期权无风险套利(Risk-Free Arbitrage)举例以及期权无套利定价公式

期权市场的无风险套利

中文版

期权市场中的套利实例

为了清楚地说明,让我们通过一个现实的例子来展示套利。

期权市场中的套利实例

假设市场上有以下价格:

  • 标的股票价格:100美元
  • 欧式看涨期权(行权价100美元,3个月到期):8美元
  • 欧式看跌期权(行权价100美元,3个月到期):5美元
  • 无风险利率:2%(年化)

我们使用一个经典的套利策略,称为“转换套利”:

转换套利策略

转换套利涉及买入标的股票、买入看跌期权并卖出看涨期权。如果期权与标的股票之间存在定价错误,此策略可以锁定无风险利润。

逐步过程:
  1. 买入标的股票

    • 以100美元购买1股XYZ公司股票。
  2. 买入欧式看跌期权

    • 以5美元购买一个行权价为100美元的看跌期权。
  3. 卖出欧式看涨期权

    • 以8美元卖出一个行权价为100美元的看涨期权。
总初始投资:
  • 购买股票:100美元
  • 购买看跌期权:5美元
  • 卖出看涨期权:-8美元(你收到8美元)

总初始投资 = 100美元(股票) + 5美元(看跌期权) - 8美元(看涨期权) = 97美元

到期时的收益:

无论股票价格在到期时是多少,你的头寸都是对冲的:

  1. 如果股票价格高于100美元(例如110美元)

    • 看跌期权作废。
    • 看涨期权被执行,你以100美元卖出股票。
    • 你收到100美元。
  2. 如果股票价格低于100美元(例如90美元)

    • 看跌期权被执行,你以100美元卖出股票。
    • 看涨期权作废。
    • 你收到100美元。

在这两种情况下,你到期时都得到100美元。

利润计算:
  • 到期时收到的总金额:100美元
  • 总初始投资:97美元

利润 = 100美元 - 97美元 = 3美元

这是由于期权相对于标的股票的初始定价错误而获得的无风险利润3美元。

无套利例子

在一个无套利市场中,不会存在这样的差异。看涨期权和看跌期权的价格会与股票价格和无风险利率对齐,以便上述策略不会产生无风险利润。

无套利条件下的期权定价实际例子

在无套利条件下,期权的价格应该符合以下无套利定价公式:

C − P = S − K × e − r t C - P = S - K \times e^{-rt} CP=SK×ert

其中:

  • ( C ) 是看涨期权的价格
  • ( P ) 是看跌期权的价格
  • ( S ) 是股票价格
  • ( K ) 是行权价
  • ( r ) 是无风险利率
  • ( t ) 是到期时间
实例说明

假设以下市场条件:

  • 标的股票价格(S):100美元
  • 行权价(K):100美元
  • 无风险利率(r):2%(年化)
  • 到期时间(t):3个月(即0.25年)

我们需要验证期权价格是否满足无套利条件。假设当前市场价格:

  • 看涨期权价格(C):8美元
  • 看跌期权价格(P):4.5美元

现在,我们将这些数值代入无套利定价公式来验证:

计算无套利定价公式

首先计算右边的表达式 ( K × e − r t K \times e^{-rt} K×ert ):

K × e − r t = 100 × e − 0.02 × 0.25 K \times e^{-rt} = 100 \times e^{-0.02 \times 0.25} K×ert=100×e0.02×0.25

计算 ( e − 0.02 × 0.25 e^{-0.02 \times 0.25} e0.02×0.25 ):

e − 0.005 ≈ 0.995 e^{-0.005} \approx 0.995 e0.0050.995

因此:

100 × 0.995 = 99.5 100 \times 0.995 = 99.5 100×0.995=99.5

代入公式:

C − P = S − K × e − r t C - P = S - K \times e^{-rt} CP=SK×ert

左边是:

8 - 4.5 = 3.5

右边是:

100 - 99.5 = 0.5

显然,这里不满足无套利条件。

调整后的无套利定价

为了满足无套利条件,我们需要调整看跌期权的价格,使公式成立:

C − P = S − K × e − r t C - P = S - K \times e^{-rt} CP=SK×ert

即:

8 − P = 100 − 99.5 8 - P = 100 - 99.5 8P=10099.5

8 − P = 0.5 8 - P = 0.5 8P=0.5

P = 8 − 0.5 = 7.5 P = 8 - 0.5 = 7.5 P=80.5=7.5

所以,在无套利条件下,看跌期权的价格应为7.5美元。

总结
  • 看涨期权价格(C):8美元
  • 看跌期权价格(P):7.5美元

在这个调整后的例子中:

