本文通过PyTorch实现二维互相关运算、自定义卷积层，并演示如何通过卷积核检测图像边缘。同时，我们将训练一个卷积核参数，使其能够从数据中学习边缘特征。

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1. 二维互相关运算的实现

互相关运算（Cross-Correlation）是卷积操作的基础。以下代码实现了二维互相关运算：

import torch
from torch import nndef corr2d(x, k):h, w = k.shapey = torch.zeros((x.shape[0] - h + 1, x.shape[1] - w + 1))for i in range(y.shape[0]):for j in range(y.shape[1]):y[i, j] = (x[i:i+h, j:j+w] * k).sum()  # 逐元素相乘后求和return y

验证输出：
输入矩阵和卷积核如下，输出结果为互相关运算后的张量：

x = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
k = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
print(corr2d(x, k))

输出：

tensor([[19., 25.],[37., 43.]])

2. 自定义二维卷积层

通过继承nn.Module实现一个自定义卷积层，包含可学习的权重和偏置：

class Conv2D(nn.Module):def __init__(self, kernel_size):super().__init__()self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))def forward(self, x):return corr2d(x, self.weight) + self.bias

3. 边缘检测应用

3.1 构造输入图像

创建一个6x8的矩阵，中间4列为黑色（值为0），两侧为白色（值为1）：

x = torch.ones(6, 8)
x[:, 2:6] = 0
print(x)

输出：

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])

3.2 定义卷积核

使用卷积核[[1, -1]]检测垂直边缘：

k = torch.tensor([[1.0, -1.0]])
y = corr2d(x, k)
print(y)

输出：

tensor([[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.]])

• 结果解释：
  输出中1表示从白到黑的边缘，-1表示从黑到白的边缘。

3.3 水平边缘检测

若将输入矩阵转置，原卷积核无法检测水平边缘：

print(corr2d(x.T, k))

输出：全零矩阵（无法检测到水平边缘）

tensor([[0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0.],...])

4. 学习卷积核参数

使用PyTorch内置的nn.Conv2d，通过梯度下降学习卷积核参数：

# 定义模型
conv2d = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=(1, 2), bias=False)# 调整输入输出形状
x = x.reshape((1, 1, 6, 8))  # (batch_size, channels, height, width)
y = y.reshape((1, 1, 6, 7))# 训练过程
for i in range(10):y_hat = conv2d(x)loss = (y_hat - y).pow(2)conv2d.zero_grad()loss.sum().backward()conv2d.weight.data[:] -= 3e-2 * conv2d.weight.grad  # 更新权重if (i+1) % 2 == 0:print(f'batch{i+1}, loss{loss.sum():.3f}')

输出：

batch2, loss5.270
batch4, loss0.884
batch6, loss0.148
batch8, loss0.025
batch10, loss0.004

4.1 查看学习后的卷积核

训练后的权重接近理想值[1, -1]：

print(conv2d.weight.data.reshape((1, 2)))

输出：

tensor([[ 0.9883, -0.9878]])

5. 总结

1. 互相关运算：通过逐窗口计算实现基础的卷积操作。

2. 边缘检测：方向特定的卷积核可提取图像边缘特征。

3. 参数学习：利用梯度下降可自动学习卷积核参数，无需手动设计。

完整代码已验证，读者可自行调整输入或卷积核探索更多效果。

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提示：实际项目中建议使用PyTorch内置的高效卷积层（如nn.Conv2d），而非手动实现，以充分利用GPU加速。