题目表示
有N堆石子排成一排,每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆,每次合并花费的代价为这两堆石子的和,经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。
举例1:
2,4,5
总代价最小值为17
举例2:
4,1,1,4
总代价最小值为18
题目解析
这是一个经典的区间DP问题,也被称为“石子合并”或“石子游戏”。
我们可以这样定义状态和方程:
定义 dp[i][j]
为合并从第 i
堆到第 j
堆石子的最小代价。
因为合并的代价是两堆石子的和,所以我们还需要一个前缀和数组 prefix
,其中 prefix[k]
代表第1堆到第k堆的石子数量总和。
状态转移方程为:
[ dp[i][j] = \min_{i \leq k < j}(dp[i][k] + dp[k+1][j] + prefix[j] - prefix[i-1]) ]
其中,( prefix[j] - prefix[i-1] ) 是第i堆到第j堆的石子总和。
初始条件:当 i == j
时,dp[i][j] = 0
,因为只有一堆石子不需要合并。
算法流程如下:
- 初始化
dp
为0,并计算前缀和数组prefix
。 - 从小到大遍历区间长度
len
,从2到N。 - 对于每一个长度
len
,从头开始遍历起始点i
,计算结束点j = i + len - 1
。 - 对于每一对
(i, j)
,遍历所有可能的分割点k
,更新dp[i][j]
。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>using namespace std;int stoneMerging(vector<int>& stones) {int N = stones.size();vector<vector<int>> dp(N+1, vector<int>(N+1, 0));vector