区间dp--石子合并

题目表示

有N堆石子排成一排,每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆,每次合并花费的代价为这两堆石子的和,经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。
举例1:
2,4,5
总代价最小值为17
举例2:
4,1,1,4
总代价最小值为18

题目解析

这是一个经典的区间DP问题,也被称为“石子合并”或“石子游戏”。

我们可以这样定义状态和方程:

定义 dp[i][j] 为合并从第 i 堆到第 j 堆石子的最小代价。

因为合并的代价是两堆石子的和,所以我们还需要一个前缀和数组 prefix,其中 prefix[k] 代表第1堆到第k堆的石子数量总和。

状态转移方程为:
[ dp[i][j] = \min_{i \leq k < j}(dp[i][k] + dp[k+1][j] + prefix[j] - prefix[i-1]) ]
其中,( prefix[j] - prefix[i-1] ) 是第i堆到第j堆的石子总和。

初始条件:当 i == j 时,dp[i][j] = 0,因为只有一堆石子不需要合并。

算法流程如下:

  1. 初始化 dp 为0,并计算前缀和数组 prefix
  2. 从小到大遍历区间长度 len,从2到N。
  3. 对于每一个长度 len,从头开始遍历起始点 i,计算结束点 j = i + len - 1
  4. 对于每一对 (i, j),遍历所有可能的分割点 k,更新 dp[i][j]
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>using namespace std;int stoneMerging(vector<int>& stones) {int N = stones.size();vector<vector<int>> dp(N+1, vector<int>(N+1, 0));vector

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