8 − 7.5 = 100 − 99.5 8 - 7.5 = 100 - 99.5 87.5=10099.5

0.5 = 0.5 0.5 = 0.5 0.5=0.5

这满足了无套利条件。因此,市场在这种情况下没有套利机会,所有期权价格是合理的。

结合前面的无风险套利实例

前面的套利例子中,通过构建保护性看跌和备兑看涨策略,我们发现期权价格存在偏差,导致无风险利润。现在,我们通过无套利条件调整了看跌期权的价格,使其符合市场有效性,从而消除了套利机会。

这个例子说明了在无套利市场中,期权价格如何通过无套利定价公式保持一致,以防止套利机会。

英文版

Example of Arbitrage in the Options Market

To illustrate more clearly, let’s go through a more realistic example of arbitrage.

Example of Arbitrage in the Options Market

Assume the following market prices:

  • Underlying stock price: $100
  • European call option (strike price $100, 3 months to expiry): $8
  • European put option (strike price $100, 3 months to expiry): $5
  • Risk-free interest rate: 2% (annualized)

We will use a classic arbitrage strategy known as a “conversion arbitrage.”

Conversion Arbitrage Strategy

Conversion arbitrage involves buying the underlying stock, buying a put option, and selling a call option. If there is a pricing discrepancy between the options and the underlying stock, this strategy can lock in a risk-free profit.

Step-by-Step Process:
  1. Buy the underlying stock:

    • Purchase 1 share of XYZ company stock at $100.
  2. Buy a European put option:

    • Purchase a put option with a strike price of $100 for $5.
  3. Sell a European call option:

    • Sell a call option with a strike price of $100 for $8.
Total Initial Investment:
  • Purchase of stock: $100
  • Purchase of put option: $5
  • Sale of call option: -$8 (you receive $8)

Total initial investment = $100 (stock) + $5 (put option) - $8 (call option) = $97

Payoff at Expiration:

Regardless of the stock price at expiration, your positions are hedged:

  1. If the stock price is above $100 (e.g., $110):

    • The put option expires worthless.
    • The call option is exercised, and you sell the stock at $100.
    • You receive $100.
  2. If the stock price is below $100 (e.g., $90):

    • The put option is exercised, and you sell the stock at $100.
    • The call option expires worthless.
    • You receive $100.

In both cases, you receive $100 at expiration.

Profit Calculation:
  • Total amount received at expiration: $100
  • Total initial investment: $97

Profit = $100 - $97 = $3

This $3 risk-free profit is due to the initial mispricing of the options relative to the stock.

Example of No-Arbitrage

In a no-arbitrage market, such discrepancies would not exist. The prices of call and put options would align with the stock price and the risk-free interest rate, preventing such risk-free profits from being made.

Example of No-Arbitrage Pricing in the Options Market

In a no-arbitrage market, option prices should satisfy the following no-arbitrage pricing formula:

C − P = S − K × e − r t C - P = S - K \times e^{-rt} CP=SK×ert

where:

  • ( C ) is the price of the call option
  • ( P ) is the price of the put option
  • ( S ) is the stock price
  • ( K ) is the strike price
  • ( r ) is the risk-free interest rate
  • ( t ) is the time to expiration
Example Illustration

Assume the following market conditions:

  • Stock price (S): $100
  • Strike price (K): $100
  • Risk-free interest rate ( r): 2% (annualized)
  • Time to expiration (t): 3 months (or 0.25 years)

We need to verify if the option prices meet the no-arbitrage condition. Assume the current market prices are:

  • Call option price ( C): $8
  • Put option price ( P): $4.5

Let’s plug these values into the no-arbitrage pricing formula to verify:

Calculating the No-Arbitrage Pricing Formula

First, calculate the right side of the equation ( K × e − r t K \times e^{-rt} K×ert ):

K × e − r t = 100 × e − 0.02 × 0.25 K \times e^{-rt} = 100 \times e^{-0.02 \times 0.25} K×ert=100×e0.02×0.25

Calculate ( e − 0.02 × 0.25 e^{-0.02 \times 0.25} e0.02×0.25 ):

e − 0.005 ≈ 0.995 e^{-0.005} \approx 0.995 e0.0050.995

Thus:

100 × 0.995 = 99.5 100 \times 0.995 = 99.5 100×0.995=99.5

Substitute into the formula:

C − P = S − K × e − r t C - P = S - K \times e^{-rt} CP=SK×ert

Left side:

8 − 4.5 = 3.5 8 - 4.5 = 3.5 84.5=3.5

Right side:

100 − 99.5 = 0.5 100 - 99.5 = 0.5 10099.5=0.5

Clearly, this does not satisfy the no-arbitrage condition.

