深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - CrossEntropyLoss

flyfish

本系列的主要内容是在2017年所写，GPT使用了交叉熵损失函数，所以就温故而知新，文中代码又用新版的PyTorch写了一遍，在看交叉熵损失函数遇到问题时，可先看链接提供的基础知识，可以有更深的理解。

深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - one-hot 编码
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 对数
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 概率基础
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 概率分布
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 损失函数
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 归一化
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 信息论（交叉熵）
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - Softmax
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - nn.LogSoftmax

深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - 似然
深入理解交叉熵损失CrossEntropyLoss - 乘积符号在似然函数中的应用

深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - nn.NLLLoss
深入理解交叉熵损失 CrossEntropyLoss - nn.CrossEntropyLoss

在 PyTorch 中， torch.nn.CrossEntropyLoss 是一个常用的 损失函数，主要用于多分类任务。它结合了 nn.LogSoftmax 和 nn.NLLLoss，并且内部进行了优化以避免 数值稳定性问题。

具体来说，torch.nn.CrossEntropyLoss 计算的是预测值与目标值之间的交叉熵损失。对于多分类问题，交叉熵损失是最常用的损失函数，因为它直接衡量了两个概率分布（预测概率分布和实际分布）之间的差异。

LogSoftmax和 NLLLoss两者的结合，对比立使用CrossEntropyLoss

nn.CrossEntropyLoss 在内部已经包含了 LogSoftmax 和 NLLLoss 的操作。
编写代码验证，分别是 LogSoftmax和 NLLLoss两者的结合，对比立使用CrossEntropyLoss。

import torch
import torch.nn as nn# 输入张量 (batch_size=2, num_classes=3)
input_tensor = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [1.0, 2.0, 3.0]])
# 目标张量 (batch_size=2)
target_tensor = torch.tensor([2, 0])# 使用 nn.LogSoftmax 和 nn.NLLLoss
log_softmax = nn.LogSoftmax(dim=1)
log_probs = log_softmax(input_tensor)
nll_loss = nn.NLLLoss()
loss = nll_loss(log_probs, target_tensor)
print(f'Loss using LogSoftmax and NLLLoss: {loss.item()}')# 使用 nn.CrossEntropyLoss
cross_entropy_loss = nn.CrossEntropyLoss()
loss_ce = cross_entropy_loss(input_tensor, target_tensor)
print(f'Loss using CrossEntropyLoss: {loss_ce.item()}')

输出结果
Loss using LogSoftmax and NLLLoss: 1.4076058864593506
Loss using CrossEntropyLoss: 1.4076058864593506

解释

对于单个样本，交叉熵损失的定义如下：

$$\text{CrossEntropyLoss}=-\sum _{i=1}^C{y}_i\log ({\hat{y}}_i)$$

其中：

• $C$ 是类别的数量。
• $y_i$ 是真实标签的一个one-hot编码（若样本属于类别 $i$，则 $y_i=1$，否则 $y_i=0$）。
• ${\hat{y}}_i$ 是模型预测的第 $i$ 类的概率。

直观解释 Softmax和负对数似然

交叉熵损失结合了两个概念：

1. Softmax
   首先将模型输出的原始分数（logits）通过 softmax 函数转换成概率分布，Softmax 函数将 logits 转换为概率分布。对于一个有 $C$ 个类别的分类问题，Softmax 公式如下：

$${\hat{y}}_i=\frac{\exp (z_i)}{{\sum }_{j=1}^C\exp (z_j)}$$

其中 $z_i$ 是第 $i$ 类的 logit。

2. 负对数似然
   计算这些概率分布与真实标签之间的负对数似然。在获得概率分布后，交叉熵损失计算真实标签的负对数概率。如果真实标签对应的类别概率很高，损失就小；如果概率很低，损失就大。这驱动模型在训练过程中提高真实标签类别的预测概率。

以下是一个简单的示例，展示如何计算交叉熵损失：

import torch
import torch.nn as nn# 假设我们有两个样本，每个样本属于3个类别中的一个
logits = torch.tensor([[2.0, 1.0, 0.1], [0.5, 2.0, 0.3]])
# 真实标签
labels = torch.tensor([0, 1])# 使用 nn.CrossEntropyLoss 计算损失
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
loss = criterion(logits, labels)
print(f'Cross Entropy Loss: {loss.item()}')

Cross Entropy Loss: 0.37882310152053833
在这个示例中：

• logits 是模型输出的原始分数。
• labels 是真实的类别标签。
• nn.CrossEntropyLoss 会先将 logits 转换为概率分布，然后计算真实标签的负对数似然损失。

二分类问题

二分类交叉熵损失的公式为：

$$\text{CrossEntropyLoss}=-(y\log (\hat{y})+(1-y)\log (1-\hat{y}))$$

手动计算步骤

1. 计算 Sigmoid 激活值

假设:

