【数学建模】多波束测线问题(持续更新)

多波束测线问题

  • 问题 1
    • 建立模型
      • 覆盖宽度
      • 海水深度
      • 重叠长度
      • 重叠率
  • 问题二
  • 问题三
  • 问题四

问题 1

与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为 α \alpha α的斜线(如下图),称 α \alpha α为坡度。请建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。
在这里插入图片描述
若多波束换能器的开角为 120 120 120度,坡度为 1.5度,海域中心点处的海水深度为 70 m,利用上述模型计算表 1 中所列位置的指标值,将结果以表 1 的格式放在正文中,同时保存到result1.xlsx文件中。

建立模型

覆盖宽度

根据题目意思画出了另一个图:

在这里插入图片描述

根据上述示意图
其中 D , E D,E D,E表示船的不同位置,线段 D E DE DE距离表示记为 d d d
假设 D D D点为中心点,由题可知线段 D F DF DF长度 D D D即海域中心点处的海水深度为70m
A F AF AF W L W_L WL F H FH FH W R W_R WR ; 覆盖宽度 A H AH AH W W W
那么 A H = A F + F H AH = AF + FH AH=AF+FH W = W L + W R W = W_L + W_R W=WL+WR
在这里插入图片描述

由正弦定理 a sin ⁡ a = b sin ⁡ b = c sin ⁡ c \dfrac{a}{\sin a} =\dfrac{b}{\sin b}=\dfrac{c}{\sin c} sinaa=sinbb=sincc

在三角形AFD中有:

W L sin ⁡ θ 2 = D sin ⁡ x 1 \dfrac{W_L}{\sin \frac{\theta}{2}} =\dfrac{D}{\sin x_1} sin2θWL=sinx1D

π = θ 2 + x 1 + ( π − ( π 2 − α ) ) \pi = \dfrac{\theta}{2} + x_1 + (\pi - (\frac{\pi}{2}-\alpha)) π=2θ+x1+(π(2πα))
x 1 = π − θ 2 − π + π 2 − α x_1 = \pi - \dfrac{\theta}{2} - \pi + \frac{\pi}{2}-\alpha x1=π2θπ+2πα
解得
x 1 = π 2 − α − θ 2 x_1 = \dfrac{\pi}{2}-\alpha- \dfrac{\theta}{2} x1=2πα2θ

W L sin ⁡ θ 2 = D sin ⁡ ( π 2 − α − θ 2 ) \dfrac{W_L}{\sin \frac{\theta}{2}} =\dfrac{D}{\sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} sin2θWL=sin(2πα2θ)D

在三角形FDH中用正弦定理:

W R sin ⁡ θ 2 = D sin ⁡ x 2 \dfrac{W_R}{\sin \frac{\theta}{2}} =\dfrac{D}{\sin x_2} sin2θWR=sinx2D

π = θ 2 + x 2 + ( π 2 − α ) \pi = \dfrac{\theta}{2} + x_2 + (\frac{\pi}{2}-\alpha) π=2θ+x2+(2πα)

解得

x 2 = π 2 + α − θ 2 x_2 = \dfrac{\pi}{2}+\alpha- \dfrac{\theta}{2} x2=2π+α2θ

W R sin ⁡ θ 2 = D sin ⁡ ( π 2 + α − θ 2 ) \dfrac{W_R}{\sin \frac{\theta}{2}} =\dfrac{D}{\sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} sin2θWR=sin(2π+α2θ)D

总结:

W R sin ⁡ θ 2 = D sin ⁡ ( π 2 + α − θ 2 ) \dfrac{W_R}{\sin \frac{\theta}{2}} =\dfrac{D}{\sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} sin2θWR=sin(2π+α2θ)D

W L sin ⁡ θ 2 = D sin ⁡ ( π 2 − α − θ 2 ) \dfrac{W_L}{\sin \frac{\theta}{2}} =\dfrac{D}{\sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} sin2θWL=sin(2πα2θ)D

覆盖宽度 W = W L + W R W = W_L + W_R W=WL+WR

海水深度

在这里插入图片描述
过点 U U U V U VU VU平行于 F G FG FG
由题已知角 G F C GFC GFC α \alpha α
又内错角知识可得角 G F C GFC GFC 等于 角 C U V CUV CUV
线段 U V = d UV = d UV=d,在三角形 C U V CUV CUV中由三角函数和图形可得
D ′ = D − d ∗ t a n α D' = D - d*tan\alpha D=Ddtanα
所以已知测线距中心点处的距离 d d d就可以直接解出改点的海水深度 D ′ D' D

重叠长度

在这里插入图片描述
根据上图
在三角形 C U V CUV CUV中可得线段 C U CU CU长度为 d c o s α \dfrac{d}{cos \alpha} cosαd

