Information-Theoretic Limits of Bistatic Integrated Sensing and Communication

摘要

双静态感知指的是发射器（照亮目标）和感知接收器（估计目标状态）在物理上分离的场景，这与发射和感知功能共存的单静态感知形成对比。在实际场景中，双静态感知可能需要应对系统约束，或者作为一种方法来减轻单静态配置中遇到的强自干扰。双静态射频雷达系统的一个关键实际挑战是分离的发射器和感知接收器的同步与校准。在本文中，我们关注信号处理方面，并从信息理论的视角对双静态集成感知与通信（ISAC）进行补充研究。也就是说，我们旨在描述容量-失真函数——通信容量与感知精度之间的基本权衡。我们考虑了一种通用的离散信道模型来分析双静态 ISAC 系统，并推导出了多字母表示形式的容量-失真函数。然后，我们建立了退化双静态 ISAC 信道的单字母上下界，并提供了退化信道下单字母特征的精确描述。此外，我们将分析扩展到双静态 ISAC 宽带信道，并推导了退化情况下的容量-失真区域，通过数值示例说明理论结果，突显 ISAC 相较于分离通信与感知的优势，以及通信在辅助双静态系统感知中的作用。

I. 引言

集成感知与通信（ISAC）已成为未来无线网络（超越 5G、6G）的一个关键技术和研究领域，因为许多实际场景对感知和通信提出了很高的要求 [2], [3]。例如，自动驾驶技术不仅需要高数据率来获取重要信息，如媒体消息、超高分辨率地图和实时交通信息，还需要感知功能来提供鲁棒且高分辨率的障碍物检测 [4]。此外，顺应无线技术趋势，随着更大的信号带宽 [5], [6] 和天线阵列 [7]–[10] 的使用，未来系统中的通信信号将能够在延迟（即距离）和角度域提供高分辨率，因此可用于高精度感知。ISAC 泛指一类方法，即在单一平台上集成感知和通信功能，使它们能够共享相同的传输资源（时隙、带宽和功率）以及相同的硬件，相较于分离的解决方案 [2], [3], [11]。

与专注于无线通信应用的 ISAC 研究并行 [12]–[20]，该主题也成为近期信息理论研究的焦点。文献 [21], [22] 中的作者从信息理论视角研究了单静态 ISAC 模型，并描述了可靠通信容量与状态估计失真之间的最优权衡。在所考虑的系统中，发射器通过无记忆且状态依赖的信道向接收器传输消息，其中状态序列是独立同分布（i.i.d.）的；与此同时，发射器还旨在通过反向散射信号估计接收器的状态序列，这种信号被建模为因果信号。

遵循 [21], [22] 中的开创性工作，提出了多种信息理论 ISAC 框架，可根据所考虑的信道模型分为两类：

- 在第一种框架中，如原始工作 [21], [22] 所述，状态在时隙上是独立同分布（i.i.d.）或在长度为 $T$ 的块内是 i.i.d.，称为块衰落状态，因此状态依赖信道具有“块内记忆” [23]。在这一框架中，适合建模状态依赖信道，其中状态根据某种平稳遍历随机过程演变，且平均估计失真是有意义的。特别地，文献 [24] 中的作者将单静态 ISAC 模型扩展到无记忆信道，提出了新的状态依赖块内记忆信道，称为二元波束指向（BBP）信道，并推导了相应的容量-失真权衡。文献 [25], [26] 考虑了具有块内记忆的向量高斯信道，确定了感知和通信之间的子空间权衡以及随机-确定性权衡。文献 [27] 研究了单静态 ISAC 的容量-失真区域，其中接收器具有完美的状态知识，而感知参数和信道状态并非完全一致。文献 [28]–[30] 探讨了多路访问信道（MAC）中的 ISAC 容量-失真权衡，通过提出不同的协作通信和协作感知方法，获得了相应的速率-失真区域。

- 在第二种框架中，如文献 [31]–[33] 所述，状态是离散的确定未知量，且在整个传输块长度内保持不变，感知和通信之间的权衡通过通信速率与状态检测误差指数来表达。在这一框架中，由于状态是常数，适合建模“复合信道”场景，其中信道转移概率分配可以是离散概率集合中的一个元素，例如，建模目标的存在或不存在。

