前言

动态时间规整算法，Dynamic Time Wraping，缩写为DTW，是语音识别领域的一个基础算法。

算法的提出

DTW 的提出是为了解决或尽量解决在语音识别当中的孤立词识别不正确的问题。该问题简单描述为：在识别阶段，将输入语音的特征矢量时间序列依次与模板库中的每个模板进行相似度比较，最后将相似度最高者作为识别结果输出。但是，由于语音信号具有相当大的随机性，即使是同一个人在不同时刻所讲的同一句话、发的同一个音，也不可能具有完全相同的时间长度。而在进行模板匹配时，这些时间长度的变化会影响测度的估计，从而降低识别率。对此，日本学者 板仓（Itakura）将动态规划（DP）算法的概念用于解决孤立词识别时的说话速度不均匀的难题，提出了著名的动态时间规整算法或称动态时间伸缩算法（DTW）。

算法的内容

DTW 的目标是从不同时间跨度的两个数据求出它们之间的最小总累计距离，所以首先我们要找出输入矢量和参考矢量之间的对应关系，从而根据对应的矢量来求出模板之间的最小累计距离。在求累计距离的每一步中，需要满足以下条件的规整函数：

• 边界条件

  w(1) = 1，w(N) = M （3-1）

  即规整函数起点为（1,1），终点为（N，M），

• 连续条件

  w(n + 1) = w(n) + 0/1/2，如果 w(n) <> w(n - 1) 成立 （3-2）

w(n + 1) = w(n) + 1/2，如果 w(n) == w(n - 1) 成立 （3-3）

Tip：

• 式（3-2）意思是 w() 的当前值和前一个 w() 值不相等，说明已经加过 1 或 2 ，则 w(n + 1) 的加上的值可为 0；式（3-3）则刚刚相反，w(n + 1) 的加上的值不能为 0，因为 w(n) 已经使用过 0；本质上，规整函数限制了最小累加距离的路径走向。0/1/2代表了路径走的步数，要么是当前矢量本身，要么是当前矢量的前一列的步数为 1和 2 的矢量（或点）。
• n 的值与 N 相对应

使用规整函数的最小累计距离递推公式：

DTW(n,m) = d((n,m)) + min { DTW(n - 1, m) * g(n - 1, m)，DTW(n - 1, m - 1), DTW(n - 1, m - 2)} （3-4）
其中：

g(n - 1,m) = 1，如果 w(n - 1) <> w(n - 2) （3-5）

g(n - 1,m) = ∞，如果w(n - 1) == w(n - 2) （3-6）

Tip：这里的只能取前一列的矢量（点）的数据
根据式（3-2）和式（3-3），文字解释为：当 DTW(n - 1, m) 不是来自 DTW(n - 2, m) 时，则去判断 DTW(n - 1, m) [本身，步数为 0 ]，DTW(n - 1, m - 1) [步数为 1 ]，DTW(n - 1, m - 2) [步数为 2 ]

优点和注意点

时间复杂度

DTW算法的优势在于：它解决了数据长度不同的两数据序列的差异度表示方式。从计算的角度来说，式（3-4）可看出，横轴每向前增加一步，仅参考前一列的累计距离，所以在计算时只保留前一列的累计距离即可，不必保留所有数据。这样可以降低算法的时间复杂度；其原理在于，一个参考数据只与其距离相近的数据会比较相似，距离过远的数据关系不大，所以就没必要计算参考数据与对比数据的所有距离，而DTW算法本身就是在矩阵中运算的，其一般的计算点关系如图：

距离指标选择

相邻矢量间距离指标的好坏绝对影响DTW算法的效果。在孤立词识别当中，先用矢量量化技术，然后再对各分量使用欧拉
距离来度量和计算；由于DTW算法可应用不同的领域，所以不同的领域距离指标是不一样的，甚至一般的统计距离：欧拉距离、Minkowski距离、Mahalanobis距离以及兰氏距离等用在所碰到的问题上，达不到想要的效果。所以，此时就需要根据实际数据的特征来构造距离（这里的距离已经不是一般意义上的长度等）指标，去衡量两个数据的相似程度

数据点约束

虽说根据规整函数可以使计算复杂度降低，但是从递推公式可知，要想知道终点的累计最短距离，还是要不断计算前面的累计距离，那么如何才能更进一步的降低计算时间复杂度呢？答案就是对计算数据的范围进行约束，下图是平行四边形约束

也就是说，计算的数据点坐标必须落在平行四边形内部，否则就不用计算，至于平行四边形的形状可以根据实际数据来调试，一般不会相差很大，主要取决于平行四边形邻边的角度，即斜率

