逆矩阵知识

认识逆矩阵

当最矩阵A【左乘】【初等阵】多次（也就是进行多次【初等行】变化）后，得到了一个【单位阵E】。由于矩阵具有结合律，把矩阵A【左乘】的所有【初等阵】乘起来，就得到了一个新的矩阵。我们称这个能乘以矩阵A并使矩阵A变成单位阵E的新矩阵叫做A的【逆矩阵】，用A-1表示。

逆矩阵的可交换律和互为逆矩阵性

逆矩阵的三个疑问

什么样的矩阵存在逆矩阵

• 只有大小（尺寸）相同的方阵才可以求逆矩阵

• 一个方阵的逆矩阵也必为同等大小的方阵

• 如果一个方阵可逆，则它的【秩】必和其行列数相等
• 一个方阵的逆矩阵的【秩】也必和其行列数相等

• 矩阵A化成【阶梯矩阵】后他的【秩】是三层等于原矩阵A的行数，则A可逆；矩阵B化成【阶梯矩阵】后他的【秩】是两层不等于原矩阵B的行数，则B不可逆；

• 可逆的矩阵可以通过【初等行变换】转化为【单位阵】
• 不可逆的矩阵不能通过【初等行变换】转化为【单位阵】

• 可逆矩阵及其逆矩阵都可以表示为若干个【初等矩阵】相乘的结果
• 推论：【初等矩阵】一定可逆，若干个【初等矩阵】的乘积也一定可逆

一个矩阵的逆矩阵是唯一的吗？

• 一个矩阵如果可逆，则其逆矩阵是唯一的
  

如何计算一个矩阵的逆矩阵【后续讨论】

认识逆矩阵总结

• 矩阵存在逆矩阵的前提条件是行列数相同（【方阵】），且其【秩】等于行列数；
• 一个矩阵和其逆矩阵是存在【交换律】的，乘积为【单位阵】；
• 可逆的矩阵可以通过若干次【初等行变换】转化成【单位阵】；
• 可逆的矩阵及其逆矩阵可以表示为若干【初等矩阵】的乘积；
• 逆矩阵是唯一的；

求逆矩阵

求逆矩阵公式推导过程

1、对方阵A进行【左乘】9次【初等矩阵】或者进行9次【初等行变换】就变成了【单位阵E】；
2、我们把每个初等矩阵记成F，则有F9*F8…F1A=E；

3、在逆矩阵公式中A-1A=E。则A-1 = F9F8…*F1;

4、根据定律一个矩阵乘以【单位阵】等于他自己，则A-1 = F9*F8…F1E;

5、这里我们把上面的【A-1 = F9*F8…F1E】列成矩阵，通过上下对比发现。
对【单位阵E】进行与上面矩阵A变成【单位阵E】相同的9次【初等行变换】，也就是对【单位阵E】【左乘】9次相同的【初等矩阵】就得到了矩阵A的逆矩阵A-1；

6、【单位阵E】变成【逆矩阵A-1】的过程复制了矩阵A变成【单位阵E】的【初等行变换】操作。

7、为了保证矩阵A和【单位阵E】进行【同步|相同】的【初等行变换】，我们借用【增广矩阵】进行操作。

8、借用【增广矩阵】可以帮助我们使【矩阵A|E】经过相同的【初等行变换】变成【E|A-1】，从而得到【逆矩阵A-1】。

求逆矩阵示例

1、

2、先自上而下矩阵清空主对角线左下部分，使矩阵变成【阶梯矩阵】，再自下而上清空主对角线右上部分，最终得到逆矩阵

3、

逆矩阵扩展

对角阵的逆矩阵

主对角阵线元素都不为零的对角阵的逆矩阵仍为对角阵。对应逆矩阵主对角线元素为原主对角阵对应位置主对角线元素的倒数。

对角阵中的纯量阵和单位阵

初等矩阵中的置换阵（交换阵）

• 置换阵的逆矩阵仍然是置换阵，且和自身相同。

初等阵中的数乘阵

• 数乘阵的逆矩阵仍然是数乘阵，对应位置的数乘因数是原矩阵对应位置元素的倒数。

初等阵中的倍加阵

• 初等倍加阵的逆矩阵任然是倍加阵，且对应的倍加系数是原倍加阵对应位置倍加因数的相反数。

二阶矩阵的逆矩阵

二阶矩阵中逆矩阵的由来：

• 二阶矩阵求逆：主交换，副取反，主副积差做除法
• 二阶矩阵由逆矩阵的必要条件：主对角乘积减去副对角乘积不等于0

简单矩阵方程求解-通过逆矩阵求解

使用逆矩阵表示线性方程组的解

• 如果A可逆，则矩阵A的是个方阵，其【秩】是n，则：

• ①.由于逆矩阵具有唯一性，因此x的值也具有唯一性；

• ②.如果b等于0，则线性方程组为齐次线性方程组，则x具有零解；

• ③.如果b不等于0，则线性方程组为非齐次线性方程组，则x具有非零的唯一解；

• 如果A不可逆，则矩阵A不是方阵，其【秩】小于n，则:线性方程组的解不确定。