红黑树的概念以及基本模拟

一、概念和规则：

1、思考为什么最长路径不超过最短路径的二倍？

2、红黑树的效率？

二、红黑树的代码实现

1、红黑树的节点结构

2、红黑树的插入

1、大致过程：

2、维护的三种情况：

1、情况一：变色

2、情况二：单旋+变色

3、情况三：双旋+变色

3、红黑树的验证

4、整体代码

一、概念和规则：

红黑树是一颗搜索二叉树，满足左小右大（或者左小右大）的规则；（前提规则）
红黑树每一个节点不是黑色就是红色；（规则一）
根节点是黑色的；（规则二）
不能出现连续的红色节点，若一个节点是红色的，那么它的两个孩子都是黑色的；（规则三）
对于任何一条简单路径（从根到空），其上的黑色节点的数量都是相同的；（规则四）
红黑树的最长路径不超过最短路径的二倍（规则推论）

1、思考为什么最长路径不超过最短路径的二倍？

由于每条路径的黑色节点的数量的个数相同，极端情况下最短路径的长度就是全是黑色节点的数量，最长路径长度就是红色黑色相间的路径，那么恰好就是最短路径的二倍；那么其他的路径长度都在最长与最短之间，那么最长路径就不会超过最短路径的二倍。

2、红黑树的效率？

假设红黑树最短路径的高度为H，那么最长路径的长度最长为 2*H ，其他的都在这两者之间，那么节点的数量N（根据等比求和）就在 2^H-1到2^(2*H)-1之间，那么红黑树增删查的时间复杂度还是O（logN），和AVL属于同一量级；

AVL是通过左右子树高度差来控制平衡；而红黑树是通过规则和颜色来达到近似平衡。

二、红黑树的代码实现

1、红黑树的节点结构

enum Color
{RED,BLACK
};template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{Color _col;pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _parent;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode(const pair<K,V> kv):_kv(kv),_parent(nullptr),_left(nullptr),_right(nullptr){}
};

这里用枚举定义颜色，方便观察；

2、红黑树的插入

1、大致过程：

先按照二叉搜索树进行插入；
若是空树，就将新插入的节点认作根节点，并且把颜色赋为黑色；若不是空树，那么插入之后，这个新插入的节点必须赋为红色，否则会破坏所有路径黑色节点数量相同的规则；但是连续的两个红色也会破坏，但是连续的两个红色更好维护；
插入红色的，若插入的父节点是黑色的，那么就是正常的，无需维护，插入完成直接退出；
插入红色的，若插入的父节点是红色的，那就需要维护，因为此时破坏了规则；而维护有三种情况，维护的关键是看叔节点，也就是父亲的兄弟节点；

2、维护的三种情况：

1、情况一：变色

此种情况出现适用于：当uncle节点存在并且是红色时；

首先grandfather节点（parent和uncle的父节点）时黑色的，parent和uncle节点是红色的，这是确定的条件；此时给parent插入红色的新节点，要维护规则；进行变色：将grandfather变红，parent和uncle变黑；

一次变完之后，因为grandfather变红了，但是其上可能还有节点，当其父节点为红时，还需要继续调整，将cur赋值为grandfather，parent跟着向上调，uncle随之变化；直到父节点的颜色为黑或者父节点为根节点时结束循环；最后会单独处理根节点，无论根节是哪种颜色，都赋为黑；

2、情况二：单旋+变色

适用情形，uncle为空或者为黑时；此时只是单纯的变色解决不了问题，因为每条简单路径上面的黑色节点数量会不同；

当uncle不存在时，那么cur一定是新插入进来的，若不是新插入的那么cur下面还有黑色节点，那么parent的左右子树的黑色节点数量就不同；若uncle存在且为黑色，那么cur一定不是新插入的红色节点，而是cur下面的节点通过变色变上来的红色节点，否则parent的左右子树黑色节点的数量就不同，违反规则；

那么就要将grandfather作为旋转基准进行左单旋或者右单旋，旋转之后parent成了cur和grandfather的根节点，此时再把parent变黑，grandfather变红；无论是uncle存在与否，最后都能达到维护的目的，并且每条简单路径上面的黑色节点的数量都相同。

旋转并且变色之后这颗红黑树整体上就已经满足规则了，无需像情况一一样向上调整。

3、情况三：双旋+变色

首先和情况二前提相同：若uncle不存在，则cur一定为新插入的；若uncle存在且为黑，则cur一定不是新插入的，而是调整上来的；

双旋的原因：不同于单旋，当parent是grandfather的左节点但是cur是father的右节点时，单旋不能解决问题，若是单旋，只是交换了左右位置，本质上还是没有完成规则的维护；此时需要双旋之后再变色；

