一元非线性回归

观察散点图，确定非线性形式，然后将非线性转化为线性求解。

常见的六类曲线：

（1）双曲函数曲线
$$\{\begin{array}{l}\hat{y}=\frac{x}{a+bx}\\ \hat{y}=\frac{a+bx}{x}\\ \hat{y}=\frac{1}{a+bx}\end{array}$$

变换方式：

$\hat{y}=\frac{x}{a+bx}$，两边取倒数后，令$y^{\prime }=\frac{x}{\hat{y}}$，得：$y^{\prime }=ax+b$

$\hat{y}=\frac{a+bx}{x}$，令$y^{\prime }=x\hat{y}$，得：$y^{\prime }=ax+b$

$\hat{y}=\frac{1}{a+bx}$，两边取倒数后，令$y^{\prime }=\frac{1}{\hat{y}}$，得：$y^{\prime }=ax+b$

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（2）幂函数曲线

幂函数（$y$是$x$某次幂的函数）方程形式
$$\hat{y}=a{x}^b$$

变换形式：

两边取对数，令$y^{\prime }=ln\hat{y}$，$x^{\prime }=lnx$，$a^{\prime }=lna$，得：$y^{\prime }=a^{\prime }+b{x}^{\prime }$

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（3）指数函数曲线

指数函数（x作为指数出现）方程形式：
$$\{\begin{array}{l}\hat{y}=a{e}^{bx}\\ \hat{y}=a{b}^x\end{array}$$

变换方式：

两边取对数，令$y^{\prime }=ln\hat{y}$，$a^{\prime }=lna$，得$y^{\prime }=a^{\prime }+bx$

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（4）倒指数曲线

倒指数函数（$\frac{1}{x}$作为指数曲线）方程形式：
$$\hat{y}=a{e}^{\frac{b}{x}}$$

变换方式：

两边取对数，令$y^{\prime }=ln\hat{y}$，$a^{\prime }=lna$，$x^{\prime }=\frac{1}{x}$，得：$y^{\prime }=a^{\prime }+b{x}^{\prime }$

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（5）对数函数曲线

对数函数（$x$作为自然对数出现）方程形式：
$$\hat{y}=a+blnx(x>0)$$

变换方式：

令$x^{\prime }=lnx$，得$\hat{y}=a+b{x}^{\prime }$

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（6）$S$型曲线

主要描述动、植物的自然生长过程，又称生长曲线，也可以描述传染病的发展趋势

生长过程的基本特点是开始增长较慢，而在以后的某一范围内迅速增长，达到一定的限度后增长又缓慢下来，曲线呈拉长的$S$型。著名的’$S$’型曲线是$Logistic$生长曲线
$$\begin{gathered} \hat{y}=\frac{k}{1+a{e}^{-bx}}(a、b、k均大于0) \\ x=0,\hat{y}=\frac{k}{1+a};x\to \infty ,\hat{y}=k \end{gathered}$$

变换方式：

两边去倒数再取对数后，$y^{\prime }=ln\frac{k-\hat{y}}{\hat{y}}$，$a^{\prime }=lna$，得：$y^{\prime }=a^{\prime }+bx$

多元线性回归

数学模型
$$多元线性回归模型：y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+\dots +{\beta }_k{x}_k+ϵ$$
其中，位置参数${\beta }_0$，${\beta }_1$称为回归系数，$x_1、x_2、\dots 、x_k$称为自变量（回归变量），$y$称为因变量（被预测变量），$ϵ$称为误差项，服从正态分布，$E(ϵ)=0$，$COV(ϵ,ϵ)={\sigma }^2{I}_n$。

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$$回归平面方程：E(y)={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+\dots +{\beta }_k{x}_k$$

上面的方程是对多元线性回归方程两边同时求期望得到的

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$$估计的回归平面方程：\hat{y}=\widehat{{\beta }_0}+\widehat{{\beta }_1}{x}_1+\dots +\widehat{{\beta }_k}{x}_k$$

其中$\widehat{{\beta }_0}$，$\widehat{{\beta }_1}$，$\dots$，$\widehat{{\beta }_k}$是未知参数${\beta }_0$，${\beta }_1$，$\dots$，${\beta }_k$的估计值

