【放球问题】920. 播放列表的数量

本文涉及知识点

【组合数学隔板法容斥原理】放球问题

本题同解

【动态规划】【组合数学】【C++算法】920播放列表的数量

LeetCode 920. 播放列表的数量

你的音乐播放器里有 n 首不同的歌，在旅途中，你计划听 goal 首歌（不一定不同，即，允许歌曲重复）。你将会按如下规则创建播放列表：
每首歌至少播放一次。
一首歌只有在其他 k 首歌播放完之后才能再次播放。
给你 n、goal 和 k ，返回可以满足要求的播放列表的数量。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余的结果。
示例 1：
输入：n = 3, goal = 3, k = 1
输出：6
解释：有 6 种可能的播放列表。[1, 2, 3]，[1, 3, 2]，[2, 1, 3]，[2, 3, 1]，[3, 1, 2]，[3, 2, 1] 。
示例 2：
输入：n = 2, goal = 3, k = 0
输出：6
解释：有 6 种可能的播放列表。[1, 1, 2]，[1, 2, 1]，[2, 1, 1]，[2, 2, 1]，[2, 1, 2]，[1, 2, 2] 。
示例 3：
输入：n = 2, goal = 3, k = 1
输出：2
解释：有 2 种可能的播放列表。[1, 2, 1]，[2, 1, 2] 。
提示：
0 <= k < n <= goal <= 100

放球问题

我们将歌曲从0到n-1编号，假定（假定一）：遍号小的歌曲，先第一次播放。除第一次播放外，其它的播放无限制。
任何方案都可以分为两部分：前k个元素，假定是A,一定依次是0到k。后goal-k个元素我们假定是B。
现在来分析B：
将B的goal-k个元素，依次分到n-k个有序集合。第i个有序集合的元素播放第i首歌曲，含义如下：
一，首部元素，增加新歌。且序号是k+i。假定二
二，非首部元素，表示唱旧歌。除不能刚唱的k首外，序号第i小。
必须保证第i个集合的任意元素播放之前，B集合已经有i首新歌。约束一
下例就是违反约束一：
{2,3}{0,1} B的第0个元素，不可能是第1（从0开始）首新歌。
相同的集合，只有一种顺序符合约束一。
集合的首元素升序排序，第i个集合播放第i首歌曲。
显然这就是放球问题：
n-k个相同盒子，goal-k个不同的球，盒子不能为空。
注意：
假定一和假定二的新歌可以随意更换顺序，当新歌的顺序和方案确定后，旧歌曲的顺序也是确定的。故答案是：n! $\times$ 放球的方案数

代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};template<int MOD = 1000000007>
C1097Int<MOD> Pow(const C1097Int<MOD>& bi1, long long ii2) {return	bi1.pow(ii2);
}template<class T >
class CFactorial
{
public:CFactorial(int n):m_res(n+1){m_res[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {m_res[i] = m_res[i - 1] * i;}}	T Com(int iSel, int iCanSel)const {return m_res[iCanSel] / m_res[iSel]/ m_res[iCanSel - iSel];}T Com(const vector<int>& cnt)const {T biRet = 1;int iCanSel = std::accumulate(cnt.begin(), cnt.end(), 0);for (int j = 0; j < cnt.size(); j++) {biRet *= Com(cnt[j], iCanSel);iCanSel -= cnt[j];}return biRet;}vector<T> m_res;
};template<class T>
class CBallBox
{
public:CBallBox(int n,int m):m_iN(n),m_iM(m),m_fac(n+m){}T NotNotNot() {//球不同盒子不同不能为空return g(m_iM);}T NotIsNot() {//球不同盒子同不能为空return NotNotNot()/ m_fac.m_res[m_iM];}const int m_iM, m_iN;
protected:	T g(int m)const {T biRet;for (int i = 0; i <= m; i++) {	auto cur = m_fac.Com(i, m)  * Pow(T(m - i), m_iN);if (1 & i) {biRet -= cur;}else {biRet += cur;}}return biRet;}CFactorial<T> m_fac;
};class Solution {
public:int numMusicPlaylists(int n, int goal, int k) {CBallBox<C1097Int<>> ballBox(goal - k, n - k);C1097Int<> biRet = ballBox.NotIsNot();CFactorial<C1097Int<>> fac(n);biRet *= fac.m_res[n];return biRet.ToInt();}
};

扩展阅读

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