在本文中，我们关注双静态感知系统，其中状态在时隙上是独立同分布（i.i.d.）的，可以是单静态或多静态。特别地，具有物理共址发射和接收天线的感知系统被称为单静态感知系统，而在许多情况下这些天线属于同一阵列；具有物理分离发射和接收天线的感知系统被称为双静态感知系统。如果使用多个分离的接收器，则感知系统被称为多静态感知系统 [34]。尽管双静态感知系统在实现上通常比单静态感知系统更复杂 [35]，但双静态感知系统在抑制自干扰和增强目标检测及定位精度方面具有优势，激发了持续的研究兴趣。例如，设计用于最小化反向散射以反射雷达能量的目标在其他方向上对于单静态感知系统可能难以检测，但对于双静态感知系统则可能易于检测 [36]。此外，从发射天线到感知接收天线的干扰在单静态感知系统中可能显著，而在双静态感知系统中由于发射器和感知接收器相距较远，这种干扰可以忽略。与双静态感知系统相关的一个关键问题是同步问题，这需要精确对齐物理分离的发射器和接收器在时间和频率上的位置和运动状态，在某些情况下，这可能导致多维度上的同步问题，如时间、频率和相位 [37]。常用的解决同步挑战的方法包括全球定位系统（GPS）时钟同步 [37], [38]、锁相环（PLLs）相位同步 [39], [40] 以及自适应同步 [41] 等。

受到双静态雷达吸引的优势的启发，在这项工作中，我们从信息理论的视角研究双静态 ISAC 系统，沿袭之前的信息理论 ISAC 工作的路线。如图 1 所示，所考虑的双静态 ISAC 系统包括一个发射器（ISAC Tx）、一个通信接收器（ComRx）和一个感知接收器（SenRx）。ISAC Tx 发送编码字以向 ComRx 传递信息，同时 SenRx 在另一位置接收 ISAC Tx 的辐射信号和 ComRx 的反射信号以执行感知任务，从而估计信道状态。对于这一场景，我们采用通用离散信道模型。因此，同步问题与我们关注的模型无关。在实践中，可以假设这些问题通过前述现有技术得以解决。

值得指出的是，本文考虑的双静态 ISAC 信息理论问题与现有的双静态模型 [42] 的主要概念差异在于，在我们的场景中，SenRx 知道通信编码字，但不知道发送的消息（即，发送的编码字）。因此，我们预计在双静态 ISAC 系统中，通信信号的随机性对感知的影响比单静态 ISAC 系统更大，这意味着通信-感知性能的权衡有所不同。需要注意的是，文献 [43] 遵循我们的预印本并研究了类似的 ISAC 问题。特别地，文献 [43] 的作者选择对数损失来度量 ISAC 模型软估计的质量，并推导了相应的容量-失真函数。相比之下，我们基于更一般的失真度量研究容量-失真函数，包括文献 [43] 的结果作为我们结果的特例。

在信息理论框架下，我们的主要贡献如下：

- 提出了双静态 ISAC 系统的多字母容量-失真函数表示，并将这一无限序列的有限维优化问题转化为无限维优化问题。

- 提出了基于叠加编码方案的单字母下界和基于部分解码策略的单字母上界，特别地，对于 SenRx 相对于 ComRx 信道退化的特殊情况，通过证明推导的上界和下界重合，获得了容量-失真函数的单字母特征。

- 将结果扩展到双静态 ISAC 宽带信道模型，并推导了退化情况下的容量-失真区域。

- 提供了示例以明确展示所提出的界限的意义，并阐明利用通信辅助双静态系统感知的优势。特别地，对于示例 1 中的信道，我们展示了容量-失真函数。

本文的组织结构如下：第 II 节介绍系统模型并定义容量-失真函数。第 III 节给出了容量-失真函数的多字母表示，推导了容量-失真函数的单字母上下界，并在退化情况下给出了容量-失真函数的单字母特征，并将结果扩展到双静态 ISAC 宽带信道模型。第 IV 节提供了两个示例以明确展示容量-失真函数的理论结果。第 V 节总结本文。

II. 系统模型

在本节中，我们介绍双静态 ISAC 系统，该系统被建模为具有两个接收器的状态依赖无记忆信道（SDMC）。具有两个接收器的 SDMC 模型由四个有限集合 $\mathcal{X}, \mathcal{S}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}$ 和一组条件概率质量函数（pmf）$p(y, z|x, s)$ 定义，定义在 $\mathcal{Y} \times \mathcal{Z}$ 上。状态序列 $S^n = (S_1, \dots, S_n)$ 根据给定的状态分布 $P_S(\cdot)$ 是独立同分布（i.i.d.）的。我们假设 $S^n$ 对于 ComRx 是完全已知的，但对于 SenRx 是未知的。

如图 2 所示，发射器通过具有两个接收器的 SDMC 发送 $X^n$ 。在接收到 $Y^n$ 并结合 $S^n$ 后，ComRx 找到消息的估计值。在接收到 $Z^n$ 后，SenRx 估计具有两个接收器的 SDMC 的状态。

一个 $(2^{nR}, n)$ 编码用于上述具有两个接收器的 SDMC，包括以下部分：

1) 消息集合 $[1: 2^{nR}]$ ；
2) 编码器，为每个消息 $w \in [1: 2^{nR}]$ 分配一个码字 $x^n(w)$ ；
3) 解码器，为每个接收序列 $y^n$ 分配一个估计值 $\hat{w} \in [1: 2^{nR}]$ ；
4) 状态估计器 $h: \mathcal{Z}^n \to \hat{\mathcal{S}}^n$ ，输出 $\hat{s}^n = h(z^n)$ 作为状态序列 $s^n$ 的估计值。