• 真实标签 $y=1$
• 模型输出的logits为 $z=1.5$
  计算过程:
  $$\sigma (z)=\frac{1}{1+\exp (-1.5)}$$

我们使用更高精度来计算:
$$\exp (-1.5)\approx 0.22313016014842982$$
$$\sigma (z)=\frac{1}{1+0.22313016014842982}\approx \frac{1}{1.22313016014842982}\approx 0.8175744761936437$$

2. 计算交叉熵损失

$$\text{CrossEntropyLoss}=-(y\log (\sigma (z))+(1-y)\log (1-\sigma (z)))$$
$$\text{CrossEntropyLoss}=-\log (0.8175744761936437)$$
$$\log (0.8175744761936437)\approx -0.2014132779827524$$
$$\text{CrossEntropyLoss}\approx 0.2014132779827524$$

代码实现

import torch
import torch.nn as nn
import math# 真实标签和 logits
labels = torch.tensor([1.0])
logits = torch.tensor([1.5])# 使用 BCEWithLogitsLoss
criterion = nn.BCEWithLogitsLoss()
loss = criterion(logits, labels)
print(f'Binary Classification Cross Entropy Loss: {loss.item()}')# 手动计算 sigmoid 和交叉熵损失
sigmoid = 1 / (1 + math.exp(-1.5))
manual_loss = - (1 * math.log(sigmoid) + (1 - 1) * math.log(1 - sigmoid))
print(f'Manually Computed Cross Entropy Loss: {manual_loss}')

输出结果

Binary Classification Cross Entropy Loss: 0.20141397416591644
Manually Computed Cross Entropy Loss: 0.2014132779827524

多分类问题

假设有3个类别：

• 真实标签为第3类，所以one-hot编码 $y=[0,0,1]$。
• 模型预测的logits为 $\text{logits}=[0.1,0.2,0.7]$。

手动计算步骤

1. 计算Softmax：
   $${\hat{y}}_i=\frac{\exp (z_i)}{{\sum }_{k=1}^C\exp (z_k)}$$

具体计算：

$${\hat{y}}_1=\frac{\exp (0.1)}{\exp (0.1)+\exp (0.2)+\exp (0.7)}$$
$${\hat{y}}_2=\frac{\exp (0.2)}{\exp (0.1)+\exp (0.2)+\exp (0.7)}$$
$${\hat{y}}_3=\frac{\exp (0.7)}{\exp (0.1)+\exp (0.2)+\exp (0.7)}$$

计算得到：

$\exp (0.1)\approx 1.1052$
$\exp (0.2)\approx 1.2214$
$\exp (0.7)\approx 2.0138$

总和：

$$\exp (0.1)+\exp (0.2)+\exp (0.7)\approx 1.1052+1.2214+2.0138=4.3404$$

各个概率：

$${\hat{y}}_1=\frac{1.1052}{4.3404}\approx 0.2546$$
$${\hat{y}}_2=\frac{1.2214}{4.3404}\approx 0.2814$$
$${\hat{y}}_3=\frac{2.0138}{4.3404}\approx 0.4639$$

1. 计算交叉熵损失：
   $$\text{CrossEntropyLoss}=-(0\cdot \log (0.2546)+0\cdot \log (0.2814)+1\cdot \log (0.4639))$$
   $$\text{CrossEntropyLoss}=-\log (0.4639)\approx 0.769$$

代码验证

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F# 模拟输入的 logits 和真实标签
logits = torch.tensor([[0.1, 0.2, 0.7]], requires_grad=True)
labels = torch.tensor([2])# 使用 CrossEntropyLoss
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
loss = criterion(logits, labels)
print(f'Computed Cross Entropy Loss (using nn.CrossEntropyLoss): {loss.item()}')# 手动计算 softmax 和交叉熵损失
softmax_probs = F.softmax(logits, dim=1)
manual_loss = -torch.log(softmax_probs[0, labels])
print(f'Manually Computed Cross Entropy Loss: {manual_loss.item()}')

输出结果

Computed Cross Entropy Loss (using nn.CrossEntropyLoss): 0.7679495811462402
Manually Computed Cross Entropy Loss: 0.7679495811462402

注意在多分类问题的代码中，我们提供了logits而不是softmax后的概率，因为nn.CrossEntropyLoss会在内部应用softmax。

在二分类问题中，我们可以使用 nn.BCEWithLogitsLoss，它会在内部应用 Sigmoid 激活函数，并计算二分类的交叉熵损失。
在多分类问题中，我们可以使用 nn.CrossEntropyLoss，它会在内部应用 Softmax 激活函数，并计算多分类的交叉熵损失