数据结构与算法之堆: Leetcode 313. 超级丑数 (Typescript版)

超级丑数

https://leetcode.cn/problems/super-ugly-number/

描述

超级丑数是一个正整数，并满足其所有质因数都出现在质数数组 primes 中。
给你一个整数 n 和一个整数数组 primes ，返回第 n 个超级丑数。
题目数据保证第 n 个超级丑数在 32-bit 带符号整数范围内。

示例 1

输入：n = 12, primes = [2,7,13,19]
输出：32 
解释：给定长度为 4 的质数数组 primes = [2,7,13,19]，前 12 个超级丑数序列为：[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。

示例 2

输入：n = 1, primes = [2,3,5]
输出：1
解释：1 不含质因数，因此它的所有质因数都在质数数组 primes = [2,3,5] 中。

提示

1 <= n <= $10^5$
1 <= primes.length <= 100
2 <= primes[i] <= 1000
题目数据保证 primes[i] 是一个质数
primes 中的所有值都互不相同，且按递增顺序排列

算法实现

首先要了解下质数
- 又称素数，有无限个
- 质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数
再看下质因数
- 是一个数的约数，并且是质数
再次要了解丑数
- 只包含因子2,3,5的正整数被称为丑数，比如4,10,12都是丑数，而7,23,111则不是丑数，另外1也是丑数
超级丑数
- 和丑数不是一回事
- 是指所有质因数都是长度为k的质数列表primes中的正整数

1 ）将问题分而治之

class Ugly {n: number = 0;primes: number[] = [];constructor (n: number, primes: number[]) {this.n = n;this.primes = primes;}// 获取第n个超级丑数，本质是一个查询操作getNthUg() {const res = [1]; // 超级丑数列表let i = 2; // 从2开始找const { primes, n } = this;while (res.length < n) {const arr = Ugly.getPrimes(i); // 获取当前i的所有质因数列表const l = arr.length; // 质因数列表长度的let j = 0; // 指针往上数// 遍历当前i的所有质因数找到和primes列表中匹配的质因数, 有一个不匹配都算失败for (; j < l; j++) {// 匹配不到则退出if (!primes.find(item => item === arr[j])) break;}// 这时候上面的for循环遍历完成, 而且当前i的所有质因数都匹配成功, 就可以进行下一步的操作if (j === l) {(l === 0) && primes.find((item) => item === i) && res.push(i); // 当前没有质因数(上面for不会执行)，但是当前的i在给定列表中，存储i(满足超级丑数)(l !== 0) && res.push(i); // 当前i存在质因数列表时，存储 i(满足超级丑数)}i++; // i 递增}return res[n - 1]; // 获取第n个}// 计算指定正整数n的质因数static getPrimes (n) {const prime = (n) => {const arr = []; // 存储所有的质因数for (let i = 2; i <= n / 2; i++) {if (n % i === 0 && !prime(i).length) arr.push(i); // 这里有一个递归找质因数}return arr;}return prime(n);}
}function nthSuperUglyNumber(n: number, primes: number[]): number {const ugly = new Ugly(n, primes);return ugly.getNthUg();
};

思路：
- 给定任意整数，算出其质因数
- 质因数是否在指定质因数范围内
- 是否达到指定个数 n
干扰点：丑数和超级丑数不是一回事
正整数的质因数的算法
- 如果这个正整数是n, 它的因数(约数)的范围一定在 [2, n/2]
- 当然这个 n/2 可能不是整数，但是范围就在这儿
- 先判断是否是因数: n能被i整除
- 质因数：不仅要满足是因数，而且都是质数(除了1和它本身没有其他因数)
- 质数如何解决呢，这里就用到了递归，如果整数后找不到其他因数，则本身就是质数
- 这里 !prime(i).length 是判断质数的关键
还要注意 getNthUg 方法中的查询操作，这是一个循规蹈矩的做法，但是性能很低
- 性能瓶颈在，查找两个数组的方法
- 目前在第 77 个 case 的时候, 提示：超出时间限制
- 我们需要提升查找效率