我们假设消息 $W$ 在 $[1: 2^{nR}]$ 上是均匀分布的。解码器的性能由平均错误概率 $P_e^{(n)} = \text{Pr}\{\hat{W} \neq W\}$ 衡量。状态估计的准确性由平均期望失真衡量：
$D^{(n)} := \frac{1}{n} \mathbb{E}[d(S^n, \hat{S}^n)] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i)], \quad (1)$
其中 $d: \mathcal{S} \times \hat{\mathcal{S}} \to \mathbb{R}^+$ 是一个有界失真函数：
$d_{\max} = \max_{(s, \hat{s}) \in \mathcal{S} \times \hat{\mathcal{S}}} d(s, \hat{s}) < \infty.$

一对 $(R, D)$ 被认为是可以实现的，如果存在一系列 $(2^{nR}, n)$ 编码，使得：
$\lim_{n \to \infty} P_e^{(n)} = 0, \quad (2\text{a})$
$\lim_{n \to \infty} D^{(n)} \leq D. \quad (2\text{b})$

容量-失真函数定义为：
$C(D) = \max \{ R: R \text{ is achievable for given } D \}. \quad (3)$

III. 主要结果

在本节中，我们介绍容量-失真函数 $C(D)$ 的一些性质。然后，我们推导 $C(D)$ 的多字母特征以及多个单字母上下界。

**引理 1.** 容量-失真函数 $C(D)$ 是非递减的、凹的且连续的，对于 $D \geq D_{\min} = \min \mathbb{E}[d(S, \hat{S})]$ 。

**证明**：根据 $C(D)$ 的定义，我们有 $C(D_1) \geq C(D_2)$ ，对于 $D_1 > D_2$ 。为了证明 $C(D)$ 的凹性，我们使用时间共享技术。对于每个块长度 $n$ ，不失一般性地假设 $\alpha n$ 是一个介于 $[0, 1]$ 的整数，并且 $R_1 < C(D_1)$ ， $R_2 < C(D_2)$ 。假设 $(2^{nR_1}, \alpha n)$ 和 $(2^{(1-\alpha)nR_2}, (1-\alpha)n)$ 是一组码率分别为 $R_1$ 和 $R_2$ 的编码。

为了传输消息，在前 $\alpha n$ 次传输中，发送器发送来自第一个编码的码字，在剩余的传输中，发送来自第二个编码的码字。使用文献 [44] 定理 15.3.2 中的类似方法，我们证明速率-失真对 $(\alpha R_1 + (1-\alpha)R_2, \alpha D_1 + (1-\alpha)D_2)$ 是可实现的。根据容量-失真函数 $C(D)$ 的定义，我们得到 $C(\alpha D_1 + (1-\alpha)D_2) \geq \alpha C(D_1) + (1-\alpha)C(D_2)$ 。

利用引理 1，我们在下一小节中给出容量-失真函数 $C(D)$ 的多字母特征。

A. C(D)的多字母表示

**定理 1.** 容量-失真函数 $C(D)$ 满足：
$C(D) = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \sup_{P_k} \left\{ I(X^k; Y^k|S^k) \mid \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq kD \right\},\quad (4)$
其中 $(\hat{S}^k(Z^k) = ( \hat{S}_1(Z^k), \hat{S}_2(Z^k), \dots, \hat{S}_k(Z^k) )$ ，并且 $\hat{S}_i(Z^k) = \arg\min_{\hat{s}_i} \sum_{s_i} p(s_i|z^k) d(s_i, \hat{s}_i)$ ， $i = 1, 2, \dots, k$ 是最优估计器。

**证明**：我们首先证明极限的存在，然后证明可实现性和逆向命题。

定义 $C_k(D) = \frac{1}{k} \sup_{P_k} \left\{ I(X^k; Y^k|S^k) \mid \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq kD \right\}$ 。固定一个 pmf $p(x^k)$ 和 pmf $p(x^l)$ ，它们分别实现 $C_k(D)$ 和 $C_l(D)$ ，并且相应的失真满足 $\mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq kD$ 和 $\mathbb{E}[d(S^l, \hat{S}^l(Z^l))] \leq lD$ 。然后，固定乘积 pmf $p(x^k) p(x^l)$ ，我们有相应的失真满足：
$\mathbb{E}[d(S^{k+l}, \hat{S}^{k+l}(Z^{k+l}))] = \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] + \mathbb{E}[d(S^{k+1}, \hat{S}^{k+1}(Z^{k+1}))]$
$\stackrel{(a)}{=} \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] + \mathbb{E}[d(S^{k+1}, \hat{S}^{k+1}(Z^{k+1}))] \leq (k + l)D,\quad (5)$