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模型参数估计

假设有$n$组独立观测数据$(x_i,y_i)$，$i=1,2,3,...,n$，未知参数${\beta }_0$，${\beta }_1$，$\dots$，${\beta }_k$的估计值分别为$\widehat{{\beta }_0}$，$\widehat{{\beta }_1}$，$\dots$，$\widehat{{\beta }_k}$，记：
$$\widehat{y_i}=\widehat{{\beta }_0}+\widehat{{\beta }_1}{x}_{i1}+\dots +{\beta }_k{x}_{ik}$$
令
$$\hat{Y}=\left[\begin{array}{c}\widehat{y_1}\\ \widehat{y_2}\\ \dots \\ \widehat{y_n}\end{array}\right]，X=\left[\begin{array}{c}1x_{11}{x}_{12}\dots x_{1k}\\ 1x_{21}{x}_{22}\dots x_{2k}\\ \dots \\ 1x_{n1}{x}_{n2}\dots x_{nk}\end{array}\right]，\hat{\beta }=\left[\begin{array}{c}\widehat{{\beta }_0}\\ \widehat{{\beta }_1}\\ \dots \\ \widehat{{\beta }_k}\end{array}\right]$$

根据最小二乘法，使$Q=\sum (y_i-\widehat{y_i}{)}^2=\sum (y_i-\widehat{{\beta }_0}-\widehat{{\beta }_1}{x}_{i1}-\dots -{\beta }_k{x}_{ik}{)}^2$达到最小，即真实数据到拟合平面的距离的平方和最小时，拟合情况最佳。可以解得：
$$\hat{\beta }=(X^{T}X{)}^{-1}(X^{T}Y)$$

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拟合优度判定

多元线性回归的拟合优度判定的$离差平方和SST、回归平方和(SSR)、残差平方和(SSE)$与一元线性回归是一样的。

调整的多重判定系数$R_{\alpha }^2=1-(1-R^2)(\frac{n-1}{n-k-1})=1-(1-\frac{SSR}{SST})(\frac{n-1}{n-k-1})\in [0,1]$，越接近1，拟合越好；越接近0，拟合越差。前面的相关系数$r$实际就是判定系数$R^2$的平方根。

均方残差$MSE=\frac{SSE}{n-k-1}$，估计标准误差$s_e=\sqrt{MSE}=\sqrt{\frac{SSE}{n-k-1}}$是误差项$ϵ$的标准差$\sigma$的估计，估计标准差$s_e$越接近于0，回归平面对各观测点的代表性就越好

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显著性检验

（1）线性关系的检验

第一步：提出假设
$$H_0:{\beta }_i=0(i=1,2,\dots ,p)$$

第二步：计算检验统计量
$$F=\frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}\sim F(k,n-k-1)$$
第三步：进行决策

先查表得出$F_{\alpha }(k,n-k-1)$的值，若$F>F_{\alpha }(k,n-k-1)$，拒绝$H_0$，表明存在显著线性关系

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（2）回归系数的检验==（检验自变量对因变量的影响是否显著）==

第一步：提出假设
$$H_0:{\beta }_i=0(i=1,2,\dots ,p)$$
第二步：计算检验统计量
$$t=\frac{\widehat{{\beta }_i}}{s_{\widehat{{\beta }_i}}}\sim t(n-p-1),其中s_{\widehat{{\beta }_i}}=\frac{s_e}{\sqrt{\sum x_i^2-\frac{1}{n}(\sum x_i{)}^2}}$$
第三步：进行决策

先查表得出$t_{\frac{\alpha }{2}}(n-p-1)$的值，若$|t|>t_{\frac{\alpha }{2}}(n-p-1)$，拒绝$H_0$，表明回归系数等于0的可能性小于$\alpha$，自变量对因变量的影响是显著的

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预测

（1）点估计

利用估计的回归方程：$\hat{y}=\widehat{{\beta }_0}+\widehat{{\beta }_1}{x}_1+\dots +\widehat{{\beta }_k}{x}_k$，对于给定自变量的值$x_1，x_2，\dots ，x_k$，求出一个估计值

（2）区间估计

$y$的$1-\alpha$的预测区间（置信）区间为$[{\hat{y}}_1,{\hat{y}}_2]$，其中：
$$\{\begin{array}{l}{\hat{y}}_1=\hat{y}-{\hat{\sigma }}_e\sqrt{1+{\sum }_{i=0}^k{\sum }_{j=0}^k{c}_{ij}{x}_i{x}_j{t}_{1-\frac{\alpha }{2}}(n-k-1)}\\ {\hat{y}}_1=\hat{y}+{\hat{\sigma }}_e\sqrt{1+{\sum }_{i=0}^k{\sum }_{j=0}^k{c}_{ij}{x}_i{x}_j{t}_{1-\frac{\alpha }{2}}(n-k-1)}\end{array}$$
$C=L^{-1}=(c_{ij})，L=X^{\prime }X$