基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计

一、向量模式

1、向量模式原理

1.1

1.2

2、向量模式的MATLAB仿真

3、向量模式的FPGA实现

3.1 预处理

3.2 迭代

3.3 结果计算

一、向量模式

1、向量模式原理

已知直角坐标下一点（x，y），如何求该点在极坐标系的坐标（ρ, $\theta$ ）?当x和y都为正数时，有 $\theta$ = $\arctan (y/x)$ ,求 $\theta$ 的过程即就是求反正切函数的过程。CORDIC算法的思想就是：将向量（x，y）顺时针旋转一定的度数，如果旋转之后纵坐标为0，那么累计旋转的度数就是 $\theta$ ，横坐标x的值就是ρ，也就是向量的模长。、

设( $x_{^{0}}, y_{^{0}}$ )为原始坐标,以原点为中心，顺时针旋 $\theta$ 之后的坐标为( $x_{^{1}}, y_{^{1}}$ ),则有如下公式：

那么每一次旋转的方程都可以这样表示:

上式经过多次迭代之后， $x_{^{i+1}}$ 就是模长ρ,对于上式迭代有如下化简。

1.1 $\tan \theta ^{_{i}}=2^{-i}$

前面通过提取公共系数 $\cos \theta$ 将乘法的次数减少了一半，进一步化简从 $\tan \theta$ 入手：除了 $\tan (\pi /4)$ 为1外，其余 $\tan \theta$ 均为无理数，必须进行乘法操作，但乘法其实也是由多个移位器组成，因此如果旋转某个特殊的 $\theta$ 值,使得 $\tan \theta$ 为简单移位操作，则所有的旋转乘法都可以修改为移位算法。

目前能够将乘法变为移位操作的序列通常都是1/2的n次方或者这些数的组合，例如 $a\times (1/2)^{^{-2}}$ ,计算就可以转化为a右移2位，即a>>2。基于这种思想，可以使各次移位的角度满足 $\tan \theta ^{_{i}}=2^{-i}$ 或者 $\theta$ = $\arctan (1/2^{n})$ ，计算出正切值如下表所示。

1.2 $K_{n}$

表达式中 $\cos \theta$ 在迭代时只是一个系数，旋转过程中这个系数与角度 $\theta$ 的大小无关且只需关注 $y_{i+1}$ $^{_{_{}}}$

趋近于0即可，因此迭代过程中可将 $\cos \theta$ 的值忽略为1，这样带来的结果是每次旋转后的新坐标模值都比前一次上，具体情况如下图所示。

在仅求解 $\theta$ 时可以忽略掉系数 $\cos \theta$ ,，但求模值时， $\cos \theta$ 每次都会使得横坐标变长， $\cos \theta$ 是一系列固定的值，每次迭代过程中可以忽略，在最终计算模长时统一处理。

$K_{n}$ 每一次都作为乘积因子出现补偿由于旋转作用带来的模长减小，对于确定迭代次数n的方程而言它是一个确定的乘数。

该乘法多项式的极限为：

1.3 $d_{i}$

在每次顺时针旋转后，若纵坐标 $y_{i}$ 大于0，说明旋转的度数不够，下一次迭代还要顺时针接着旋转；若纵坐标 $y_{i}$ 小于0，说明旋转的度数太大，下一次迭代就要变为逆时针往回补偿。

所以在向量伪旋转的基础上引入 $d_{i}$ 来描述向量旋转的方向， $d_{i}$ 决定了 $\tan \theta$ 的正负，进而表示旋转方向，当 $y_{i}$ >0时，

顺时针旋转，取1，逆时针则相反。

同时，引入角度累加器参数z用来记录向量的总旋转角度。

综上所述我们得到第i次的迭代方程：

因此n次旋转后 $P_{n}$ 的坐标为：

设 $z_{0}$ =0，那么 $z_{n}$ 就是对应向量的相角, $x_{n}*K_{n}$ 就是对应向量的模值。

2、向量模式的MATLAB仿真

第一步：生成数值表，由数值表，第16次迭代可以达到0.001精度的要求。

迭代次数	角度	tan()正切值	K系数	1/K
0	45	1	0.707106781	1.414213562
1	26.56505118	0.5	0.632455532	1.58113883
2	14.03624347	0.25	0.613571991	1.629800601
3	7.125016349	0.125	0.608833913	1.642484066
4	3.576334375	0.0625	0.607648256	1.645688916
5	1.789910608	0.03125	0.60735177	1.646492279
6	0.89517371	0.015625	0.607277644	1.646693254
7	0.447614171	0.0078125	0.607259112	1.646743507
8	0.2238105	0.00390625	0.607254479	1.64675607
9	0.111905677	0.001953125	0.607253321	1.646759211
10	0.055952892	0.000976563	0.607253032	1.646759996
11	0.027976453	0.000488281	0.607252959	1.646760193
12	0.013988227	0.000244141	0.607252941	1.646760242
13	0.006994114	0.00012207	0.607252937	1.646760254
14	0.003497057	6.10E-05	0.607252935	1.646760257
15	0.001748528	3.05E-05	0.607252935	1.646760258
16	0.000874264	1.53E-05	0.607252935	1.646760258
17	0.000437132	7.63E-06	0.607252935	1.646760258
18	0.000218566	3.81E-06	0.607252935	1.646760258
19	0.000109283	1.91E-06	0.607252935	1.646760258

第二步：开始迭代。

3、向量模式的FPGA实现

3.1 预处理

表中的角度值都为浮点数，在硬件在不易实现，故而将角度做乘法以适当扩大，便于硬件计算。由仿真可知，要达到0.001精度需要16次迭代，也就是说 $_{}$ $x^{_{n}}$ 和 $y^{_{n}}$ 最小需要乘以 $2^{_{-16}}$ 后做加减，故而在开始16次迭代之前，首先将初始值 $x^{_{0}}$ 和 $y^{_{0}}$ 都算数左移16位，相当于先乘以 $2^{_{16}}$ ，这样可以保证16次迭代中，x和y都一定是整形计算。另外，为了统一起见，这里对所有角度也都乘以 $2^{_{16}}$ ，同样保证角度累加z为整形计算。这样处理后计算的结果也都是乘以 $2^{_{16}}$ 的值，将结果再算数右移16位即得到原始结果。