Adjusted No-Arbitrage Pricing

To satisfy the no-arbitrage condition, we need to adjust the put option price so that the formula holds:

C − P = S − K × e − r t C - P = S - K \times e^{-rt} CP=SK×ert

So:

8 − P = 100 − 99.5 8 - P = 100 - 99.5 8P=10099.5

8 − P = 0.5 8 - P = 0.5 8P=0.5

P = 8 − 0.5 = 7.5 P = 8 - 0.5 = 7.5 P=80.5=7.5

Therefore, under the no-arbitrage condition, the put option price should be $7.5.

Summary
  • Call option price ( C): $8
  • Put option price ( P): $7.5

In this adjusted example:

8 − 7.5 = 100 − 99.5 8 - 7.5 = 100 - 99.5 87.5=10099.5

0.5 = 0.5 0.5 = 0.5 0.5=0.5

This satisfies the no-arbitrage condition. Thus, the market in this case has no arbitrage opportunities, and all option prices are fair.

Relating to the Previous Risk-Free Arbitrage Example

In the previous arbitrage example, we identified a pricing discrepancy through the protective put and covered call strategy, leading to a risk-free profit. Now, by adjusting the put option price to meet the no-arbitrage condition, we ensure market efficiency and eliminate the arbitrage opportunity.

This example illustrates how option prices, in a no-arbitrage market, are aligned by the no-arbitrage pricing formula to prevent arbitrage opportunities.

后记

2024年6月16日于上海。基于GPT4o模型。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/pingmian/28398.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

MySQL 保姆级教程(六):用通配符进行过滤

第 8 章 用通配符进行过滤 8.1 LIKE 操作符 通配符: 用来匹配值的一部分的特殊字符 搜索模式: 由字面值、通配符或两者组合构成的搜索条件 为了在搜索子句中使用通配符,必须使用 LIKE 操作符 8.1.1 百分号(%)通配符 输入: SELECT server_…

MongoDB~分片数据存储Chunk;其迁移原理、影响,以及避免手段

分片数据存储:Chunk存储 Chunk(块) 是 MongoDB 分片集群的一个核心概念,其本质上就是由一组 Document 组成的逻辑数据单元。每个 Chunk 包含一定范围片键的数据,互不相交且并集为全部数据。 分片集群不会记录每条数据…

Python 基础:类

目录 一、类的概念二、定义类三、创建对象并进行访问四、修改属性的值方法一:句点表示法直接访问并修改方法二:通过方法进行修改 五、继承继承父类属性和方法重写父类方法 六、将实例用作属性七、导入类导入单个类从一个模块中导入多个类导入整个模块导入…

C语言的基本输入输出函数+构造类型数据——数组

C语言的基本输入输出函数 1. 字符输入输出函数 getchar()、putchar() getchar():从标准输入(通常是键盘)读取一个字符,并返回其ASCII值。putchar():将指定的字符(由其ASCII值表示)写入标准输出…

Java Stream流 takeWhile,dropWhile

一. takeWhile 顺序返回符合条件的值,一旦条件不符合立即停止继续判断在元素5之后,虽然还有 < 5 的数据,但是不会作为条件进行判断 // 创建一个Stream流 Stream<Integer> streamNum1 Stream.of(2, 3, 4, 5, 6, 1, 1, 3);List<Integer> numList1 streamNum1.…

10_Transformer预热---注意力机制(Attention)

1.1 什么是注意力机制(attention) 注意力机制&#xff08;Attention Mechanism&#xff09;是一种在神经网络中用于增强模型处理特定输入特征的能力的技术。它最早被应用于自然语言处理&#xff08;NLP&#xff09;任务中&#xff0c;特别是在机器翻译中&#xff0c;如Google的…

python14 字典类型

字典类型 键值对方式&#xff0c;可变数据类型&#xff0c;所以有增删改功能 声明方式1 {} 大括号&#xff0c;示例 d {key1 : value1, key2 : value2, key3 : value3 ....} 声明方式2 使用内置函数 dict() 创建1)通过映射函数创建字典zip(list1,list2) 继承了序列的所有操作 …

Linux基础I/O之文件描述符fd 重定向(上)

目录 一、预备知识 二、C语言中的文件接口 三、系统调用中的文件接口 一、预备知识 首先我们要明确的一个观点是 --- 文件 内容 属性。而且我们之前也还将过一个概念&#xff0c;那就是Linux下一切皆文件。 内容是数据&#xff0c;属性也是数据 --- 那么也就是说我…

使用STL算法函数有效提升STL列表的搜索速度(附源码)

