非线性系统：相平面法

非线性系统的相平面法是一种重要的分析工具，用于研究系统的动力学行为。通过相平面法，可以直观地观察系统状态变量的变化，分析系统的稳定性、周期性和其他动力学特性。本文将详细介绍相平面法的基本思想、步骤、相轨迹的绘制方法，探讨线性系统与非线性系统的相平面分析，并提供一个非线性系统的程序示例，最后讨论相平面法的优缺点。

基本思想

相平面法通过将系统的状态变量表示在一个二维平面上，并绘制出这些变量随时间变化的轨迹，以揭示系统的动力学特性。相平面法可以帮助我们理解系统的稳定性、周期性行为、极限环等特性。

相平面法步骤

相平面法的基本步骤如下：

1. 建立系统的微分方程：
   对于一个二阶非线性系统，其微分方程可以表示为：
   $$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$$

2. 转换为一阶微分方程组：
   将二阶微分方程转换为两个一阶微分方程：
   $$\{\begin{array}{l}\dot{x}=y\\ \dot{y}=f(x,y)\end{array}$$

3. 数值求解微分方程：
   使用数值方法（如 Runge-Kutta 法）求解微分方程组，得到状态变量随时间的演化。

4. 绘制相平面和相轨迹：
   在相平面上绘制状态变量之间的关系，形成相轨迹。

相轨迹绘制方法

Python 实现相平面和相轨迹绘制

以下是一个简单的 Python 示例，展示了如何绘制 Van der Pol 振荡器的相平面和相轨迹。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivpdef van_der_pol(t, z, mu):x, y = zdxdt = ydydt = mu * (1 - x**2) * y - xreturn [dxdt, dydt]# 参数
mu = 1.0
t_span = (0, 100)
y0 = [1, 0]# 求解微分方程
sol = solve_ivp(van_der_pol, t_span, y0, args=(mu,), dense_output=True)# 绘制相平面和相轨迹
t = np.linspace(0, 100, 4000)
z = sol.sol(t)
x, y = zplt.plot(x, y, label='Van der Pol oscillator')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Phase Plane of Van der Pol Oscillator')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

在上述代码中，我们定义了 Van der Pol 振荡器的微分方程，并使用 solve_ivp 函数求解该方程。然后，我们在相平面上绘制出系统的相轨迹。

线性系统的相平面分析

线性系统的相平面分析是一种经典方法，用于研究线性微分方程的动力学行为。通过分析系统的特征值，可以判断系统的稳定性。

对于一个二阶线性系统，其状态方程可以表示为：
$$\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$$
其中，$\mathbf{x}=[x_1,x_2{]}^T$ 是状态向量，$A$ 是系统矩阵。

系统矩阵 $A$ 的特征值决定了系统在相平面上的行为：

• 如果特征值均为负实数，系统趋于稳定的平衡点。
• 如果特征值有正实数，系统是不稳定的。
• 如果特征值为复数且实部为负，系统表现出稳定的螺旋轨迹。
• 如果特征值为复数且实部为正，系统表现出不稳定的螺旋轨迹。

线性系统的相平面绘制示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义线性系统
A = np.array([[0, 1], [-2, -3]])# 求解特征值和特征向量
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)# 绘制特征向量
origin = np.array([[0, 0], [0, 0]])
fig, ax = plt.subplots()
ax.quiver(*origin, eigvecs[0,:], eigvecs[1,:], color=['r','b'], scale=5)# 设置坐标轴
ax.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
ax.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)plt.xlim(-2, 2)
plt.ylim(-2, 2)
plt.title('Phase Plane of Linear System')
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('x2')
plt.show()

非线性系统的相平面分析

非线性系统的相平面分析比线性系统复杂得多，因为非线性系统的动力学行为更加多样化。通过相平面法，可以直观地观察非线性系统的复杂行为，如极限环、混沌等。

示例：Van der Pol 振荡器

Van der Pol 振荡器是一个经典的非线性系统，其动力学方程为：
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=y\\ \dot{y}=\mu (1-x^2)y-x\end{array}$$

通过数值求解和绘制相轨迹，可以观察其在相平面上的动力学行为。

Python 实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivpdef van_der_pol(t, z, mu):x, y = zdxdt = ydydt = mu * (1 - x**2) * y - xreturn [dxdt, dydt]# 参数
mu = 1.0
t_span = (0, 100)
y0 = [1, 0]# 求解微分方程
sol = solve_ivp(van_der_pol, t_span, y0, args=(mu,), dense_output=True)# 绘制相平面和相轨迹
t = np.linspace(0, 100, 4000)
z = sol.sol(t)
x, y = zplt.plot(x, y, label='Van der Pol oscillator')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Phase Plane of Van der Pol Oscillator')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

优缺点

优点

1. 直观性：相平面法通过可视化的方式展示系统的状态变化，直观地揭示系统的动力学特性。
2. 分析稳定性：通过分析相轨迹，可以判断系统的平衡点和稳定性。
3. 揭示周期性行为：相平面法能够识别系统的周期性行为和极限环。

缺点

1. 限于二维系统：相平面法只适用于二维系统，对于高维系统无法直接应用。
2. 无法精确解析求解：相平面法主要是基于图形观察和分析，无法提供精确的定量信息。
3. 可视化有限：对于复杂的相轨迹和相平面，仅凭人眼可能无法完全捕捉到细微的变化和行为特征。
4. 对数值求解的依赖：相平面法通常依赖于数值计算和数值模拟，这涉及到选择适当的数值方法，并对数值误差和数值稳定性有充分的认识。

结论

相平面法是分析非线性系统的重要工具，通过绘制相轨迹，可以直观地观察和理解系统的动力学行为。虽然相平面法有其局限性，但它在揭示系统的稳定性、周期性和极限环等特性方面具有重要作用。希望本文能够帮助您更好地理解相平面法在非线性系统中的应用。如果您有任何问题或建议，欢迎在评论区留言讨论。
推荐两个可以直接绘制相轨迹的网站：
http://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/
http://www.bluffton.edu/homepages/facstaff/nesterd/java/slopefields.html