所以重叠长度 C = W R 1 + W L 2 − d c o s α C = WR1 + WL2 - \dfrac{d}{cos \alpha} C=WR1+WL2cosαd

总结:
重叠长度 C = W R i + W L i + 1 − d c o s α C = W_{R_i} + W_{L_{i+1}} - \dfrac{d}{cos \alpha} C=WRi+WLi+1cosαd

重叠率

重叠率为 η = C W 1 + W 2 − C \eta = \dfrac{C}{W_1+W_2-C} η=W1+W2CC

问题二

2
在这里插入图片描述

问题三

重叠率为 η = C W 1 + W 2 − C \eta = \dfrac{C}{W_1+W_2-C} η=W1+W2CC
因为 η = 0.1 \eta = 0.1 η=0.1
已知 W 1 , W R 1 W_1,W_{R_1} W1,WR1 , 求其他未知量
因为 C = W R i + W L i + 1 − d c o s α C = W_{R_i} + W_{L_{i+1}} - \dfrac{d}{cos \alpha} C=WRi+WLi+1cosαd
0.1 = W R 1 + W L 2 − d c o s α W 1 + W 2 − ( W R 1 + W L 2 − d c o s α ) 0.1 = \dfrac{W_{R_1} + W_{L_{2}} - \dfrac{d}{cos \alpha}}{W_1+W_2-(W_{R_1} + W_{L_{2}} - \dfrac{d}{cos \alpha})} 0.1=W1+W2(WR1+WL2cosαd)WR1+WL2cosαd

又因为

W R = s i n θ 2 D s i n ( π 2 + α − θ 2 ) W_R =sin \frac{\theta}{2}\dfrac{D}{sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} WR=sin2θsin(2π+α2θ)D

W L = s i n θ 2 D s i n ( π 2 − α − θ 2 ) W_L =sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} WL=sin2θsin(2πα2θ)D

W = W L + W R W = W_L + W_R W=WL+WR

D i = D − d ∗ t a n α D_i = D - d*tan\alpha Di=Ddtanα

d = D 中心 − D i t a n α d = \dfrac{D_{中心} - D_i}{tan\alpha} d=tanαD中心Di

已知$D_{中心} = 110 m $
可得
0.1 = W R 1 + s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) − ∣ D 1 − D 2 ∣ t a n α c o s α W 1 + s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) + s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 + α − θ 2 ) − ( W R 1 + s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) − ∣ D 1 − D 2 ∣ t a n α c o s α ) 0.1 = \dfrac{W_{R_1} + sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} - \dfrac{\frac{|D_1-D_2|}{tan\alpha}}{cos \alpha}}{W_1+sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} + sin \frac{\theta}{2}\dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} -(W_{R_1} + sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} - \dfrac{\frac{|D_1-D_2|}{tan\alpha}}{cos \alpha})} 0.1=W1+sin2θsin(2πα2θ)D2+sin2θsin(2π+α2θ)D2(WR1+sin2θsin(2πα2θ)D2cosαtanαD1D2)WR1+sin2θsin(2πα2θ)D2cosαtanαD1D2

0.1 ∗ ( W 1 + s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) + s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 + α − θ 2 ) − ( W R 1 + s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) − ∣ D 1 − D 2 ∣ t a n α c o s α ) ) = W R 1 + s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) − ∣ D 1 − D 2 ∣ t a n α c o s α 0.1*(W_1+sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} + sin \frac{\theta}{2}\dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} -(W_{R_1} + sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} - \dfrac{\frac{|D_1-D_2|}{tan\alpha}}{cos \alpha})) = W_{R_1} + sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} - \dfrac{\frac{|D_1-D_2|}{tan\alpha}}{cos \alpha} 0.1(W1+sin2θsin(2πα2θ)D2+sin2θsin(2π+α2θ)D2(WR1+sin2θsin(2πα2θ)D2cosαtanαD1D2))=WR1+sin2θsin(2πα2θ)D2cosαtanαD1D2

因为 D 1 ≥ D 2 D_1 \ge D_2 D1D2

0.1 s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) + 0.1 s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 + α − θ 2 ) − 0.1 s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) + 0.1 D 1 t a n α c o s α − 0.1 D 2 t a n α c o s α − s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) + D 1 t a n α c o s α − D 2 t a n α c o s α = W R 1 − 0.1 W 1 + 0.1 W R 1 0.1sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} + 0.1sin \frac{\theta}{2}\dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} -0.1sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} +0.1\dfrac{D_{1}}{tan\alpha cos \alpha}-0.1\dfrac{D_{2}}{tan\alpha cos \alpha}- sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} + \dfrac{D_{1}}{tan\alpha cos \alpha}-\dfrac{D_{2}}{tan\alpha cos \alpha} = W_{R_1} - 0.1W_1 + 0.1W_{R_1} 0.1sin2θsin(2πα2θ)D2+0.1sin2θsin(2π+α2θ)D20.1sin2θsin(2πα2θ)D2+0.1tanαcosαD10.1tanαcosαD2sin2θsin(2πα2θ)D2+tanαcosαD1tanαcosαD2=WR10.1W1+0.1WR1

