🍍原文： 图像加密笔记之 Arnold 变换及 Matlab 代码实现

🍍写在前面： 在原文的基础上补全了代码。注意，Matlab 貌似是从 1 开始计数的，而非 0！

1 核心代码

$\mathsf{Arnold}$ 变换的置乱代码如下：

img_new=zeros(h,w)  % h和w分别是原始图像的高度和宽度
for i=1:n  % n是置乱的轮数for y=1:hfor x=1:w           xx=mod((x-1)+b*(y-1),N)+1;  % a和b是可自行指定的参数yy=mod(a*(x-1)+(a*b+1)*(y-1),N)+1;        img_new(yy,xx)=img(y,x);                endendimg=img_new;
end

$\mathsf{Arnold}$ 变换的还原代码如下：

img=img_new;  % img_new是置乱后的图像
for i=1:nfor y=1:hfor x=1:w            xx=mod((a*b+1)*(x-1)-b*(y-1),N)+1;yy=mod(-a*(x-1)+(y-1),N)+1;img_new(yy,xx)=img(y,x);endendimg=img_new;
end

简而言之，置乱就是根据公式重新设置每个像素的位置，还原就是根据公式恢复每个像素原本的位置。

2 完整代码

补全后的代码如下，代码说明见后文：

close  all
X = imread('white_bear.jpg'); 
I = rgb2gray(X);
[h, w]=size(I);N = h; % 等于图片长度和宽度
a = 2; % 设置参数
b = 3; % 设置参数
n = 5; % n为置乱轮数% 置乱--------------------------------------------------
imagesArray = zeros(h, w, 3, n);
img = I;
img_new = zeros(h,w);
for i=1:nfor y=1:hfor x=1:w           xx=mod((x-1)+b*(y-1),N)+1;yy=mod(a*(x-1)+(a*b+1)*(y-1),N)+1;        img_new(yy,xx)=img(y,x);endendimg = cat(3, img_new, img_new, img_new);imagesArray(:,:,:,i) = img;
endfigure('Name','置乱前后的图像')
subplot(2,3,1);imshow(I);title('原始图像','FontSize',12);for i=1:ntitleStr = ['置乱次数=', num2str(i)];subplot(2,3,1+i);imshow(uint8(imagesArray(:,:,:,i)));title(titleStr,'FontSize',12);
end% 还原--------------------------------------------------
imagesNewArray = zeros(h, w, 3, n);
imagesNewArray(:, :, :, 1) = imagesArray(:, :, :, n);
img = imagesArray(:, :, :, n);for i=2:n+1for y=1:hfor x=1:w            xx=mod((a*b+1)*(x-1)-b*(y-1),N)+1;yy=mod(-a*(x-1)+(y-1),N)+1;        img_new(yy,xx)=img(y,x);                   endendimg = cat(3, img_new, img_new, img_new);imagesNewArray(:,:,:,i) = img;
endfigure('Name','还原前后的图像')
for i=1:n+1titleStr = ['还原次数=', num2str(i-1)];subplot(2,3,i);imshow(uint8(imagesNewArray(:,:,:,i)));title(titleStr,'FontSize',12);
end

2.1 初始设置

close  all
X = imread('white_bear.jpg'); 
I = rgb2gray(X);
[h, w]=size(I);N = h; % 等于图片长度和宽度
a = 2; % 设置参数
b = 3; % 设置参数
n = 5; % n为置乱轮数

• imread()：读取原始图像。请根据自己的需求填写图像名；
• rgb2gray()：将原始图像转换为灰度图像；
• size()：获取原始图像的高度 $\mathsf{h}$ 和宽度 $\mathsf{w}$；
• N = h：由于我的原始图像比例为 $1:1$，因此填高度或宽度都行。

2.2 置乱操作

我在核心代码的基础上加入了一个数组和画图的代码。

img = I;
img_new = zeros(h, w);
imagesArray = zeros(h, w, 3, n);

• $\mathsf{img}$ 变量用于存放原始图像；
• $img\_new$ 的大小必须与 $\mathsf{img}$ 的一致，否则无法赋值；
• $\mathsf{imagesArray}$ 数组的大小为 $\mathsf{n}$，所存放的变量大小为 $\mathsf{h}\times \mathsf{w}\times 3$；

$\mathsf{imagesArray}$ 数组用于存储第 $i$ 轮的置乱结果，即第 $i$ 轮生成的 $img\_new$，它的大小是 $\mathsf{h}\times \mathsf{w}$。后文会解释为什么还需要一个 $3$。

for i=1:nfor y=1:hfor x=1:w           xx=mod((x-1)+b*(y-1),N)+1;yy=mod(a*(x-1)+(a*b+1)*(y-1),N)+1;        img_new(yy,xx)=img(y,x);endendimg = cat(3, img_new, img_new, img_new); % 将灰度图像的通道数变为3imagesArray(:, :, :, i) = img;
end

上述代码中，只有倒数第二行、第三行和核心代码的不一样。

• cat(3,...)：在第 $3$ 个维度上将 $3$ 个 $img\_new$ 拼接起来；
• imagesArray(:, :, :, i)：将 $\mathsf{img}$ 存入 $\mathsf{imagesArray}$ 数组中；

说明：由于画图代码中的 $\mathsf{imshow}$ 函数要求输入值的大小为 $\mathsf{M}\times \mathsf{N}\times 3$，因此我们需要把 $img\_new$ 这一灰度图像的通道数变为 $3$，即把 $3$ 个 $img\_new$ 拼接起来。其中，$img\_new$ 的大小是 $\mathsf{M}\times \mathsf{N}\times 1(\mathsf{M}=\mathsf{h},\mathsf{N}=\mathsf{w})$。

figure('Name','置乱前后的图像')
subplot(2,3,1);imshow(I);title('原始图像','FontSize',12);for i=1:ntitleStr = ['置乱次数=', num2str(i)];subplot(2,3,1+i);imshow(uint8(imagesArray(:,:,:,i)));title(titleStr,'FontSize',12);
end

• $\mathsf{for}$ 循环前：绘制原始图像；
• $\mathsf{for}$ 循环内：绘制置乱 $i$ 次后的图像。

2.3 还原操作

同样地，我在核心代码的基础上加入了一个数组和画图的代码。

img = imagesArray(:, :, :, n);
imagesNewArray = zeros(h, w, 3, n);
imagesNewArray(:, :, :, 1) = imagesArray(:, :, :, n);

• $\mathsf{img}$ 变量用于存放置乱 $n$ 次后的结果；
• $\mathsf{imagesNewArray}$ 数组用于存放还原 $i$ 次后的结果；

$\mathsf{imagesNewArray}$ 数组中的元素与 $\mathsf{imagesArray}$ 数组中的元素前后对应。后续代码逻辑与置乱操作同理，不再赘述。