对应的互信息表达式满足

$I(X^{k+l}; Y^{k+l} \mid S^{k+l}) = H(Y^{k+l} \mid S^{k+l}) - H(Y^{k+l} \mid X^{k+l}, S^{k+l}) \overset{(b)}{=} H(Y^{k} \mid S^{k}) + H(Y_{k+1}^{k+l} \mid S_{k+1}^{k+l}) - H(Y^{k} \mid X^{k}, S^{k}) - H(Y_{k+1}^{k+l} \mid X_{k+1}^{k+l}, S_{k+1}^{k+l}) = I(X^{k}; Y^{k} \mid S^{k}) + I(X_{k+1}^{k+l}; Y_{k+1}^{k+l} \mid S_{k+1}^{k+l}) = k C_{k}(D) + l C_{l}(D),\quad (6)$
其中 $(a)$ 由 $Z^{k+l}$ 和 $S^k$ 给定 $Z^k$ 时的独立性以及 $(b)$ 由 $Y^{k+l}$ 和 $S^k$ 给定 $Y^k$ 时的独立性得出。因此，根据 $C_k(D)$ 的定义，我们得到 $kC_k(D) + lC_l(D) \geq (k + l)C_{k+l}(D)$ ，这意味着 $kC_k(D)$ 是超可加序列。此外，利用上下限的定义，我们得到极限 $lim_{k \to \infty} C_k(D) = \sup_k C_k(D)$ 存在。

**证明可实现性**：设 $P_k(x^k)$ 为实现 $C_k(D)$ 并且满足 $\mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq kD$ 的 pmf。对于码长 $n$ ，设 $n = kt + r,r < k$ 。固定一个 pmf $\prod_{i=1}^t p\left(x^{ik}_{(i-1)k+1}\right) p(x^r)$ ，其中 $p\left(x_{(i-1)k+1}^{ik}\right) = p(x^k)$ ， $i = 1, \dots, t$ ，以及 $p(x^n)$ 满足 $\mathbb{E}[d(S^r, \hat{S}^r(Z^r))] \leq rD$ 。然后，使用联合典型解码在解码器处，我们得到平均错误概率 $P_e^{(n)}$ 在 $R < \frac{1}{k} I(X^k; Y^k|S^k) - \delta(\epsilon)$ 成立时趋于零，其中 $\delta(\epsilon) \to 0$ 当 $n \to \infty$ 。类似地，利用方程 (5) 的推导过程，我们有：
$\frac{1}{n} \mathbb{E}\left[d(S^n, \hat{S}^n(Z^n))\right] = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^t \mathbb{E}\left[d\left(S_{(i-1)k+1}^{ik}, \hat{S}_{(i-1)k+1}^{ik}(Z_{(i-1)k+1}^{ik})\right)\right] + \mathbb{E}\left[d\left(S_{tk+1}^n, \hat{S}_{tk+1}^n(Z_{tk+1}^n)\right)\right] \right)$

$= \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^t \mathbb{E}\left[d\left(S_{(i-1)k+1}^{ik}, \hat{S}_{(i-1)k+1}^{ik}(Z_{(i-1)k+1}^{ik})\right)\right] + \mathbb{E}\left[d\left(S_{tk+1}^n, \hat{S}_{tk+1}^n(Z_{tk+1}^n)\right)\right] \right) \leq \frac{1}{n} (tkD + rD) = D.\quad (7)$

**证明逆向命题**：对于任意 $p(x^k)$ 满足 $\frac{1}{k} \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq D$ ，我们有：
$kR \leq I(W; Y^k|S^k) + k\epsilon_k = I(W; Y^k|S^k) + k\epsilon_k \stackrel{(a)}{\leq} I(X^k; Y^k|S^k) + k\epsilon_k \leq kC_k(D) + k\epsilon_k,\quad (8)$
其中 $(a)$ 由容量-失真函数 $C_k(D)$ 的定义得出。因此，我们通过在不等式的两边取极限得出结论。

并且互信息表达式满足：
$\mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] = \sum_{i=1}^k \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z^k))] \\ = \sum_{i=1}^k \sum_{z^k} p(z^k) \sum_{\hat{s}_i} p(\hat{s}_i | z^k) \sum_{s_i} p(s_i | z^k) d(s_i, \hat{s}_i) \\ \geq \sum_{i=1}^k \sum_{z^k} p(z^k) \min_{s'} \sum_{s_i} p(s_i | z^k) d(s_i, s') \\ \stackrel{(a)}{=} \sum_{i=1}^k \sum_{z^k} p(z^k) \sum_{s_i} p(s_i | z^k) d(s_i, \hat{s}_i^*) \\ = \sum_{i=1}^k \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i^*(Z^k))] = \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^{*k}(Z^k))], \quad (9)$
其中 $(a)$ 由 $Z^{k+l}$ 和 $S^k$ 给定 $Z^k$ 时的独立性以及 $(b)$ 由 $Y^{k+l}$ 和 $S^k$ 给定 $Y^k$ 时的独立性得出。

