\textcolor{orange}{A->B->C->A}$
$\textcolor{orange}{A->B->C->D->A}$
$\textcolor{orange}{A->C->D->A}$

在这里插入图片描述

图2.6.2有向图

在图2.6.2中，有两个环：

$\textcolor{orange}{A->B->C->A}$
$\textcolor{orange}{A->B->C->D->A}$

小节

从上面列出的图来看，可以归纳出以下图的基本定理：

有向图中所有顶点的出度和等于所有顶点的入度和。
图中所有顶点的度之和等于边的2倍。
完全图中，任意一个顶点的度等于所有顶点数-1。

存储方式

邻接矩阵

在程序中，我们用一种叫做邻接矩阵的数据结构存储图，它是一个二维数组，数组的下标就是图中的各顶点，数组中的元素是个布尔值，表示两个顶点是否相邻。

在这里插入图片描述

程序中数组的下标是从0开始的，所以我们事先定义图中A是0，按字母顺序递增下标，则该图对应的邻接矩阵为：

	0（A）	1(B)	3(D)
0(A)	0	1	0
1(B)	0	0	1
2©	0	1	1
3(D)	1	0	0

注意：我这里规定了邻接矩阵的每一行r与每一列c的交点处，元素值为1代表图中顶点r与顶点c相邻，元素值为0表示不相邻。也就是说我是横着看的，当然，你也可以按照自己的习惯竖着看。但请一定要记住你的习惯，这在后面编码时要保持习惯的一致性，否则容易出问题。

算法

图遍历算法

图遍历算法的实际意义：用于获取从指定顶点出发能够到达哪些顶点，可判断图连通性和获取图的联通分量个数。

连通性的判断在实际应用中就太普遍了，例如网络拓扑中各个终端的联通检测，电力系统中的连通性检测，交通运输网中连通性检测等等。

图遍历算法有两种：

广度优先搜索（BFS）：指定一个顶点v_1，将与v1相邻的顶点v_2,v_3,…,v_n一次性找出来，然后再分别以同样的方式找与v_2,v_3,…,v_n相邻的顶点，直到找不到相邻点或者遍历完图中所有顶点。
深度优先搜索（DFS）：指定一个顶点v_1，找出一个与v_1相邻的顶点v_2，然后找与v_2相邻的顶点v_3，按这样的方式一直到找不到相邻顶点或者遍历完图中所有顶点。

BFS详细流程

引入一个队列Q，用来记录与v_1相邻的顶点。引入一个结果路径resPath，保存v_1遍历的结果。转步骤2。
引入一个布尔型数组visited，表示已探索过的顶点，防止重复探索。转步骤3。
将v_1加入Q，并标记对应visited中的元素为true。转步骤4。
从Q首部取出一个顶点v，循环遍历图中所有顶点v_i。在visited[v_i] == false，且 v_i与v相邻时，将v_i加入Q，并标记对应visited中的元素为true，转步骤5。
重复步骤4，直到Q为空，即可得到指定v_1可到达的所有点。

std::shared_ptr<std::vector<uint32_t>> graph::bfs(uint32_t v)
{std::vector<uint32_t> resVector;std::queue<uint32_t> Q;bool* visited = nullptr;if (v == 0 || v > _NumOfVertex + 1) goto end_ret;visited = new(std::nothrow) bool[_NumOfVertex];if (visited == nullptr) goto end_ret;// 清除一下标记memset(visited, false, sizeof(bool) * _NumOfVertex);// 标记初始顶点为已访问visited[v-1] = true;// 初始顶点入队Q.push(v-1);// 遍历队列while (!Q.empty()){uint32_t p = Q.front();resVector.push_back(p+1);Q.pop();for (uint32_t i = 0; i < _NumOfVertex; i++){// 依次找与p点相邻的点if (!visited[i] && _AdjMatrix[p * _NumOfVertex + i]){visited[i] = true;Q.push(i);}}}end_ret:if (visited) delete[] visited;return std::make_shared<std::vector<uint32_t>>(resVector);
}

