本文涉及知识点

回溯 栈 代数系统 动态规划

LeetCode 282. 给表达式添加运算符

给定一个仅包含数字 0-9 的字符串 num 和一个目标值整数 target ，在 num 的数字之间添加 二元 运算符（不是一元）+、- 或 * ，返回 所有 能够得到 target 的表达式。
注意，返回表达式中的操作数 不应该 包含前导零。
示例 1:
输入: num = “123”, target = 6
输出: [“1+2+3”, “123”]
解释: “123” 和 “1+2+3” 的值都是6。
示例 2:
输入: num = “232”, target = 8
输出: [“23+2", "2+32”]
解释: “23+2” 和 “2+32” 的值都是8。
示例 3:
输入: num = “3456237490”, target = 9191
输出: []
解释: 表达式 “3456237490” 无法得到 9191 。
提示：
1 <= num.length <= 10
num 仅含数字
-2³¹ <= target <= 2³¹ - 1

分析

n = num.length,$\forall i\in [0,n-1)有四种可能：+-\ast 任何都不加$，比如：12，有以下四种可能:1+2 1$\times$ 2 1-2 12。
可能数为：O(4^n-1)由于n-1最多为9，所以< 4 ⁹ $\approx$ 4¹⁰/4
n等于10时，会超过int的表示范围，所以需要long long。

回溯 + 栈

通过回溯枚举所有的可能，然后利用栈计算表达式。

代数系统

nums[0…i]的某种状态的结果为：{ch,ll1,ll2,ll3}
ch ：最后一个运算符，+ - $\times$ 空格表示没有运算符。
ll1是这种状态的结果。
ll2只对乘法有效果，和最和一个数相乘的积。
ll3为最后一个数。
如：1 +2$\times$ 3$\times$ 4 的 结果为{*,25,6,4}

ch为空格

新运算为ch1，nums[i+1]为x

空格	{‘ ’，ll1*10+x,0,0}
+	{‘+’,ll1+x,0,x}
-	{‘-’,ll1-x,0,x}
*	{'',ll1x,ll1,x}

情况太复杂，懒的枚举。其本质上是利用了实数集 S 和运算符 +（- 的本质也是 +）和 * 能够组成代数系统。利用代数系统 (S,+,∗)，我们可以确保运算过程中的任意一个中间结果，都能使用形如 a + b $\times$ c 的形式进行表示，因此我们只需要多维护一个后缀串结果即可。
下面来证明：
初始状态为合法的代数系统：{0,1,nums[0]}。
令nums[0…i]的某合法状态为{a,b,c}，则以下四种操作，都是合法状态：
直接拼接：{a,b,c*10+x}
加法：{a+b$\times$c,1,x}
减法：{a+b$\times$c,-1,x}
乘法：{a,b $\times$ c,x}
不能有前导0，如果nums[i]为0，则nums[i]和nums[i+1]无法拼接。

区间动态规划

动态规划的状态表示

dp[i][j] 记录nums[i…j]所有可能的结果。

动态规划的状态方程

dp[i][j] +=$Fo{r}_{k=i}^{j-1}Fo{r}_{x:\in dp[i][k]}Fo{r}_{y:\in dp[k+1][j]}Do(x,y)$
Do(x,y)包括：
x$\times$10^len(y)+y

x+y
x-y
x$\times$y

动态规划的初始值

dp[i][i] = {nums[i]}

动态规划的填表顺序

长度(j-i+1) 2$\to$ n，i:0$\to$i-1。

动态规划的返回值

dp[0][n-1].count(target)

注意：

还需要记录各值的计算过程，同一个值可能有多个计算方法。

代数系统代码

核心代码

class Solution {
public:vector<string> addOperators(string num, int target) {vector<char> ope;vector<string> vRet;std::function<void(long long, long long, long long)> BackTrack = [&](long long a, long long b, long long c) {if (ope.size() + 1 == num.length()) {long long res = a + b * c;if (target == res) {string cur;for (int i = 0; i < ope.size(); i++) {cur += num[i];if (0 != ope[i]) { cur += ope[i]; }}cur += num.back();vRet.emplace_back(cur);}return;}long long x = num[ope.size() + 1]-'0';ope.emplace_back('*');BackTrack(a, b * c, x);ope.pop_back();ope.emplace_back('+');BackTrack(a+b*c, 1, x);ope.pop_back();ope.emplace_back('-');BackTrack(a + b * c, -1, x);ope.pop_back();if(0 != c ){ope.emplace_back('\0');BackTrack(a,b,c*10+x);ope.pop_back();}};BackTrack(0, 1, num[0]-'0');return vRet;}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){assert(v1[i] == v2[i]);}
}template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}int main()
{string num;int target;{Solution slu;num = "00", target = 0;auto res = slu.addOperators(num, target);Assert({ "0*0","0+0","0-0" }, res);}{Solution slu;num = "123", target = 6;auto res = slu.addOperators(num, target);Assert({"1*2*3", "1+2+3" }, res);}{Solution slu;num = "232", target = 8;auto res = slu.addOperators(num, target);Assert({ "2*3+2", "2+3*2" }, res);}{Solution slu;num = "3456237490", target = 9191;auto res = slu.addOperators(num, target);Assert({  }, res);}{Solution slu;num = "010", target = 0;auto res = slu.addOperators(num, target);Assert({ "0*1*0","0*1+0","0*1-0","0*10","0+1*0","0-1*0" }, res);}}

