高精度加法的实现

         这是C++算法基础-基础算法专栏的第七篇文章,专栏详情请见此处


引入

        在C++语言中,int的可存储数据范围是-2147483648~2147483647,long long的可存储数据范围是-9223372036854775808~9223372036854775807,但是如果一些数据比long long的可存储数据还要大时,我们就不得不使用别的方法去储存与计算了,这种方法就是高精度计算。

        下面我们就来讲高精度加法的实现。

定义

        高精度计算(Arbitrary-Precision Arithmetic),也被称作大整数(bignum)计算,运用了一些算法结构来支持更大整数间的运算(数字大小超过语言内建整型)。

前置过程

        这里我们用数组来实现高精度计算。

        清除

        先做一个简单的清除数组的操作。

void clear(int a[]){for(int i=0;i<L;i++)a[i]=0;
}
        输入与储存 

        高精度计算数字的规模太大了,需要输入一个字符串,再把它放进数组里。

Q:怎样字符串转化为数组呢?

A:字符串的每一位都是字符,若想把它转化为数组,就需要用ASCII码进行偏移操作,将此字符减去‘0’。

        还有一个问题,读入字符串时,数字最高位在字符串首(下标小的位置)。但是实际我们习惯在下标最小的位置存放数字的个位,即存储一个反转的字符串

Q:为什么要存储一个反转的字符串呢?

A:这么做是因为两个数进行运算时通常从个位开始,且运算时数字的长度也有可能发生变化,但我们希望同样个位始终保持对齐,所以反转存储是最好的方式。

        下面给出高精度计算的读入与储存代码:

void read(int a[]){cin>>s;int L=s.size();for(int i=0;i<L;i++)a[i]=s[L-1-i]-'0';
}
        输出

        输出一个数组没什么难的,但在高精度计算中,我们不希望将数组中的前导零输出,故需要从最高位开始向下寻找第一个非零的位置,从这里开始输出。

        你会发现在代码中,终止条件是i >= 1而不是i >= 0,这是因为若这个数字本身就是0,则需要输出个位

        下面给出高精度计算的输出代码:

void print(int a[]){int i;for(i=L-1;i>=1;i--){if(a[i]!=0)break;}for(;i>=0;i--)cout<<a[i];cout<<endl;
}

主体过程

        高精度加法的原理和小学学习的竖式加法是一样的。

        概括来说,从个位开始,将两个加数相对应的每一位相加,存进和的对应位置上,若当前位达到10进位,也就是将下一位加1,并把当前位减10

        123+89用高精度计算,先加个位,3+912,发现12大于等于10,所以将1210,得2,将其存入答案的个位,将十位加1

        再加十位,1+2+811,发现11大于等于10,所以将1110,得1,将其存入答案的十位,将十位加1

        最后加百位,1+1+02,发现2不大于等于10,所以直接将2存入答案的百位。得到答案212

        下面给出高精度加法的代码:

void add(int a[],int b[],int c[]){clear(c);for(int i=0;i<L-1;++i){c[i]+=a[i]+b[i];if(c[i]>=10){c[i+1]+=1;c[i]-=10;}}
}

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