基于上述推导，我们得出在双静态 ISAC 模型中，单字母表示无法得到容量-失真函数的原因在于最优估计器是一个序列估计器。在单静态 ISAC 模型中，最优估计是一次性估计，即在时隙 $i$ 中估计状态 $s_i$ 仅依赖于 $x_i$ 和 $z_i$ ，因为估计器自然知道发送的消息 $X$ 和马尔可夫链 $(X^{i-1}, X^{i+1}, Z^{i-1}, Z^{i+1}, \hat{S}_i) - (X_i, Z_i) - S_i$ 成立，这导致了容量-失真函数的单字母表示。

定理 1 中的上确界定义在整个联合分布 $P_k$ 的空间上。接下来的定理表明我们可以将优化变量限制为所有平稳和遍历随机过程。

**定理 2.** 容量-失真函数 $C(D)$ 满足：
$C(D) = C_{\text{SE}}(D) = \sup_{X'} I(X'; Y'|S') | \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \mathbb{E}[d(S^k, \hat{S}^k(Z^k))] \leq D,$
其中上确界取遍所有平稳和遍历随机过程 $X'$ ， $Y'$ 是通过双静态信道模型将 $X'$ 传递得到的输出，并且 $I(X'; Y'|S') = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} I(X^k; Y^k|S^k)$ 。

**证明**：见附录 A。

B. C(D)的下界

尽管上一小节已明确定义了容量-失真函数的多字母表征，但其具体计算方法仍不明确。因此，本小节提出容量-失真函数的几种单字母下界。

在图2所示的双基地ISAC系统中，由于估计器无法获取发送消息，其估计误差大于单基地ISAC系统（后者已知发送消息）。为改善此问题，我们利用通信辅助感知：SenRx处的解码器通过部分解码发送消息，进而基于解码信息优化估计。根据SenRx中通信辅助感知的程度，提出三种**解码-估计**策略：
1. **盲估计**
2. **部分解码辅助估计**
3. **完全解码辅助估计**
由此导出容量-失真函数的三个下界。

**推论1**（盲估计）.
容量-失真函数 $C(D)$ 满足
$C(D) \geq \max_{P_{X}} \left\{ I(X;Y|S) \ \Big| \ \mathbb{E}\left[d(S,\hat{s}^{*}(Z))\right] \leq D \right\}, \quad (10)$
其中联合分布 $SXYZ$ 由 $P_{X}P_{S}P_{YZ|XS}$ 给出，且估计器
$\hat{s}^{*}(z) = \arg\min_{s^{\prime}\in\mathcal{S}} \sum_{s\in\mathcal{S}} P_{S|Z}(s|z) d\left(s,s^{\prime}\right).$
**证明**.
由定理II-C的证明可得
$C(D) = \lim_{k\to\infty} C_{k}(D) = \sup_{k} C_{k}(D) \geq C_{1}(D) = \max_{P_{X}} \left\{ I(X;Y|S) \ \Big| \ \mathbb{E}\left[d(S,\hat{s}^{*}(Z))\right] \leq D \right\},$
证毕。

推论II-C中，盲估计体现为估计器 $\hat{s}^{*}(Z)$ 不解码发送消息，仅依赖接收数据 $Z$ 。下文通过部分解码辅助估计策略导出新下界。

**定理3**（部分解码辅助估计）.
容量-失真函数 $C(D)$ 满足
$C(D) \geq \max_{P_{UX}} \left\{ \min\left\{ I(U;Z) + I(X;Y|U,S), \ I(X;Y|S) \right\} \ \Big| \ \mathbb{E}\left[d(S,\hat{s}^{*}(U,Z))\right] \leq D \right\}, \quad (11)$
其中
$\hat{s}^{*}(u,z) = \arg\min_{s^{\prime}\in\mathcal{S}} \sum_{s\in\mathcal{S}} P_{S|UZ}(s|u,z) d\left(s,s^{\prime}\right).$
联合分布 $SUXYZ$ 由 $P_{UX}P_{S}P_{YZ|XS}$ 给出 $P_{UX}$ 为某概率质量函数），且辅助随机变量 $U$ 的基数满足 $|\mathcal{U}| \leq |\mathcal{X}| + 1$ 。

