高精度加法的实现

这是C++算法基础-基础算法专栏的第七篇文章，专栏详情请见此处。

引入

在C++语言中，int的可存储数据范围是-2147483648~2147483647，long long的可存储数据范围是-9223372036854775808~9223372036854775807，但是如果一些数据比long long的可存储数据还要大时，我们就不得不使用别的方法去储存与计算了，这种方法就是高精度计算。

下面我们就来讲高精度加法的实现。

定义

高精度计算（Arbitrary-Precision Arithmetic），也被称作大整数（bignum）计算，运用了一些算法结构来支持更大整数间的运算（数字大小超过语言内建整型）。

前置过程

这里我们用数组来实现高精度计算。

清除

先做一个简单的清除数组的操作。

void clear(int a[]){for(int i=0;i<L;i++)a[i]=0;
}

输入与储存

高精度计算数字的规模太大了，需要输入一个字符串，再把它放进数组里。

Q：怎样字符串转化为数组呢？

A：字符串的每一位都是字符，若想把它转化为数组，就需要用ASCII码进行偏移操作，将此字符减去‘0’。

还有一个问题，读入字符串时，数字最高位在字符串首（下标小的位置）。但是实际我们习惯在下标最小的位置存放数字的个位，即存储一个反转的字符串。

Q：为什么要存储一个反转的字符串呢？

A：这么做是因为两个数进行运算时通常从个位开始，且运算时数字的长度也有可能发生变化，但我们希望同样个位始终保持对齐，所以反转存储是最好的方式。

下面给出高精度计算的读入与储存代码：

void read(int a[]){cin>>s;int L=s.size();for(int i=0;i<L;i++)a[i]=s[L-1-i]-'0';
}

输出

输出一个数组没什么难的，但在高精度计算中，我们不希望将数组中的前导零输出，故需要从最高位开始向下寻找第一个非零的位置，从这里开始输出。

你会发现在代码中，终止条件是 $i >= 1$ 而不是 $i >= 0$ ，这是因为若这个数字本身就是0，则需要输出个位。

下面给出高精度计算的输出代码：

void print(int a[]){int i;for(i=L-1;i>=1;i--){if(a[i]!=0)break;}for(;i>=0;i--)cout<<a[i];cout<<endl;
}

主体过程

高精度加法的原理和小学学习的竖式加法是一样的。

概括来说，从个位开始，将两个加数相对应的每一位相加，存进和的对应位置上，若当前位达到 $10$ ，进位，也就是将下一位加 $1$ ，并把当前位减 $10$ 。

$123+89$ 用高精度计算，先加个位， $3+9$ 得 $12$ ，发现 $12$ 大于等于 $10$ ，所以将 $12$ 减 $10$ ，得 $2$ ，将其存入答案的个位，将十位加 $1$ ；

再加十位， $1+2+8$ 得 $11$ ，发现 $11$ 大于等于 $10$ ，所以将 $11$ 减 $10$ ，得 $1$ ，将其存入答案的十位，将十位加 $1$ ；

最后加百位， $1+1+0$ 得 $2$ ，发现 $2$ 不大于等于 $10$ ，所以直接将 $2$ 存入答案的百位。得到答案 $212$ 。

下面给出高精度加法的代码：

void add(int a[],int b[],int c[]){clear(c);for(int i=0;i<L-1;++i){c[i]+=a[i]+b[i];if(c[i]>=10){c[i+1]+=1;c[i]-=10;}}
}

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