【LetMeFly】2741.特别的排列：状压DP

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/special-permutations/

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 n 个 互不相同 的正整数。如果 nums 的一个排列满足以下条件，我们称它是一个特别的排列：

• 对于 0 <= i < n - 1 的下标 i ，要么 nums[i] % nums[i+1] == 0 ，要么 nums[i+1] % nums[i] == 0 。

请你返回特别排列的总数目，由于答案可能很大，请将它对 109 + 7 取余 后返回。

 

示例 1：

输入：nums = [2,3,6]
输出：2
解释：[3,6,2] 和 [2,6,3] 是 nums 两个特别的排列。

示例 2：

输入：nums = [1,4,3]
输出：2
解释：[3,1,4] 和 [4,1,3] 是 nums 两个特别的排列。

 

提示：

• 2 <= nums.length <= 14
• 1 <= nums[i] <= 109

解题方法：状态压缩的动态规划

需要明白的是，若要看 “在特别排列[a, b, c]的基础上添加元素d生成的[a, b, c, d]”是否为特别排列，只需要判断c和d是否能整除或被整除即可。

因此，对于一个特别排列，我们只关心这个排列的最后一个数字以及这个排列中已经有了哪些数字。

对于“这个排列中已经有了哪些数字”，我们可以使用“一个整数二进制下的低$n$位”来表示。

因此，我们可以定义一个DP数组，dp[state][last]表示排列中出现的数字们为state，排列最后一个数字为last时的“特别排列”数。

这个数是怎么得到的呢？假设prev在当前排列中（state & (1 << prev) ≠ 0）且prev和last是倍数关系，那么这个排列可以由“这个排列移除last的最后一个数为prev的排列”拼接上last得到。

因此有状态转移方程：$dp[state][last]={\sum }_{prev\in state}dp[state-(1<<last)][prev]$。

• 时间复杂度$O(2^n{n}^2)$
• 空间复杂度$O(2^{n}n)$

AC代码

C++

const static long long MOD = 1e9 + 7;class Solution {
public:int specialPerm(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<vector<long long>> dp(1 << n, vector<long long>(n, 0));for (int i = 0; i < n; i++) {dp[1 << i][i] = 1;}for (int state = 0; state < (1 << n); state++) {for (int prev = 0; prev < n; prev++) {  // 上一位for (int last = 0; last < n; last++) {  // 最后一位if ((state & (1 << last)) && (state & (1 << prev)) && last != prev && (nums[last] % nums[prev] == 0 || nums[prev] % nums[last] == 0)) {dp[state][last] = (dp[state][last] + dp[state ^ (1 << last)][prev]) % MOD;}}}}long long ans = 0;for (int last = 0; last < n; last++) {ans = (ans + dp[(1 << n) - 1][last]) % MOD;}return ans;}
};

Python

附上一个Python超时版本。不想提前判断剪枝优化了。。。

from typing import ListMOD = 1_000_000_007class Solution:def specialPerm(self, nums: List[int]) -> int:n = len(nums)dp = [[0 for _ in range(n)] for __ in range(1 << n)]for i in range(n):dp[1 << i][i] = 1for state in range(1 << n):for last in range(n):for prev in range(n):if (state & (1 << last)) and (state & (1 << prev)) and (nums[prev] % nums[last] == 0 or nums[last] % nums[prev] == 0):dp[state][last] = (dp[state][last] + dp[state ^ (1 << last)][prev]) % MODans = 0for i in range(n):ans = (ans + dp[(1 << n) - 1][i]) % MODreturn ansif __name__ == '__main__':print(Solution.specialPerm('', [838335396, 241654240, 937115884, 795934157, 907282921, 71642053, 242720010, 16417709, 706807579, 752842522, 162230770, 425078819, 793563691, 522087056]))

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Tisfy：https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/140000372