**证明**.
证明分为两部分：速率表达式与状态失真约束。

### **编码与估计方案**

1. **码本生成**.
固定概率质量函数 $p(u)p(x|u)$ ，使得期望失真小于 $D/(1+\epsilon) ,\epsilon > 0$ 为小正数）。按以下方式生成码本：
- 独立随机生成 $2^{nR_0}$ 个序列 $u^n(w_0) ,w_0 \in [1:2^{nR_0}]$ ，每个序列服从 $\prod_{i=1}^n p_U(u_i)$ 。
- 对每个 $w_0$ ，条件独立生成 $2^{nR_1}$ 个序列 $x^n(w_0,w_1)$ $( w_1 \in [1:2^{nR_1}]$ ，每个序列服从 $\prod_{i=1}^n p_{X|U}(x_i | u_i(w_0))$ 。

2. **编码**.
发送消息对 $(w_0, w_1)$ 时，传输 $x^n(w_0, w_1)$ 。

3. **解码**.
- **通信接收端（ComRx）**：若存在唯一消息对 $(\hat{w}_{01}, \hat{w}_1)$ 使得 $(u^n(\hat{w}_{01}), x^n(\hat{w}_{01}, \hat{w}_1), y^n, s^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_\epsilon(P_{UXYS})$ $\mathcal{T}^{(n)}_\epsilon$ 为联合 $\epsilon$ -典型序列），则判定该消息对为发送信号；否则报错。
- **感知接收端（SenRx）**：若存在唯一消息 $\hat{w}_{02}$ 使得 $(u^n(\hat{w}_{02}), z^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_\epsilon(P_{UZ})$ ，则判定该消息为发送信号；否则报错。

4. **估计**.
设感知信道输出为 $Z^n = z^n$ ，解码信息为 $\hat{U}^n = \hat{u}^n$ ，则单次估计器对状态序列的估计为
$\hat{S}^n = \left( \hat{s}^*(\hat{u}_1, z_1), \hat{s}^*(\hat{u}_2, z_2), \ldots, \hat{s}^*(\hat{u}_n, z_n) \right).$

5. **误差概率分析**.
假设发送消息为 $(W_0, W_1) = (1,1)$ ，平均误差概率为
$P^{(n)}_{1e} = P\left\{ (\hat{W}_{01}, \hat{W}_1) \neq (1,1) \ \text{and} \ \hat{W}_{02} \neq 1 \right\}.$
通过联合典型解码与叠加编码内界类似分析，当 $n \to \infty$ 时，若满足
$R_0 < I(U; Z) - \delta(\epsilon), \quad R_1 < I(X; Y|U, S) - \delta(\epsilon), \quad R_0 + R_1 < I(X; Y|S) - \delta(\epsilon),$
则 $P^{(n)}_{1e} \to 0$ （其中 $\delta(\epsilon) \to 0$ ）。

6. **期望失真分析**.
定义正确解码事件 $\mathcal{A} = \{ (\hat{W}_{01}, \hat{W}_1) = (1,1) \ \text{and} \ \hat{W}_{02} = 1 \}$ ，其补集为 $\mathcal{A}^c$ 。期望失真（对随机码本、状态及信道噪声取平均）可上界为
$D^{(n)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i)] \\ = \frac{1}{n} P(\mathcal{A}^c) \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}^c] + \frac{1}{n} P(\mathcal{A}) \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}] \\ \le d_{\max} P_{1e}^{(n)} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}] (1 - P_{1e}^{(n)}). \quad (12)$

根据解码原则，当解码正确时，满足以下联合典型性条件：
$(U^n(1),X^n(1,1),Y^n,S^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_{\epsilon}(P_{UX}P_SP_{Y|SX}), \quad (U^n(1),Z^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_{\epsilon}(P_UP_{Z|U}).$
进一步，由估计器 $\hat{S}_i = \hat{s}^*(U_i,Z_i)$ 和条件典型性引理（[45] Lemma 2.5）可知，对任意 $\epsilon' > \epsilon$ ，有
$P\left((S^n,U^n(1),\hat{S}^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_{\epsilon'}(P_{SU\hat{S}}) \right) = 1 - \eta,$
其中联合边际分布 $P_{SU\hat{S}}$ 定义为
$P_{SUXZ\hat{S}}(s,u,x,z,\hat{s}) = P_{UX}(u,x) \cdot P_S(s) \cdot P_{Z|SX}(z|s,x) \cdot \chi(\hat{s} = \hat{s}^*(u,z)),$
$\chi(\cdot)$ 为指示函数， $\eta \in (0,1)$ 且 $\lim_{n \to \infty} \eta = 0$ 。定义事件 $\mathcal{B} = \{(S^n,U^n(1),\hat{S}^n) \in \mathcal{T}^{(n)}_{\epsilon'}(P_{SU\hat{S}})\}$ ，其补集为 $\mathcal{B}^c$ 。根据[45]的典型平均引理，可得
$\overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}] \\ = \overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{1}{n} (1 - \eta) \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}, \mathcal{B}] + \overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{1}{n} \eta \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i) | \mathcal{A}, \mathcal{B}^c] \\ \le \overline{\lim_{n \to \infty}} (1 - \eta) (1 + \epsilon') \mathbb{E}[d(S, \hat{S})] + \eta d_{\max} = (1 + \epsilon') \mathbb{E}[d(S, \hat{S})] \quad (13)$
其中 $(S,\hat{S})$ 服从上述定义的联合边际分布 $P_{SUZ\hat{S}}$ 。结合式（12）与式（13），可得
$\varlimsup_{n \to \infty} D^{(n)} \leq (1 + \epsilon') \mathbb{E}[d(S,\hat{S})].$
当 $\epsilon' \to \epsilon$ 时，误差概率趋于零且失真约束在条件（II）下成立。此外，根据[45]附录C的基数限制技术，并考虑状态变量 S，辅助随机变量 U的基数满足 $|\mathcal{U}| \leq |\mathcal{X}| + 1$ 。

