音频滤波

数字滤波器设计

一阶IIR数字滤波器的设计

最简单的低通滤波器

• 传递函数

$$H(s)=\frac{1}{1+s}$$

• 傅氏变换

$$H(j\Omega )=\frac{1}{1+j\Omega }$$

• 改造后的公式

$$H(s)=\frac{{\Omega }_c}{{\Omega }_c+s}$$

其中 ${\Omega }_c=2\ast \pi \ast f_c$ ， $f_c$​ 为截止频率

高通滤波器

将低通滤波器的的 $s=\frac{1}{s}$ 就得到高通滤波器了
$$H(s)=\frac{{\Omega }_{c}s}{{\Omega }_{c}s+1}$$

截止角频率 ${\Omega }_h=\frac{1}{{\Omega }_c}$ 得到
$$H(s)=\frac{s}{s+{\Omega }_h}$$
截止频率为$f_n = \frac{1}{2 \pi \Omega_h} $

带通滤波器

公式
$$s=\frac{s^2+{\Omega }_m^2}{B{W}_s}$$

带入最原始的低通滤波器得到传递函数：
$$H(s)=\frac{B{W}_s}{s^2+{\Omega }_m^2+B{W}_s}$$

带阻滤波器

公式：
$$s=\frac{s^2+{\Omega }_c^2}{B{W}_s}$$

带入初始的高通滤波器得到传递函数：
$$H(s)=\frac{s^2+{\Omega }_m^2}{s^2+{\Omega }_m^2+B{W}_s}$$

算法

高通滤波

1. 基本公式

• 经典模拟高通滤波器

$$H(s)=\frac{{\omega }_c}{s+{\omega }_c}$$

$H(s)$ 是拉普拉斯域中的传递函数

${\omega }_c$ 是截止频率的角频率 ${\omega }_c=2\ast \pi \ast f_c$ ， $f_c$​ 是截止频率

• 无限冲击响应 ( IIR ) 高通滤波器（简单版本）

$$y[n]=-\alpha \ast y[n-1]+x[n]$$

$y[n]$ 当前计算后的输出信号

$x[n]$ 是当前的输入信号

$y[n-1]$ 上次一计算后的输出信号

$\alpha$ 衰减系数

• 有限冲击响应 ( FIR ) 高通滤波器（常用查分方程

$$y[n]=\sum _{k=0}^{M-1}b[k]\ast x[n-k]$$

$y[n]$ 计算后的输出信号

$b[k]$ 滤波器系数

$x[n-k]$ 过去第 $k$ 个输入样本

$M$ 滤波器阶数

2. 源码（whisper.cpp 中给出的代码）

void high_pass_filter(std::vector<float> & data, float cutoff, float sample_rate) {const float rc = 1.0f / (2.0f * M_PI * cutoff);const float dt = 1.0f / sample_rate;const float alpha = dt / (rc + dt);float y = data[0];for (size_t i = 1; i < data.size(); i++) {y = alpha * (y + data[i] - data[i - 1]);data[i] = y;}
}

3. 源码公式解析

这段代码中包含的数学公式是针对高通滤波器的设计和应用。以下是公式及其功能：

• 时间常数 (RC Constant) 的计算:

$$rc=\frac{1.0}{2.0\ast \pi \ast cutoff}$$

这个公式计算了基于截止频率（cutoff）和圆周率（π）的时间常数 rc。

• 时间步长 (Sample Step) 的计算:

$$dt=\frac{1.0}{sample\_rate}$$

这个公式基于采样率 sample_rate 计算了时间步长 dt，是每次采样之间的时间间隔。

• 滤波器系数 (Alpha) 的计算:

$$\alpha =\frac{dt}{rc+dt}$$

这个公式计算了滤波器的系数 $\alpha$，它是构成滤波器整合公式的关键参数。

• 高通滤波器的递推公式:

$$y=\alpha \ast (y+data[i]-data[i-1])$$

这个公式是高通滤波器的核心，它定义了如何根据输入信号样本 $data[i]$ ，之前的结果 $y$ 和两个连续样本之间的差 $(data[i]-data[i-1])$ 来计算每个时间步长的输出值 $y$ 。

这些数学公式一起用于实现高通滤波器的数字模型，该模型以特定频率以上的声音为主，而忽略低频声音，通常用于音频处理中以去除低频噪声或重低音中的无用成分。

参考文档

一阶IIR数字滤波器的设计
whisper.cpp