DFS详细流程

本小节讲解的是非递归的DFS实现。

引入一个栈S，用来记录与v_1相邻的顶点。引入一个结果路径resPath，保存v_1遍历的结果。转步骤2。
引入一个布尔型数组visited，表示已探索过的顶点，防止重复探索。转步骤3。
引入一个布尔型变量recurse_over，表示正在递归。转步骤4。
将v_1压栈，并标记对应visited中的元素为true。转步骤5。
取栈顶元素v，标记recurse_over为false。循环遍历图中所有顶点，在visited[v_i] == false，且 v_i与v相邻时，将v_i压栈，并标记对应visited中的元素为true，标记recurse_over为true，跳出循环，转步骤6。
在recurse_over为true的时候我们直接继续步骤5，此时就模拟了递归了。在recurse_over为false时表示递归结束，也就意味着以顶点v寻找邻接点过程结束，v就是最终的点，因此将v加入resPath，S弹出栈顶元素，继续步骤5，直到S为空。

std::shared_ptr<std::vector<uint32_t>> graph::dfs(uint32_t v)
{std::vector<uint32_t> resVector;std::stack<uint32_t> S;bool recurse_over;bool* visited = nullptr;if (v == 0 || v > _NumOfVertex + 1) goto end_ret;visited = new(std::nothrow) bool[_NumOfVertex];if (visited == nullptr || _AdjMatrix == nullptr) return nullptr;// 清除一下标记memset(visited, false, sizeof(bool) * _NumOfVertex);visited[v - 1] = true;S.push(v-1);while (!S.empty()){uint32_t p = S.top();recurse_over = true;for (uint32_t i = 0; i < _NumOfVertex; i++){	if (!visited[i] && _AdjMatrix[p * _NumOfVertex + i]){visited[i] = true;S.push(i);recurse_over = false;// 只要找到一个邻接点就入栈，然后立马跳出循环，并对该点进行重复上面的操作// 实现模拟递归break;}}if (recurse_over){resVector.push_back(p+1);S.pop();}}end_ret:if (visited) delete[] visited;return std::make_shared<std::vector<uint32_t>>(resVector);
}

拓扑排序

拓扑排序是针对于无环图来讲的，同时它也可以用来检测图中是否存在环。

拓扑排序常用来表示存在依赖关系的事务。

场景

课程选修要求如图

在这里插入图片描述

图中的含义是有：

选修《软件开发》就需要先选修《C++语言》、《数据结构》、《数据结构》和《数据库设计》中的任意一门。
选修《C++语言》的前提是先选修《C语言》
选修《数据结构》的前提是先选修《C语言》
选修《数据库设计》的前提是先选修《数据结构》

如果对《软件开发》这门课程进行拓扑排序，则得到的结果为：

在这里插入图片描述

同时意味着这也是学习《软件开发》这门课程比较合理的学习路线。

详细流程

本节介绍的拓扑排序算法会扩展到无向图中，用来判断图是否存在环。

先来说指定一个顶点v，给出以这个顶点为终点的拓扑排序算法：

引入一个队列Q，存放所有所有入度为0的顶点，而对无向图来说则存放度为1的顶点。
引入一个变量resVector，用来存放拓扑排序的结果。
如果是有向图则将所有入度为0的顶点放入Q，如果是无向图则将所有度为1的顶点放入Q。
取Q首部元素p，把p加入resVector。如果p就是v则拓扑排序结束，否则将与p邻接的点 $KaTeX parse error: Invalid color: '' at position 11: \textcolor{̲}̲{v_i}$ 的入度减一。如果 $KaTeX parse error: Invalid color: '' at position 11: \textcolor{̲}̲{v_i}$ 的入度为0（有向图）或者度为1（无向图），则将 $KaTeX parse error: Invalid color: '' at position 11: \textcolor{̲}̲{v_i}$ 加入Q。
循环步骤4，直到Q为空。此时resVector就是指定顶点v的拓扑排序结果。

std::shared_ptr<std::vector<uint32_t>> graph::topologySort(uint32_t v)
{std::vector<uint32_t> resVector;std::queue<uint32_t> Q;std::vector<uint32_t> V(_IsDirected ? _InDegree : _Degree);if (v == 0 && v > _NumOfVertex) goto end_ret;for (int32_t i = 0; i < _NumOfVertex; i++){if ((_IsDirected && V[i] == 0) || (!_IsDirected && V[i] == 1)) Q.push(i);}while (!Q.empty()){int32_t p = Q.front();Q.pop();resVector.push_back(p + 1);if (p + 1 == v) break;for (int32_t i = 0; i < _NumOfVertex; i++){if (_AdjMatrix[p * _NumOfVertex + i]){V[i] -= 1;if ((_IsDirected && V[i] == 0) || (!_IsDirected && V[i] == 1)) Q.push(i);}}}end_ret:return std::make_shared<std::vector<uint32_t>>(resVector);
}

