题解：试除法求约数
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869. 试除法求约数
一、题目描述
给定 n 个正整数 aᵢ，对于每个整数 aᵢ，按照从小到大的顺序输出它的所有约数。
输入格式：
- 第一行包含整数 n
- 接下来 n 行，每行包含一个整数 aᵢ
输出格式：
- 共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个整数 aᵢ 的所有约数
数据范围：
- 1 ≤ n ≤ 100
- 1 ≤ aᵢ ≤ 2×10⁹
二、题目分析
我们需要为每个给定的数 aᵢ 找出它的所有约数，并按升序排列输出。约数是指能整除该数的整数。
三、解题思路
使用试除法来高效地找出所有约数：
- 遍历从1到√aᵢ的所有整数
- 如果当前整数 i 能整除 aᵢ，则 i 和 aᵢ/i 都是约数
- 将找到的约数存入数组并排序后输出
四、算法讲解
试除法是求约数的经典方法：
- 对于数 a，我们只需要检查1到√a的范围
- 当发现 i 是约数时，同时记录 i 和 a/i（除非两者相同）
- 最后将所有约数排序输出
例子：
对于 a = 6：
- 检查1：6%1=0 → 记录1和6
- 检查2：6%2=0 → 记录2和3
- 不需要检查>√6≈2.45的数
- 得到约数1,2,3,6 → 排序后输出
五、代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
const int N = 110;
int n;
int a[N];void solve()
{cin >> n;while(n -- ){int a;cin >> a;vector<int> s; // 存储约数的动态数组// 试除法求约数for (int i = 1; i <= a / i; i ++) // 只需遍历到sqrt(a){if (a % i == 0) // 如果i是约数{s.push_back(i); // 加入iif (i != a / i) // 避免重复加入平方数的情况s.push_back(a / i); // 加入对应的另一个约数}}sort(s.begin(), s.end()); // 将约数排序// 输出结果for (int c : s)cout << c << " ";cout << "\n";}
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}
六、重点细节
- 遍历范围：只需遍历到√a（即i ≤ a/i），可以大幅减少计算量
- 避免重复：当i = a/i时（即a是完全平方数），只需加入一次
- 排序输出：找到的约数是无序的，需要排序后输出
七、复杂度分析
- 时间复杂度：O(n × (√aᵢ + k log k))，其中k是约数个数
- 对于每个数aᵢ，试除法需要O(√aᵢ)时间
- 排序约数需要O(k log k)时间，k通常很小
- 空间复杂度：O(k)，存储约数需要的空间
八、总结
试除法是求解约数问题的高效方法，通过只遍历到平方根来优化性能。本题的关键在于正确实现试除法，并注意处理完全平方数的情况。代码简洁高效，适合处理给定范围内的输入数据。
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