2023年5月版也是代数系统

class Solution {
public:vector<string> addOperators(string num, int target) {std::unordered_map < string, std::tuple< long long, long long, long long >> preValueMulValue;preValueMulValue.emplace(std::string("") + num[0], std::make_tuple(num[0] - '0', num[0] - '0', num[0] - '0'));for (int i = 1; i < num.size(); i++){const char& ch = num[i];const int iBit = num[i] - '0';std::unordered_map < string, std::tuple< long long, long long, long long >>  valueMulValue;for (const auto& it1 : preValueMulValue){const long long& iValue = std::get<0>(it1.second);const long long& iMul = std::get<1>(it1.second);const long long& iEnd = std::get<2>(it1.second);const long long iMulPre = (0 == iEnd) ? 0 : iMul / iEnd;//不加符号if ((0 != iEnd) ){valueMulValue.emplace(it1.first + ch, std::make_tuple(iValue + iMulPre * (iEnd * 9 + iBit), iMulPre * (iEnd * 10 + iBit), iEnd * 10 + iBit));}//增加加号valueMulValue.emplace(it1.first + '+' + ch, std::make_tuple(iValue + iBit,iBit,iBit));//增加减号valueMulValue.emplace(it1.first + '-' + ch, std::make_tuple(iValue - iBit, -iBit, iBit));//增加乘号valueMulValue.emplace(it1.first + '*' + ch, std::make_tuple(iValue + iMul*(iBit - 1), iMul*iBit,iBit));}preValueMulValue.swap(valueMulValue);}vector<string> vRet;for (const auto& it1 : preValueMulValue){if (target == std::get<0>( it1.second)){vRet.emplace_back(it1.first);}}return vRet;}};

2023年8月版 也是代数系统

class Solution {
public:
vector addOperators(string num, int target) {
m_strNum = num;
m_iTarget = target;
const auto& iBit = num.front() - ‘0’;
dfs(num.substr(0, 1),1, iBit, iBit, iBit);
return m_vRet;
}
void dfs(string exp, int hasDo,const long long llValue, long long endMulValue,long long endValue)
{
if (hasDo == m_strNum.length())
{
if (llValue == m_iTarget)
{
m_vRet.emplace_back(exp);
}
return ;
}
const auto& chBit = m_strNum[hasDo] ;
const auto& iBit = chBit - ‘0’;
//1+2*3 llValue=7 endMulValue=6 endValue=3 exincludeEnd=1 preMul=2
long long exincludeEnd = llValue - endMulValue;
long long preMul = (0== endValue)? 0 : endMulValue / endValue;

	#define NEW_END_MUL  (preMul*llNewEnd)//直接连接//1+2*34  llValue=69 endMulValue=68 endValue=34 exincludeEnd=1 preMul=2long long llNewEnd = endValue * 10 + ((endValue<0) ? -iBit : iBit);if (0 != endValue ){dfs(exp + chBit, hasDo + 1, exincludeEnd + NEW_END_MUL, NEW_END_MUL, llNewEnd);}//乘以llNewEnd = iBit;preMul = endMulValue;dfs(exp + '*'+ chBit, hasDo + 1, exincludeEnd + NEW_END_MUL, NEW_END_MUL, llNewEnd);preMul = 1;exincludeEnd = llValue;dfs(exp + '+' + chBit, hasDo + 1, exincludeEnd + NEW_END_MUL, NEW_END_MUL, llNewEnd);llNewEnd = -iBit;dfs(exp + '-' + chBit, hasDo + 1, exincludeEnd + NEW_END_MUL, NEW_END_MUL, llNewEnd);
}
string m_strNum;
int m_iTarget;
vector<string> m_vRet;

};

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。