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416.分割等和子集

动态规划法

1049.最后一块石头的重量 II

动态规划法

494.目标和

XXX法

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416.分割等和子集

• 题目链接：416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

动态规划法

• 解题思路

  • 背包的体积为sum / 2

  • 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值

  • 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。

  • 背包中每一个元素是不可重复放入。

• 解题步骤

  • 确定dp数组以及下标的含义：01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。套到本题，dp[j]表示背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。

  • 确定递推公式：01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

  • dp数组如何初始化：首先dp[0]一定是0。如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

  • 确定遍历顺序：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历

  • 举例推导dp数组：dp[j]的数值一定是小于等于j的。如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j

• 代码一：动态规划

// 时间复杂度：O(n^2)
// 空间复杂度：O(n)，虽然dp数组大小为一个常数，但是大常数
class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;// dp[i]中的i表示背包内总和// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了vector<int> dp(10001, 0);for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {sum += nums[i];}// 也可以使用库函数一步求和// int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;// 开始 01背包for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}// 集合中的元素正好可以凑成总和targetif (dp[target] == target) return true;return false;}
};

1049.最后一块石头的重量 II

• 题目链接：1049. 最后一块石头的重量 II - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

动态规划法

• 解题思路

  • 本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

  • 本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]

• • 确定dp数组以及下标的含义：dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

  • 确定递推公式：01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

  • dp数组如何初始化：既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。这里就直接用15000了。因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

  • 确定遍历顺序：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

  • 举例推导dp数组：dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]

• 代码一：动态规划

// 时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
// 空间复杂度：O(m)
class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {vector<int> dp(15001, 0);int sum = 0;for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];int target = sum / 2;for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);}}return sum - dp[target] - dp[target];}
};

494.目标和

• 题目链接：494. 目标和 - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

XXX法

• 解题思路

  • 本题要如何使表达式结果为target，既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

• 解题步骤

  • 确定dp数组以及下标的含义：dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。

  • 确定递推公式：有nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

  • dp数组如何初始化：从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。

  • 确定遍历顺序：nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

  • 举例推导dp数组：

• 代码一：动态规划

// 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
// 空间复杂度：O(m)，m为背包容量
class Solution {
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {int sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案int bagSize = (S + sum) / 2;vector<int> dp(bagSize + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {dp[j] += dp[j - nums[i]];}}return dp[bagSize];}
};