计算例子

最后，给出一个简单的例子，讲下DTW的计算过程。
时间序列为：
d1 = {1,3,3,5,2}，d2 = {0,2,3,6,4,1}
第一列：
DTW(1,1) = 1 + 0 = 1;
DTW(1,2) = 1 + min {DTW(0,2), DTW(0,1), DTW(0,0)} = 1 + 0 = 1;
DTW(1,3) = 2 + min {DTW(0,3), DTW(0,2), DTW(0,1)} = 2 + 0 = 2;
DTW(1,4) = 5 + min {DTW(0,4), DTW(0,3), DTW(0,2)} = 5 + 0 = 5;
DTW(1,5) = 3 + min {DTW(0,5), DTW(0,4), DTW(0,3)} = 3 + 0 = 3;
DTW(1,6) = 0 + min {DTW(0,6), DTW(0,5), DTW(0,4)} = 0 + 0 = 0;
第二列：
DTW(2,1) = 3 + min {DTW(1,1), DTW(1,0), DTW(1,-1)} = 3 + 1 = 4;
DTW(2,2) = 1 + min {DTW(1,2), DTW(1,1), DTW(1,0)} = 1 + 1 = 2;
DTW(2,3) = 0 + min {DTW(1,3), DTW(1,2), DTW(1,1)} = 0 + 1 = 1;
DTW(2,4) = 3 + min {DTW(1,4), DTW(1,3), DTW(1,2)} = 3 + 1 = 4;
DTW(2,5) = 1 + min {DTW(1,5), DTW(1,4), DTW(1,3)} = 1 + 2 = 3;
DTW(2,6) = 2 + min {DTW(1,6), DTW(1,5), DTW(1,4)} = 2 + 0 = 2;（这列符合w(n-1) == w(n-2)）
第三列：
DTW(3,1) = 3 + min {DTW(2,1), DTW(2,0), DTW(2,-1)} = 3 + 4 = 7;
DTW(3,2) = 1 + min {DTW(2,2), DTW(2,1), DTW(2,0)} = 1 + 2 = 3;
DTW(3,3) = 0 + min {DTW(2,3), DTW(2,2), DTW(2,1)} = 0 + 1 = 1;（这列符合w(n-1) == w(n-2)）
DTW(3,4) = 3 + min {DTW(2,4), DTW(2,3), DTW(2,2)} = 3 + 1 = 4;
DTW(3,5) = 1 + min {DTW(2,5), DTW(2,4), DTW(2,3)} = 1 + 1 = 2;
DTW(3,6) = 2 + min {DTW(2,6)_∞, DTW(2,5), DTW(2,4)} = 2 + 3 = 5;
第四列：
DTW(4,1) = 5 + min {DTW(3,1), DTW(3,0), DTW(3,-1)} = 5 + 7 = 12;（这列符合w(n-1) == w(n-2)）
DTW(4,2) = 3 + min {DTW(3,2), DTW(3,1), DTW(3,0)} = 3 + 3 = 6;（这列符合w(n-1) == w(n-2)）
DTW(4,3) = 2 + min {DTW(3,3)_∞, DTW(3,2), DTW(3,1)} = 2 + 3 = 5;
DTW(4,4) = 1 + min {DTW(3,4), DTW(3,3), DTW(3,2)} = 1 + 1 = 2;
DTW(4,5) = 1 + min {DTW(3,5), DTW(3,4), DTW(3,3)} = 1 + 1 = 2;
DTW(4,6) = 4 + min {DTW(3,6), DTW(3,5), DTW(3,4)} = 4 + 2 = 6;
第五列：
DTW(5,1) = 2 + min {DTW(4,1), DTW(4,0), DTW(4,-1)} = 2 + ∞ = ∞ ;
DTW(5,2) = 0 + min {DTW(4,2), DTW(4,1), DTW(4,0)} = 0 + 12 = 12;
DTW(5,3) = 1 + min {DTW(4,3), DTW(4,2), DTW(4,1)} = 1 + 5 = 6;
DTW(5,4) = 4 + min {DTW(4,4), DTW(4,3), DTW(4,2)} = 4 + 2 = 6;（这列符合w(n-1) == w(n-2)）
DTW(5,5) = 2 + min {DTW(4,5), DTW(4,4), DTW(4,3)} = 2 + 2 = 4;（这列符合w(n-1) == w(n-2)）
DTW(5,6) = 1 + min {DTW(4,6), DTW(4,5), DTW(4,4)} = 1 + 2 = 3;
最终以表格形式给出计算结果：

DTW(5,6) 就是最终的累计最短距离，也就是两个数据的差异度表示