STL(Standard Templete Library)活动模板库已被广泛地应用于各种C++程序的开发中,STL中vector、list、map等列表极大地方便了我们日常的开发,不再需要我们去实现链表等数据结构,使用这些列表能基本能解决开发过程中遇到的各种问题。网上关于STL的文章比较多,今天我们就来…

代码随想录——组合总和Ⅱ(Leetcode 40)需要回顾

题目链接 回溯 本题的难点在于&#xff1a;集合&#xff08;数组candidates&#xff09;有重复元素&#xff0c;但还不能有重复的组合。 思想&#xff1a;元素在同一个组合内是可以重复的&#xff0c;怎么重复都没事&#xff0c;但两个组合不能相同。所以要去重的是同一树…

统计套利—配对交易策略

配对交易是一种基于统计学的交易策略&#xff0c;通过两只股票的差价来获取收益&#xff0c;因而与很多策略不同&#xff0c;它是一种中性策略&#xff0c;理论上可以做到和大盘走势完全无关。 配对交易的基本原理是&#xff0c;两个相似公司的股票&#xff0c;其股价走势虽然在…

SpringSecurity(JWT、SecurityConfig、Redis)

可能会报错Last unit does not have enough valid bits 把jwtUtils的KEY改成偶数位 主要用于校验&#xff0c;授权 导入依赖 <dependency) <groupId>org.springframework. boot</groupId> <artifactId>spring-boot-starter-security</artifactId) <…

[Linux] TCP协议介绍(3): TCP协议的“四次挥手“过程、状态分析...

TCP协议是面向连接的 上一篇文章简单分析了TCP通信非常重要的建立连接的"三次握手"的过程 本篇文章来分析TCP通信中同样非常重要的断开连接的"四次挥手"的过程 TCP的"四次挥手" TCP协议建立连接 需要"三次握手". "三次挥手&q…

基于STM32和人工智能的自动驾驶小车系统

目录 引言环境准备自动驾驶小车系统基础代码实现&#xff1a;实现自动驾驶小车系统 4.1 数据采集模块4.2 数据处理与分析4.3 控制系统4.4 用户界面与数据可视化应用场景&#xff1a;自动驾驶应用与优化问题解决方案与优化收尾与总结 1. 引言 随着人工智能和嵌入式系统技术的…

稀疏矩阵是什么 如何求

稀疏矩阵是一种特殊类型的矩阵&#xff0c;其中大多数元素都是零。由于稀疏矩阵中非零元素的数量远少于零元素&#xff0c;因此可以使用特定的数据结构和算法来高效地存储和处理它们&#xff0c;从而节省存储空间和计算时间。 RowPtr 数组中的每个元素表示对应行的第一个非零元…

变压器纵联差动保护的Simulink仿真

利用Simulink在变压器空载合闸励磁涌流的仿真模型的基础上将变压器改为采用Yd11联结且不考虑饱和特性,增加外部故障模块Fault2,得到新的仿真模型如图1所示。 图1 变压器的Simulink仿真模型 在建立模型时,请注意三相电压电流测量模块Um,UN的方向。比率制动特性纵差保护…

Docker 镜像****后,如何给Ubuntu手动安装 docker 服务

Docker 镜像****后&#xff0c;如何给Ubuntu手动安装 docker 服务 下载地址下载自己需要的安装包使用下面的命令进行安装启动服务 最近由于某些未知原因&#xff0c;国内的docker镜像全部被停。刚好需要重新安装自己的笔记本为双系统&#xff0c;在原来的Windows下&#xff0c;…

目标检测算法SSD与FasterRCNN

目标检测算法SSD与FasterRCNN SSD:&#xff08; Single Shot MultiBox Detector&#xff09;特点是在不同特征尺度上预测不同尺度的目标。 SSD网络结构 首先对网络的特征进行说明&#xff1a;输入的图像是300x300的三通道彩色图像。 网络的第一个部分贯穿到Vgg16模型 Conv5的…

工厂方法模式实战之某商场一次促销活动

目录 1.5.1、前言1.5.2、实战场景简介1.5.3、开发环境1.5.4、用传统的if-else语句实现1.5.4.1、工程结构1.5.4.2、if-else需求实现1.5.4.3、测试验证 1.5.5、工厂模式优化代码1.5.5.1、工程结构1.5.5.2、代码实现1.5.5.2.1、定义各种商品发放接口及接口实现1.5.5.2.2、定义工厂…

解释一下 Flux

Flux 是 Facebook 提出的应用架构模式&#xff0c;用于管理 React 应用中的数据流和状态。它强调单向数据流&#xff0c;以解决复杂应用中数据和视图不一致的问题。Flux 不是一个具体的库或框架&#xff0c;而是一种设计模式&#xff0c;围绕以下几个核心概念&#xff1a; Acti…