题目

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给你一个由 不同 整数组成的数组 $nums$，和一个目标整数 $target$ 。请你从 $nums$ 中找出并返回总和为 $target$ 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 $32$ 位整数范围。

示例 1：
**输入：**nums = [1,2,3], target = 4
**输出：**7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：
**输入：**nums = [9], target = 3
**输出：**0

提示：

• $1\le nums.length\le 200$
• $1\le nums[i]\le 1000$
• $nums$ 中的所有元素 互不相同
• $1\le target\le 1000$

思路

这道题可以使用动态规划来解决。我们定义一个数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示选取的元素之和等于 $i$ 的方案数。目标是求 $dp[target]$。

动态规划的边界是 $dp[0]=1$，因为只有当不选取任何元素时，元素之和才为 $0$，所以只有 $1$ 种方案。

对于 $1\le i\le target$，我们遍历数组 $nums$ 中的每个元素 $num$，当 $num\le i$ 时，将 $dp[i-num]$ 的值加到 $dp[i]$。

最终，$dp[target]$ 的值即为答案。

通过遍历数组 $nums$ 中的每个元素来更新 $dp[i]$ 的值，不同的选取顺序都会被考虑到。

代码

class Solution {
public:long long dp[1010];int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {dp[0]=1;for(int i=0;i<=target;i++){for(int j=0;j<nums.size();j++){if(i>=nums[j])dp[i]=(int)dp[i]+dp[i-nums[j]];}}return dp[target];}
};

复杂度分析

时间复杂度

假设数组 $nums$ 的长度为 $n$，目标整数为 $target$，那么时间复杂度为 $O(n\cdot target)$

空间复杂度

空间复杂度为 $O(target)$，即动态规划数组的长度

结果

总结

动态规划