11. Map和Set

一、二叉搜索树

1. 概念

二叉搜索树又称二叉排序树,它或者是一棵空树,或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空,则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  • 若它的右子树不为空,则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树

int[] array = {5,3,4,1,7,8,2,6,0,9};  

2. 查找

3. 插入

1. 如果树为空树,即根 == null,直接插入

2. 如果树不是空树,按照查找逻辑确定插入位置,插入新结点

4. 删除

设待删除结点为 cur,待删除结点的双亲结点为 parent 。

1. cur.left == null

  1. cur 是 root,则 root = cur.right
  2. cur 不是 root,cur 是 parent.left,则 parent.left = cur.right
  3. cur 不是 root,cur 是 parent.right,则 parent.right = cur.right

2. cur.right == null

  1. cur 是 root,则 root = cur.left 
  2. cur 不是 root,cur 是 parent.left,则 parent.left = cur.left
  3. cur 不是 root,cur 是 parent.right,则 parent.right = cur.left

3. cur.left != null && cur.right != null

  1. 需要使用替换法进行删除,即在 cur 的右子树中寻找中序遍历的下一个结点 temp (也就是cur右子树中最左下的节点) 以及该节点的前驱 pre,用 temp 的值填补到被删除节点 cur 中,即cur.val = temp.val; 再来处理 temp 结点的删除问题。注意:最终找到的 temp 节点的值一定是 cur 的右子树中值最小的,且一定有 temp.left = null。
  2. 当 temp 节点就是 cur.right 时,此时一定是 tpre = cur,则让 tpre.right = temp.right;  ​​​​​​​​​​​​​​
  3. 当 temp 节点是 cur.right,然后再一直往左走时,直到走到最左端,则让 tpre.left = temp.right 。

5. 代码实现

public class BinarySearchTree {public class TreeNode{public TreeNode left;public TreeNode right;public int val;public TreeNode(int val) {this.val = val;}}public TreeNode root = null;//查找public TreeNode search(int key){if(root == null){return null;}TreeNode cur = root;while (cur != null){if (cur.val > key){cur = cur.left;}else if(cur.val < key){cur = cur.right;}else {return cur;}}return null;}//插入public boolean insert(int key){TreeNode node = new TreeNode(key);if(root == null){root = node;return true;}TreeNode prev,cur;prev = root;cur = root;while (cur != null){if(cur.val > key){prev = cur;cur = cur.left;}else if(cur.val < key){prev = cur;cur = cur.right;}else {return false;}}if(prev.val > key){prev.left = node;}else {prev.right = node;}return true;}//删除public boolean remove(int key){TreeNode cur = root;TreeNode parent = root;while (cur != null){if (cur.val > key){parent = cur;cur = cur.left;}else if(cur.val < key){parent = cur;cur = cur.right;}else {removeNode(parent,cur);return true;}}return false ;}private void removeNode(TreeNode parent, TreeNode cur){if(cur.left == null){    // cur左右孩子都为null的情况也会默认在次处理。if(cur == root){root = root.right;}else if(parent.left == cur){parent.left = cur.right;}else{parent.right = cur.right;}}else if(cur.right == null){if(cur == root){root = root.left;}else if(parent.left == cur){parent.left = cur.left;}else{parent.right = cur.left;}}else {       // 左右孩子都不为null。if (cur == root){root = null;}// 用temp找到cur右子树中最左下的节点。// 两种情况:1.当cur.right没有左子树时,cur右子树中最左下的节点是cur.right;//         2.当cur.right有左子树时,cur右子树中最左下的节点是cur.right, 然后一直往左走。TreeNode temp = cur.right;TreeNode tprev = cur;while (temp.left != null){tprev = temp;temp = temp.left;}cur.val = temp.val;if(tprev.left == temp){tprev.left = temp.right;}else{tprev.right = temp.right;}}}//中序遍历public void inOrder(TreeNode root){if (root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);}
}

6. 性能分析

插入和删除操作都必须先查找,查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对有n个结点的二叉搜索树,若每个元素查找的概率相等,则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度 的函数,即结点越深,则比较次数越多。 但对于同一个关键码集合,如果各关键码插入的次序不同,可能得到不同结构的二叉搜索树:

最优情况下,二叉搜索树为完全二叉树,其平均比较次数为:\log_{2}n

最差情况下,二叉搜索树退化为单支树,其平均比较次数为:\frac{n}{2}

问题:如果退化成单支树,二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进,不论按照什么次序插入关键码,都可以是二叉搜索树的性能最佳? 

答:为了避免树的高度增长过快,降低二叉排序树的性能,规定在插入和删除结点时,要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1,将这样的二叉树称为平衡二叉树(BalancedBinary Tree),也称 AVL树。定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子,则平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0或1。

7. 平衡二叉树

7.1 定义

平衡二叉树可定义为或是一棵空树,或是具有下列性质的二叉树:它的左子树和右子树都是平衡二叉树,且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过 1。

7.2 调整

平衡二叉树的调整。

8. 和 Java 类集的关系

TreeMap 和 TreeSet 即 Java 中利用搜索树实现的 Map 和 Set;实际上用的是红黑树,而红黑树是一棵近似平衡的二叉搜索树,即在二叉搜索树的基础之上 + 颜色以及红黑树性质验证。

二、搜索

1. 概念及场景

 

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