Codeforces Round 948 (Div. 2) A~D

A. Little Nikita （思维）

题意：

小 $A$ 决定用一些立方体建一座塔。一开始，塔上没有任何立方体。在一次移动中，小 $A$ 要么正好把 $1$ 个立方体放到塔顶，要么正好从塔顶移走 $1$ 个立方体。存不存在一种可能使得在走了 $n$ 步之后，塔顶正好有 $m$ 个立方体？

分析：

当 $\ge m$ 并且 $n, m$ 奇偶性一样才符合题意，否则不可以。

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main() {int T;cin >> T;while (T--) {int n, m;cin >> n >> m;if (n >= m && (n - m) % 2 == 0) {cout << "Yes" << endl;} else {cout << "No" << endl;}}return 0;
}

B.Binary Colouring （思维）

题意：

给你一个正整数 $x$ 。请找出下列条件成立的任意整数数组 $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ ：

$\le n \le 32$ ,
$a_i$ 是 $1$ 、 $0$ 或 $- 1$
$\displaystyle{\sum_{i=0}^{n - 1}{a_i \cdot 2^i}}$ ,
不存在同时满足 $a_{i} \neq 0$ 和 $a_{i + 1} \neq 0$ 的下标 $i$

保证存在一个有效的数组。

分析：

如果没有相邻两项必有一项为 $0$ 的限制，那么就是写出 $n$ 的二进制形式。如果 $n$ 的二进制有大于等于 $2$ 个 $1$ 相邻，将最低位置为 $- 1$ ，最高位的后一项置为 $1$ ，双指针判断即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 998244353;int main() {int T;cin >> T;while (T--) {int n;cin >> n;vector<int> a(32), b(32);for (int i = 0; i <= 31; i++) {if (n >> i & 1) {a[i] = 1;b[i] = 1;} else {a[i] = 0;b[i] = 0;}}for (int i = 0; i < 32;) {if (a[i] != 0 && b[i + 1] != 0) {int pos = i;while (a[i] != 0 && i <= 31) {i++;b[i] = 0;}a[i] = 1;b[pos] = -1;b[i] = 1;if (i == 32)break;} else {i++;if (i == 32)break;}}cout << 32 << endl;for (int i = 0; i < 32; i++) {cout << b[i] << " ";}cout << endl;}return 0;
}

C.Nikita and LCM（数学）

题意：

假设有一个长度为 $n$ 的整数数组 $a$ 。如果数组的一个子序列的最小公倍数 $(L CM)$ 不包含在 $a$ 中，称该子序列为特殊序列。空子序列的 $L CM$ 等于 $0$ 。
询问 $a$ 的最长特殊子序列的长度是多少？

分析：

如果所有数的最小公倍数大于数组中最大值，那么就可以全选。否则数组中所有数一定都是最小公倍数的约数，那么我们就能保证最终选出来的数组的最小公倍数一定也是其约数。那么我们枚举可能的约数然后判断一遍即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 998244353;LL gcd(LL a, LL b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}LL lcm(LL a, LL b) {return a * b / gcd(a, b);
}int main() {int T;cin >> T;while (T--) {int n;cin >> n;vector<int> a(n);for (int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i];sort(a.begin(), a.end());set<int> tmp;for (int i = 0; i < n; i++)tmp.insert(a[i]);bool ok = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (a[n - 1] % a[i])ok = 1;}if (ok) {cout << n << endl;continue;}int ans = 0;auto check = [&](int x) -> int {if (tmp.find(x) != tmp.end())return 0;int g = 1;int cnt = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int num = lcm(g, a[i]);if (x % num)continue;cnt++;g = num;}if (g != x)return 0;return cnt;};for (int i = 1; i * i <= a[n - 1]; i++) {if (a[n - 1] % i)continue;ans = max(ans, check(i));ans = max(ans, check(a[n - 1] / i));}cout << ans << endl;}return 0;
}

D.XORificator （字符串）

题意：

给一个仅由 $0$ 和 $1$ 组成 $\times m$ 矩阵。你可以反转一次所选行中的所有值。规定矩阵中的一列如果正好包含一个 $1$ ，则被视为特殊列。在至多进行一次操作的情况下，请找出最多有多少列可以被特殊化。

分析：

我们发现对于每一列，若它们对答案有贡献，一共有 $n$ 种情况，且这 $n$ 种情况一定各不相同，那么我们把各列的这些情况全部记录下来，同时记录出现次数，记作 $c n t$ 。
我们将字符串记作哈希值，那么答案就是 $c n t$ 中的最大值。这样我们同时也知道答案对应的字符串哈希值 $n u m$ ，我们重新枚举各列对答案的贡献 $t m p$ ，当 $t m p = n u m$ 即找到对应的字符串。

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
using ULL = unsigned long long;
const int maxn = 3e5 + 5;
static const ULL mod = (1ull << 61) - 1;
ULL power[maxn];
mt19937_64 rnd(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
uniform_int_distribution<ULL> dist(mod / 2, mod - 1);
const ULL base = dist(rnd);static inline ULL add(ULL a, ULL b) {a += b;if (a >= mod)a -= mod;return a;
}static inline ULL mul(ULL a, ULL b) {__uint128_t c = __uint128_t(a) * b;return add(c >> 61, c & mod);
}ULL merge(ULL h1, ULL h2, int len2) {return add(mul(h1, power[len2]), h2);
}void init() {power[0] = 1;for (int i = 1; i < maxn; i++)power[i] = mul(power[i - 1], base);
}ULL query(const vector<ULL> &s, int l, int r) {return add(s[r], mod - mul(s[l - 1], power[r - l + 1]));
}vector<ULL> build(const string &s) {int sz = s.size();vector<ULL> hashed(sz + 1);for (int i = 0; i < sz; i++) {hashed[i + 1] = add(mul(hashed[i], base), s[i]);}return hashed;
}int main() {init();int T;cin >> T;while (T--) {int n, m;cin >> n >> m;vector<string> s(m);for (int i = 0; i < m; i++)s[i].resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {cin >> s[j][i];}}unordered_map<ULL, int> mp;vector<vector<ULL>> tmp(m, vector<ULL>(n));for (int i = 0; i < m; i++) {auto hash = build(s[i]);for (int j = 1; j <= n; j++) {ULL hash1 = query(hash, 1, j - 1);ULL hash2 = ULL(s[i][j - 1] ^ 1);ULL hash3 = query(hash, j + 1, n);tmp[i][j - 1] = merge(merge(hash1, hash2, 1), hash3, n - j);mp[tmp[i][j - 1]] += 1;}}int maxval = -1;ULL ans = 0;for (auto &[x, y]: mp) {if (y > maxval) {maxval = y;ans = x;}}auto get = [&]() {for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (tmp[i][j] == ans) {s[i][j] ^= 1;cout << s[i] << endl;return;}}}};cout << maxval << endl;get();}return 0;
}