再说说使用拓扑排序判断图中是否存在环的算法，与指定点的拓扑排序算法大同小异：

引入一个队列Q，存放所有所有入度为0的顶点，而对无向图来说则存放度为1的顶点。
引入整数型变量num，记录入度为0或者度为1的顶点数。
如果是有向图则将所有入度为0的顶点放入Q，如果是无向图则将所有度为1的顶点放入Q，更新num。
取Q首部元素p。如果p就是v则拓扑排序结束，否则将与p邻接的点v_i的入度减一。如果v_i的入度为0（有向图）或者度为1（无向图），则将v_i加入Q，更新num。
循环步骤4，直到Q为空。此时num如果不等于图中所有顶点的数量，则说明图中存在环，否则就是无环。

bool graph::hasCycle()
{std::queue< uint32_t> Q;int32_t num = 0;std::vector<uint32_t> V(_IsDirected ? _InDegree : _Degree);for (int32_t v = 0; v < _NumOfVertex; v++){if ((_IsDirected && V[v] == 0) || (_IsDirected && V[v] == 1)){Q.push(v);num += 1;}}while (!Q.empty()){int32_t v = Q.front();Q.pop();for (int32_t i = 0; i < _NumOfVertex; i++){if (_AdjMatrix[v * _NumOfVertex + i]){V[i] -= 1;if ((_IsDirected && V[i] == 0) || (_IsDirected && V[i] == 1)){Q.push(i);num += 1;}}}}return num != _NumOfVertex;;
}

获取所有路径

场景

本小节主要讲的应用场景是给定一个起始点和终点，获取从起始点到达终点的所有路径。这种应用场景在程序分析可以是解析函数间的调用关系，请看下图：

在这里插入图片描述

假设图中各顶点代表函数A，B,…,H，图中反映的是他们之间的调用关系。我想知道从函数A到函数G都有哪些调用路径。从图中我们可以很清楚的知道有这些路径：

$\textcolor{orange}{A->B->F->G}$
$\textcolor{orange}{A->D->F->G}$
$\textcolor{orange}{A->C->E->G}$

注意：一条路径上重复的点不走第二次。

那么如何让计算机去实现这种功能呢？

详细流程

整个算法基于DFS的思想，假设输入起始点为v1，终点为v2。

引入栈S，用来表示当前探索的顶点。
引入序列path，用来保存一条探索到的路径。
引入序列resVec，保存所有路径。
引入序列pos，记录已探索顶点的邻接点在邻接矩阵中的位置。
引入逻辑变量recursed，表示处于模拟递归中。
引入序列visited，记录已访问的顶点。
将起始点v1压栈，设置对应的visited元素为true，将v1加入path。
取S顶部元素v，设置recursed = false，从pos[v]开始遍历所有与v邻接的点vi。
如果visited[vi] == false，且vi == v2 - 1，则说明找到了一条路径，将path加入resVec，否则转入步骤10。
设置visited[vi] = true，将vi压入S，并加入path，pos[vi] = 0，pos[v] = i+1（i为循环计次），recursed = true。转到步骤11.
如果recursed == false，从path中删除最近一次添加的元素，pos[v] -=1，visited[v] = false，S弹栈。这一步实现了回溯。转入步骤8
循环步骤8到步骤11，直到栈为空，resVec保存了所有路径。

std::shared_ptr<std::vector<std::vector<uint32_t>>> graph::getAllPath(uint32_t v1, uint32_t v2)
{std::stack<uint32_t> S;std::vector<uint32_t> path;std::vector<std::vector<uint32_t>> resVec;std::vector<int32_t> pos;bool recursed = false;bool* visited = nullptr;if (v1 == 0 || v1 > _NumOfVertex || (v2 == 0 || v2 > _NumOfVertex)) goto end_exit;visited = new(std::nothrow) bool[_NumOfVertex];if (visited == nullptr) goto end_exit;// 初始化for (uint32_t i = 0; i < _NumOfVertex; i++){visited[i] = false;pos.push_back(0);}S.push(v1 - 1);path.push_back(v1);visited[v1 - 1] = true;while (!S.empty()){auto v = S.top();recursed = false;for (uint32_t i = pos[v]; i < _NumOfVertex; i++){if (!visited[i] && _AdjMatrix[v * _NumOfVertex + i]){if (i == v2 - 1){std::vector<uint32_t>tmpVec(path);tmpVec.push_back(i + 1);resVec.push_back(tmpVec);}else{visited[i] = true;S.push(i);path.push_back(i + 1);pos[i] = 0;pos[v] = i + 1;recursed = true;break;}}}if (!recursed){// 回溯大法path.pop_back();v = S.top();if(pos[v]) pos[v] -= 1;visited[v] = false;S.pop();}}end_exit:if (visited) delete[] visited;return std::make_shared<std::vector<std::vector<uint32_t>>>(resVec);
}