2 ）使用堆结构来提升查找性能，优化版

class Ugly {n: number = 0;primes: MaxHeap;constructor (n: number, primes: number[]) {this.n = n;this.primes = new MaxHeap(primes);}// 获取第n个超级丑数，本质是一个查询操作getNthUg() {const res = [1];let i = 2; // 从2开始找const { primes, n } = this;while (res.length < n) {const arr = Ugly.getPrimes(i); // 获取当前i的所有质因数列表const l = arr.length; // 质因数列表长度的let j = 0; // 指针往上数// 遍历当前i的所有质因数找到和primes列表中匹配的质因数, 有一个不匹配都算失败for (; j < l; j++) {// 匹配不到则退出if (!primes.find(arr[j])) break;}// 这时候上面的for循环遍历完成, 而且当前i的所有质因数都匹配成功, 就可以进行下一步的操作if (j === l) {(l === 0) && primes.find(i) && res.push(i); // 当前没有质因数(上面for不会执行)，但是当前的i在给定列表中，存储i(满足超级丑数)(l !== 0) && res.push(i); // 当前i存在质因数列表时，存储 i(满足超级丑数)}i++; // i 递增}return res[n - 1]; // 获取第n个}// 计算指定正整数n的质因数static getPrimes (n) {const prime = (n) => {const arr = []; // 存储所有的质因数for (let i = 2; i <= n / 2; i++) {if (n % i === 0 && !prime(i).length) arr.push(i); // 这里有一个递归找质因数}return arr;}return prime(n);}
}class MaxHeap {heap: number[] = [];max: number = 0;constructor (arr) {this.heap = arr;this.max = arr.length;this.sort();}sort () {const iArr = this.heap;const n = iArr.length;if (n <= 1) return iArr;for (let i = Math.floor(n / 2); i >= 0; i--) {MaxHeap.maxHeapify(iArr, i, n);}return iArr;}// 交换两个元素static swap (arr, i, j) {if (i === j) return;[arr[i], arr[j]] = [arr[j], arr[i]];}// 构建最大堆的过程static maxHeapify (Arr, i, size) {// 左节点（索引）const l = i * 2 + 1;// 右节点const r = i * 2 + 2;let largest = i;// 父节点i和左节点l做比较取最大if (l <= size && Arr[l] > Arr[largest]) largest = l;// 右节点和最大值比较if (r <= size && Arr[r] > Arr[largest]) largest = r;if (largest !== i) {MaxHeap.swap(Arr, i, largest)MaxHeap.maxHeapify(Arr, largest, size)}}find (val, i = 0) {const arr = this.heap;if (val > arr[i] || i > this.max) return false;if (val === arr[i]) return val;return this.find(val, i * 2 + 1) || this.find(val, i * 2 + 2);}
}function nthSuperUglyNumber(n: number, primes: number[]): number {const ugly = new Ugly(n, primes);return ugly.getNthUg();
};

使用堆结构，取代普通数组结构，让查找效率提升 O(n) => O(logn)
但是这里仍有大量递归运算，消耗太多性能
同样，在第77个case时出现了提示：超出时间限制

3 ）使用动态规划

function nthSuperUglyNumber (n: number, primes: number[]) {const dp = new Array(n + 1).fill(0);const m = primes.length;const pointers = new Array(m).fill(0);const nums = new Array(m).fill(1);for (let i = 1; i <= n; i++) {let minNum = Number.MAX_SAFE_INTEGER;for (let j = 0; j < m; j++) {minNum = Math.min(minNum, nums[j]);}dp[i] = minNum;for (let j = 0; j < m; j++) {if (nums[j] == minNum) {pointers[j]++;nums[j] = dp[pointers[j]] * primes[j];}}}return dp[n];
};