### **最优估计器性质**

对于联合分布 $SUXYZ \sim P_{UX}P_SP_{YZ|XS}$ ， $\hat{s}^*(u,z)$ 是最优单次状态估计器，即其在时隙 $i$ 仅基于 $u_i$ 和 $z_i$ 估计状态 $s_i$ 。该估计器可视为失真度量 $d$ 的惩罚函数最小化器，且 $P_{S|UZ}(s|u,z)$ 为已知 $(U,Z)$ 时 S的后验概率。特别地，当失真度量 $d$ 为汉明距离时， $\hat{s}^*(u,z)$ 是最大后验概率估计。最优性证明详见附录B。

**注1**.
参考广播信道模型，可利用Marton内界思想（[45] Theorem 8.4）得到更一般的下界。但其表达式较复杂，且证明步骤与上述类似，故细节从略。

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### **完全解码辅助估计下界**

通过完全解码辅助估计策略（SenRx完全解码发送消息以辅助估计），可得容量-失真函数的以下下界。

**推论 2.（基于完全解码的估计）** 容量-失真函数 C(D)满足：
$C(D) \geq \max_{P_X} \left\{ \min \left\{ I(X; Y|S), I(X; Z) \right\} \mid \mathbb{E}[d(S, \hat{S}^*(X, Z))] \leq D \right\},\quad(14)$
其中联合分布 SXYZ由 $P_X P_S P_{Y Z|X S}$ 给出，且最优估计器为 $\hat{s}^*(x, z) = \arg \min_{\hat{s} \in \hat{\mathcal{S}}} \sum_{s \in \mathcal{S}} P_{S|XZ}(s|x, z) d(s, \hat{s})$ 。

**证明**：与定理 3 的证明类似，结论通过让 SenRx 解码发送的信息 X并应用最优估计器 $\hat{S}^n = (\hat{s}^*(x_1, z_1), \hat{s}^*(x_2, z_2), \dots, \hat{s}^*(x_n, z_n))$ 得出。

**备注 2**：从定理 3 的表达式中，我们观察到当 $U = \emptyset$ 时，定理 3 的结果退化为推论 1；当 $U = X$ 时，定理 3 的结果退化为推论 2，其中 U 被视为用于辅助估计的解码信息量。这一观察表明，基于部分解码的估计策略包含了基于盲估计和基于完全解码的估计策略，作为特殊情况。

**备注 3**：注意到我们在 (1) 中采用平均期望失真作为失真度量，这在某些场景下可能没有最大失真度量更有意义。然而，在我们考虑的情况下，即所有单字母界限也适用于最大失真度量。对于逆命题，最大失真比平均失真更严格。如果逆命题对平均失真成立，即没有代码在错误概率和失真方面存在一定的平均性能，那么也没有代码在最大性能方面存在，这意味着逆命题对最大失真也成立。因此，在下文我们主要分析基于平均度量的下界（可实现性）。具体来说，基于图 2 模型，我们定义最大期望失真为：
$\Delta_n^{\text{max}} \overset{\triangle}{=} \max_w \Delta_n(x^n(w)) = \max_w \frac{1}{n} \mathbb{E}[d(S^n, \hat{S}^n(Z^n)) \mid W = w].$

