介绍

枚举算法也叫暴力算法，是一种简单直接的问题求解方法，它通过逐一列举问题的所有可能解，并检查每个可能解是否符合问题的条件，直到找到正确的解或者遍历完所有可能的情况。
对于一个问题，首先确定解的范围，然后在这个范围内逐个尝试所有可能的值，例如，在寻找一个整数 n 的所有因数时，枚举算法会从1开始，逐个检查到 n ，判断每个数是否能整除 n 。

枚举几乎可以用于解决任何类型的问题，只要能够确定解的范围，但缺点也很明显，当问题规模增大时，需要检查的可能解数量会迅速增加，这会导致程序运行效率低下，为了克服枚举算法的这个缺点，需要对其进行优化，通过数学推导发现问题的规律，减少不必要的计算。

题目1

对于给定的整数 n，需进行如下判断：若存在三个不同的正整数，当它们分别与特定整数相乘时结果均为 n，则返回 true；若无法找到这样恰好三个正整数满足该情形，便返回 false。
 
举例而言，设存在整数 k，若 n = k * m，这里的 m 即为 n 的一个除数。当 n = 2 时，仅能以 1×2 表示，即其除数只有 1 和 2，所以此情形下应返回 false，而当 n = 4 时，可写成 1×4 与 2×2，其除数有 1、2 和 4，这种情况下则返回 true。

解题思路

从1到 n 遍历每个数字 i，满足条件能整除三次就返回true。

代码实现

public class Main {public boolean isThree(int n) {int count = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (n % i == 0) {count++;}}return count == 3;}public static void main(String[] args) {boolean result = new Main().isThree(4);System.out.println(result);}
}

检查 n 是否能被 i 整除，如果可以，那么 i 就是 n 的一个除数，将count 加1，全部执行完成后，检查 count 是否等于3，如果是，则返回 true ，否则返回 false 。

优化思路

当一个数有三个除数时，它一定不是质数， 对于每个 p ，检查 n 是否可以整除p，如果是，那么 n 就有三个除数（1、 p 、 n ）。

public class Main {public boolean isThree(int n) {if(n<=3){return false;}for(int p=2;p*p<=n;p++){if(n%p==0){return true;}}return false;}public static void main(String[] args) {boolean result = new Main().isThree(11);System.out.println(result);}
}

从2开始遍历到 n，如果它有平方根p，那么返回 true，如果遍历完都没有找到这样的 p ，则返回 false 。

(取自leedcode1952)

题目2

给定一个正整数 n，返回 连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数 。 

示例 1:输入: n = 5 输出: 2 解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。

示例 2:输入: n = 9 输出: 3 解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

示例 3:输入: n = 15 输出: 4 解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

解题思路

可以采取等差数列的公式，如果存在它的等差数列就将总数加1。

代码实现

public class Main {public static void main(String[] args) {int result = Sum(15);System.out.println(result);}public static int Sum(int n) {int count = 0;n *=2;for (int i = 1; i * i <= n; i++) {if (n % i != 0) {continue;}int a = n / i - i + 1;boolean res = a % 2 == 0;if (res) {count++;}}return count;}
}

对于连续正整数序列a,a + 1,a+2 , a + 3 , a+k其和S=(2a + k)(k + 1)/2，我们要推导出2a。
将等式两边同时乘以2，得到2S=(2a + k)(k + 1)。
所以2a= 2S - k(k + 1) / k + 1，将项数减去 1就是 2a = 2S - k(k - 1) / k ，也就是2a = 2S/ k - k + 1，演变成我们公式里的 n*=2；int a = n / i - i + 1; 和 a % 2 == 0; 即可得出答案

（取自leedcode829）

 ​​​​​题目3

给定一个非负的整数变量 num，需确定是否存在这样一个非负整数 k，使得 k 与其各位数字反转后所形成的整数相加的结果恰好等于 num，若存在这样的 k，则返回 true；若不存在，则返回 false。

解题思路

枚举从零到num的所有k数，判断它们反转相加的结果是否等于 num。

示例：

输入：num = 443 输出：true 解释：172 + 271 = 443 ，所以返回 true。

输入：num = 63 输出：false 解释：63 不能表示为非负整数及其反转后数字之和，返回 false 。

代码实现

public class Main {public static void main(String[] args) {int num = 443;boolean flag = true;for (int i = 0; i < num; i++) {int rev = reverseNumber(i);if (rev+i==num) {flag = false;}}if (flag) {System.out.println(false);}else {System.out.println(true);}}public static int reverseNumber(int n) {int rev = 0;while (n != 0) {rev = rev * 10 + n % 10;n /= 10;}return rev;}
}

在以上代码中使用了 for 循环从0开始，每次递增1，直到 i 小于num，在每次循环中
都调用了reverseNumber  方法对当前的整数  i  进行反转，然后判断rev + i是否等于num，如果相等，说明找到了满足条件的整数  i ，此时将flag的值设置为false。

(取自leedcode2443)

以上就是枚举的应用示例，在实际应用中，对于复杂或大规模问题，通常需要结合问题特性对枚举进行优化，如利用数学规律减少不必要的枚举次数，或者借助更高效的数据结构来存储和处理数据，以提升效率。总之，枚举是算法学习的重要基石，理解其优劣有助于在不同场景下合理运用或优化算法，为解决更复杂的编程和数学问题奠定基础。