0.1 s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) + 0.1 s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 + α − θ 2 ) − 0.1 s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) − 0.1 D 2 t a n α c o s α − s i n θ 2 D 2 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) − D 2 t a n α c o s α = W R 1 − 0.1 W 1 + 0.1 W R 1 − 0.1 D 1 t a n α c o s α − D 1 t a n α c o s α 0.1sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} + 0.1sin \frac{\theta}{2}\dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} -0.1sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} -0.1\dfrac{D_{2}}{tan\alpha cos \alpha}- sin \frac{\theta}{2} \dfrac{D_2}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} -\dfrac{D_{2}}{tan\alpha cos \alpha} = W_{R_1} - 0.1W_1 + 0.1W_{R_1}-0.1\dfrac{D_{1}}{tan\alpha cos \alpha}- \dfrac{D_{1}}{tan\alpha cos \alpha} 0.1sin2θsin(2πα2θ)D2+0.1sin2θsin(2π+α2θ)D20.1sin2θsin(2πα2θ)D20.1tanαcosαD2sin2θsin(2πα2θ)D2tanαcosαD2=WR10.1W1+0.1WR10.1tanαcosαD1tanαcosαD1

D 2 ( 0.1 s i n θ 2 1 s i n ( π 2 + α − θ 2 ) − s i n θ 2 1 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) − 0.1 1 t a n α c o s α − 1 t a n α c o s α ) = W R 1 − 0.1 W 1 + 0.1 W R 1 − 0.1 D 1 t a n α c o s α − D 1 t a n α c o s α D_2( 0.1sin \frac{\theta}{2}\dfrac{1}{sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} -sin \frac{\theta}{2} \dfrac{1}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} -0.1\dfrac{1}{tan\alpha cos \alpha}-\dfrac{1}{tan\alpha cos \alpha}) = W_{R_1} - 0.1W_1 + 0.1W_{R_1}-0.1\dfrac{D_{1}}{tan\alpha cos \alpha}- \dfrac{D_{1}}{tan\alpha cos \alpha} D2(0.1sin2θsin(2π+α2θ)1sin2θsin(2πα2θ)10.1tanαcosα1tanαcosα1)=WR10.1W1+0.1WR10.1tanαcosαD1tanαcosαD1

D 2 = W R 1 − 0.1 W 1 + 0.1 W R 1 − 0.1 D 1 t a n α c o s α − D 1 t a n α c o s α ( 0.1 s i n θ 2 1 s i n ( π 2 + α − θ 2 ) − s i n θ 2 1 s i n ( π 2 − α − θ 2 ) − 0.1 1 t a n α c o s α − 1 t a n α c o s α ) D_2 =\dfrac{ W_{R_1} - 0.1W_1 + 0.1W_{R_1}-0.1\dfrac{D_{1}}{tan\alpha cos \alpha}- \dfrac{D_{1}}{tan\alpha cos \alpha}}{( 0.1sin \frac{\theta}{2}\dfrac{1}{sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} -sin \frac{\theta}{2} \dfrac{1}{sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} -0.1\dfrac{1}{tan\alpha cos \alpha}-\dfrac{1}{tan\alpha cos \alpha})} D2=(0.1sin2θsin(2π+α2θ)1sin2θsin(2πα2θ)10.1tanαcosα1tanαcosα1)WR10.1W1+0.1WR10.1tanαcosαD1tanαcosαD1

问题四

W R sin ⁡ θ 2 = D sin ⁡ ( π 2 + α − θ 2 ) \dfrac{W_R}{\sin \frac{\theta}{2}} =\dfrac{D}{\sin (\frac{\pi}{2}+\alpha- \frac{\theta}{2})} sin2θWR=sin(2π+α2θ)D

W L sin ⁡ θ 2 = D sin ⁡ ( π 2 − α − θ 2 ) \dfrac{W_L}{\sin \frac{\theta}{2}} =\dfrac{D}{\sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})} sin2θWL=sin(2πα2θ)D

覆盖宽度 W = W L + W R W = W_L + W_R W=WL+WR

D ′ = D − d ∗ t a n α D' = D - d*tan\alpha D=Ddtanα
所以
α = arctan ⁡ D − D ′ d \alpha = \arctan{\frac{D - D'}{d}} α=arctandDD

W L = D sin ⁡ ( π 2 − α − θ 2 ) sin ⁡ θ 2 W_L =\dfrac{D}{\sin (\frac{\pi}{2}-\alpha- \frac{\theta}{2})}\sin \frac{\theta}{2} WL=sin(2πα2θ)Dsin2θ

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