为了调和最大失真和平均失真，并将输入分布 $P_X$ 带入图中，我们考虑一个序列。对于序列 $x^n \in \mathcal{X}^n$ ，其类型为分布 $\pi$ ，即 $\pi(|x^n|) \overset{\triangle}{=} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1\{x_i = a\}$ 。回到期望失真，给定序列 $X^n = x^n$ ，我们有：
$\Delta_n(x^n) = \frac{1}{n} \mathbb{E}[d(S^n, \hat{S}^n(Z^n)) \mid W = w] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z_i)) \mid X_i = x_i]$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{\hat{s}_i \in \hat{\mathcal{S}}} \sum_{z_i \in \mathcal{Z}} P_{Z_i|S_i, X_i}(z_i|s_i, x_i) d(s_i, \hat{s}_i(z_i))$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z_i)) \mid X_i = x_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{a \in \mathcal{X}} 1\{x_i = a\} \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z_i)) \mid X_i = a]$
$= \sum_{a \in \mathcal{X}} \pi(a|x^n) \mathbb{E}[d(S, \hat{S}(Z)) \mid X = a] \stackrel{(b)}{=} \sum_{a \in \mathcal{X}} P_X(a) \mathbb{E}[d(S, \hat{S}(Z)) \mid X = a] = \mathbb{E}[d(S, \hat{S}(Z))], \quad (4)$
其中 $(a)$ 由我们下界中的所有估计器均为一次性估计得出， $(b)$ 由当 $x^n$ 属于鲁棒典型集（定义为 $\mathcal{T}_{\epsilon}^{(n)}(P_X) \overset{\triangle}{=} \{x^n \in \mathcal{X}^n : |\pi(a|x^n) - P_X(a)| \leq \epsilon P_X(a), \forall a \in \mathcal{X}\}$ ）时成立。更具体地说，如果码本中的所有码字具有一个接近于 $P_X$ 的类型，那么上述结论对每个码字（即每个消息）都成立。

比较 (1) 和 (4)，我们得出最大期望失真和平均期望失真本质上相同。因此，对于我们所考虑的模型，平均期望失真是有效且充分的。

C. C(D) 的上界

在本小节中，我们提出容量-失真函数的三个单字母上界，并对其进行特征化。

通过引入一个精灵向估计器提供发送消息，可以得到一个上界，如下述定理 4 所示。

**定理 4.（上界 1）** 容量-失真函数 $C(D)$ 满足：
$C(D) \leq C_0(D) = \max_{P_X} \left\{ I(X; Y|S) \mid \mathbb{E}[d(S, \hat{S}^*(X, Z))] \leq D \right\},$
其中联合分布 $SXYZ$ 由 $P_X P_S P_{Y Z|X S}$ 给出，且最优估计器为 $\hat{s}^*(x, z) = \arg \min_{\hat{s} \in \hat{\mathcal{S}}} \sum_{s \in \mathcal{S}} P_{S|XZ}(s|x, z) d(s, \hat{s})$ 。

**证明**：当发送的信息通过一个精灵向估计器揭示时，该模型类似于文献 [21] 中的单静态 ISAC 系统，因此证明细节省略。

**备注 4**：注意到当 SenRx 在统计上比 ComRx 强时，即从 ComRx 到 SenRx 的信道是物理退化的，或者统计退化的信道时，如果 ComRx 可以解码发送的消息，即 $R \leq I(X; Y|S)$ ，那么 SenRx 也可以解码该消息，因为 $R \leq I(X; Y|S) \leq I(X; Z)$ 。在这种情况下，估计器可以获取发送的消息，因此对应的容量-失真函数 $C(D) = C_0(D)$ 。

在下文，我们通过引入一个精灵向估计器提供部分发送消息的先验信息，推导一个新的上界。

**定理 5.（上界 2）** 容量-失真函数 $C(D)$ 满足：
$C(D) \leq \max_{P_{U X}} \min \left\{ I(X; Y|S), I(X; Y|U, S) + I(U; Z), I(X, Y; Z|U, V, S) + I(U; Z), I(X, Y; Z|U, V, S) \right\} \mid \mathbb{E}[d(S, \hat{S}^*(U, V, Z))] \leq D,\quad(16)$
其中联合分布 $UVSXYZ$ 由 $P_{U V X} P_S P_{Y Z|X S}$ 给出，估计器为 $\hat{s}^*(u, v, z) = \arg \min_{\hat{s} \in \hat{\mathcal{S}}} \sum_{s \in \mathcal{S}} P_{S|UV Z}(s|u, v, z) d(s, \hat{s})$ ，且辅助随机变量 U和 V 满足 $|U| \leq |\mathcal{X}| + 2$ 以及 $|V| \leq |U||\mathcal{X}| + 1$ 。

**证明**：基于 Fano 不等式和 Csiszár 和量和恒等式 [45]，我们通过取辅助随机变量为 $U_i = (Z_{i+1}, Y^{i-1}, S^{i-1})$ 和 $V_i = (Z^{i-1})$ 得到 (16) 中的速率表达式。详见附录 C。

在下文，我们考虑失真约束。对于每个满足 $D \geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z^n))]$ 的估计器，定义一个基于精灵的估计器 $\hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z^n)$ ，其对应的失真满足 $\hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z^n) = \hat{S}_i(U_i, V_i, Z_i)$ 。由于辅助随机变量恒等式 $U_i, V_i$ ，我们有：
$D \geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i(Z^n))]$
$\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z^n))]$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z_i))]$
$\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[d(S_i, \hat{S}_i^*(U_i, V_i, Z_i))].$