第一次循环以parent为基准旋转，第二次以grandfather为基准旋转；最后将cur变为黑，grandfather变为红；

3、红黑树的验证

红黑树的验证要严格按照四条规则来，验证每一条规则是否被满足，只有当所有的规则都被满足才说明这棵树是红黑树；

直接判断根节点是否是黑色
每个节点不是黑就是红，这个天然而成无需判断
检查是否有红色连续的情况，通过递归每次检查当前节点的父亲，当前节点为红色并且当前节点的父节点也是红色时，就返回false；检查父节点更方便；若是每次检查当前节点的左右子树节点相较麻烦一点
检查每条简单路径上面是否含有相同黑色节点数量时，先计算一条路径上面的黑色节点数量作为一个比较的基准值，再在递归的过程中计算每条路径的黑色节点数量，当递归的根为空时说明一条路径走完了，此时比较，若不想等就返回false；整体的返回是左右子树通过&&连接来返回，也就是有一条不满足的这棵树就不是一颗红黑树的意思

4、整体代码

#include<iostream>
using namespace std;enum Color
{RED,BLACK
};template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{Color _col;pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _parent;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode(const pair<K,V> kv):_kv(kv),_parent(nullptr),_left(nullptr),_right(nullptr){}
};template<class K,class V>
class RBTree
{using Node = RBTreeNode<K, V>;
public:void Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return;}}cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;cur->_col = RED;//parent为空或者 parent颜色为黑色，插入了满足条件，不用进循环//进循环说明 parent为红并且其父节点为黑，新插入的只能是红while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;//两个大方向：parent在 grandfather左边或者右边if (grandfather->_left == parent){Node* uncle = grandfather->_right;//首先是不用旋转的情况，此时无论 cur在 parent哪边都一样//将 grandfather变红，father和 uncle变黑//这种情况就是 uncle存在并且为红时if (uncle && uncle->_col == RED){grandfather->_col = RED;parent->_col = uncle->_col = BLACK;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}//这里的 else含义是：uncle为空或者不为空但是颜色是黑色//要旋转+变色else{//uncle若是为空，cur就必是新插入的节点，否则每一条路径的黑色节点数量不同//uncle若不为空，cur就必不是新插入的节点，这样每条路径的黑色节点数量才可能相同//无论为空为否，都要进行旋转再变色if (parent->_left == cur){//右单旋RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;break;//旋转完之后满足规则}else{//先左旋再右旋RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;break;}}}//parent为 grandfather的右孩子else{Node* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){grandfather->_col = RED;parent->_col = uncle->_col = BLACK;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{if (parent->_right == cur){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;break;}else{RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;break;}}}}//将根节点置为黑色_root->_col = BLACK;}Node* Find(const K& k){Node* cur = _root;while (cur){if (k < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}else if (k > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else{return cur;}}}bool IsRBTree(){if (!_root)return true;if (_root->_col == RED)return false;int mode_count = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK)mode_count++;cur = cur->_left;}return Check(_root, 0, mode_count);}void Print(){_Print(_root);cout << endl;}private:Node* _root = nullptr;//右单旋void RotateR(Node* sub){Node* subl = sub->_left;Node* sublr = subl->_right;sub->_left = sublr;if (sublr)sublr->_parent = sub;Node* sub_P = sub->_parent;subl->_right = sub;sub->_parent = subl;if (!sub_P){_root = subl;subl->_parent = nullptr;}else{if (sub_P->_left == sub){sub_P->_left = subl;}else{sub_P->_right = subl;}subl->_parent = sub_P;}}//左单旋void RotateL(Node* sub){Node* subr = sub->_right;Node* subrl = subr->_left;sub->_right = subrl;if (subrl){subrl->_parent = sub;}Node* sub_P = sub->_parent;subr->_left = sub;sub->_parent = subr;if (!sub_P){_root = subr;subr->_parent = nullptr;}else{if (sub_P->_left == sub){sub_P->_left = subr;}else{sub_P->_right = subr;}subr->_parent = sub_P;}}void _Print(Node* root){if (!root){return;}_Print(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_Print(root->_right);}bool Check(Node* root, int count, const int mode_count){if (root == nullptr){if (count != mode_count){cout << "存在不同路径的黑色节点数量不同";return false;}return true;}if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED){cout << "存在连续的红色节点";return false;}if (root->_col == BLACK)count++;return Check(root->_left, count, mode_count) && Check(root->_right, count, mode_count);}
};