寻最短/长路径

前面在权一小节中提到过寻最短路径的应用场景，同样在程序分析中有很重要意义。说到寻最短路径不得不提到一个著名算法——Dijkstra，应用的场景是寻单源点下的最短路径。也就是说指定一个起始点，该算法会取得该点到图中各点最短的路径距离。而我们稍微增加一些代码就能实现获取起始点的最短/长路径和距离值。

注意：本小节提到的寻最短/长路径是基于带权路径图来说的，无权图不适用这个算法。

整个算法基于BFS思想，假设输入起始点为v1，具体操作如下：

引入队列Q，表示正在探索的顶点。
引入序列dis，表示起始点v1到各点的最短/长距离。
引入布尔型序列visited，表示已探索过的顶点。
引入path，保存v1到各顶点的最短路径。
将起始点加入Q，并标记对应visited中的元素。
取Q首部元素v，Q弹出首部元素。遍历所有与v相邻的vi，在visited[vi] == falss时，动态计算距离w。计算方法：v1到v的距离（dis[v]）加上v到vi的距离（dis[vi]）。如果w小于之前的值prev_dis，则更新w，此时将vi视作本次所有路径中最短的终点s。如果w小于dis[vi]，则dis[vi] = w，更新最长路径。同样更新path，方法是拷贝之前的路径，并新增vi。
如果s不等于v，则设置visited[s] = true，并加入Q。
循环步骤6~7，直到Q为空。此时，path中保存了v1到图中各点的最短路径。

最长路径的求法，就是在比较路径的时候将“<”换成“>”，不再赘述。

std::shared_ptr<std::unordered_map<uint32_t, std::vector<uint32_t>>> graph::DijkstraAlogrithm(uint32_t v1,std::vector<uint32_t>& dis,bool reverse)
{std::unordered_map<uint32_t, std::vector<uint32_t>> path;std::queue<uint32_t> Q;uint32_t v;bool* visited = nullptr;visited = new(std::nothrow) bool[_NumOfVertex];if (visited == nullptr) goto end_ret;// 清除一下标记memset(visited, false, sizeof(bool) * _NumOfVertex);for (uint32_t i = 0; i < _NumOfVertex; i++){// 初始化指定源点到各个顶点的最短路径path.insert(std::pair<uint32_t, std::vector<uint32_t>>(i, std::vector<uint32_t>()));// 初始化距离if (i == v1 - 1) dis.push_back(0);else dis.push_back(reverse ? 0 : -1);}Q.push(v1 - 1);visited[v1 - 1] = true;while (!Q.empty()){auto v = Q.front();Q.pop();uint32_t s = v;uint32_t prev_dis = reverse ? 0 : -1;for (uint32_t i = 0; i < _NumOfVertex; i++){if (!visited[i] && _AdjMatrix[v * _NumOfVertex + i]){auto w = _Weight[v * _NumOfVertex + i] + dis[v];if (reverse){if (prev_dis < w){// 更新本次寻找到的最长路径长度prev_dis = w;s = i; // s 始终指向本次寻找到的最长路径的终点}if (w > dis[i]){// 动态更新最长路径dis[i] = w;if (path[v].size()) path[i] = std::vector<uint32_t>(path[v]);path[i].push_back(v + 1);}}else{if (prev_dis > w){// 更新本次寻找到的最短路径长度prev_dis = w;s = i; // s 始终指向本次寻找到的最短路径的终点}if (w < dis[i]){// 动态更新最短路径dis[i] = w;if (path[v].size()) path[i] = std::vector<uint32_t>(path[v]);path[i].push_back(v + 1);}}}}if (s != v){// 将本次最短路径终点标记为已访问，意味着从指定源点到s 的最短路径已经找到。visited[s] = true;Q.push(s);}}end_ret:if (visited) delete[] visited;return std::make_shared<std::unordered_map<uint32_t, std::vector<uint32_t>>>(path);
}